Номер 1, страница 164 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Вводные упражнения. Параграф 27. Способ группировки. Глава 5. Разложение многочленов на множетели - номер 1, страница 164.

Условие.

1. Разложить на множители многочлен:

1) $15x^3yz^2 - 12x^2z^3 + 18xy^2z^4;$

2) $-7a^5b^6c^3 + 21b^5c^2 - 105a^4c^6.$

Решение 1.

Решение 5.

1) Чтобы разложить многочлен $15x^3yz^2 - 12x^2z^3 + 18xy^2z^4$ на множители, нужно найти наибольший общий делитель (НОД) для всех его одночленов. Для этого определим НОД коэффициентов и общие переменные в наименьшей степени.

Шаг 1: Находим НОД для коэффициентов 15, 12 и 18.

• Разложение на простые множители: $15 = 3 \cdot 5$; $12 = 2^2 \cdot 3$; $18 = 2 \cdot 3^2$.
• Общий множитель для всех трех чисел - это 3. Значит, НОД(15, 12, 18) = 3.

Шаг 2: Находим общие переменные в наименьших степенях.

• Переменная $x$ присутствует во всех членах в степенях 3, 2 и 1. Наименьшая степень - 1. Общий множитель - $x$.
• Переменная $y$ присутствует в первом ($y^1$) и третьем ($y^2$) членах, но отсутствует во втором. Следовательно, $y$ не является общим множителем.
• Переменная $z$ присутствует во всех членах в степенях 2, 3 и 4. Наименьшая степень - 2. Общий множитель - $z^2$.

Шаг 3: Объединяем полученные результаты. Общий множитель для всего многочлена - $3xz^2$.

Шаг 4: Выносим общий множитель $3xz^2$ за скобки. Для этого делим каждый член исходного многочлена на $3xz^2$.

$15x^3yz^2 - 12x^2z^3 + 18xy^2z^4 = 3xz^2 \cdot (\frac{15x^3yz^2}{3xz^2} - \frac{12x^2z^3}{3xz^2} + \frac{18xy^2z^4}{3xz^2}) = 3xz^2(5x^2y - 4xz + 6y^2z^2)$

Ответ: $3xz^2(5x^2y - 4xz + 6y^2z^2)$

---

2) Чтобы разложить многочлен $-7a^5b^6c^3 + 21b^5c^2 - 105a^4c^6$ на множители, выполним аналогичные действия.

Шаг 1: Находим НОД для абсолютных значений коэффициентов 7, 21 и 105.

• Разложение на простые множители: 7 - простое число; $21 = 3 \cdot 7$; $105 = 3 \cdot 5 \cdot 7$.
• Общий множитель для всех трех чисел - это 7. Значит, НОД(7, 21, 105) = 7.
• Поскольку первый член многочлена отрицательный, принято выносить за скобки отрицательный коэффициент, т.е. -7.

Шаг 2: Находим общие переменные в наименьших степенях.

• Переменная $a$ отсутствует во втором члене, поэтому не является общим множителем.
• Переменная $b$ отсутствует в третьем члене, поэтому не является общим множителем.
• Переменная $c$ присутствует во всех членах в степенях 3, 2 и 6. Наименьшая степень - 2. Общий множитель - $c^2$.

Шаг 3: Объединяем полученные результаты. Общий множитель для всего многочлена - $-7c^2$.

Шаг 4: Выносим общий множитель $-7c^2$ за скобки.

$-7a^5b^6c^3 + 21b^5c^2 - 105a^4c^6 = -7c^2 \cdot (\frac{-7a^5b^6c^3}{-7c^2} + \frac{21b^5c^2}{-7c^2} - \frac{105a^4c^6}{-7c^2}) = -7c^2(a^5b^6c - 3b^5 + 15a^4c^4)$

Ответ: $-7c^2(a^5b^6c - 3b^5 + 15a^4c^4)$