Номер 502, страница 161 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Разложить на множители (502—503).

502.

1) $3(x+y)(x-y)-(x+y)^2$;

2) $5(a-b)^2-(a+b)(b-a)$;

3) $(x+y)^3-x(x+y)^2$;

4) $a(a-b)^2-(b-a)^3$.

1) Дано выражение $3(x+y)(x-y) - (x+y)^2$.

В этом выражении есть общий множитель $(x+y)$, который можно вынести за скобки:

$(x+y) \cdot [3(x-y) - (x+y)]$.

Теперь упростим выражение, находящееся в квадратных скобках. Раскроем внутренние скобки:

$3(x-y) - (x+y) = 3x - 3y - x - y$.

Приведем подобные слагаемые:

$(3x - x) + (-3y - y) = 2x - 4y$.

В получившемся выражении $2x - 4y$ можно вынести за скобки общий множитель 2:

$2(x - 2y)$.

Подставим результат обратно в наше разложение:

$(x+y) \cdot 2(x - 2y)$.

Запишем множители в более привычном порядке:

$2(x+y)(x-2y)$.

Ответ: $2(x+y)(x-2y)$.

2) Дано выражение $5(a-b)^2 - (a+b)(b-a)$.

Заметим, что $(b-a) = -(a-b)$. Используем это свойство, чтобы преобразовать выражение:

$5(a-b)^2 - (a+b)(-(a-b)) = 5(a-b)^2 + (a+b)(a-b)$.

Теперь у нас есть общий множитель $(a-b)$, вынесем его за скобки:

$(a-b) \cdot [5(a-b) + (a+b)]$.

Упростим выражение в квадратных скобках, раскрыв внутренние скобки:

$5a - 5b + a + b$.

Приведем подобные слагаемые:

$(5a + a) + (-5b + b) = 6a - 4b$.

Из выражения $6a - 4b$ можно вынести общий множитель 2:

$2(3a - 2b)$.

Подставим полученное выражение в разложение:

$(a-b) \cdot 2(3a-2b)$.

Запишем множители в стандартном порядке:

$2(a-b)(3a-2b)$.

Ответ: $2(a-b)(3a-2b)$.

3) Дано выражение $(x+y)^3 - x(x+y)^2$.

Здесь общим множителем является $(x+y)^2$. Вынесем его за скобки:

$(x+y)^2 \cdot [(x+y) - x]$.

Упростим выражение в квадратных скобках:

$x+y-x = y$.

Таким образом, разложение на множители принимает вид:

$(x+y)^2 \cdot y$.

Запишем в стандартном виде:

$y(x+y)^2$.

Ответ: $y(x+y)^2$.

4) Дано выражение $a(a-b)^2 - (b-a)^3$.

Используем свойство нечетной степени: $(b-a)^3 = (-(a-b))^3 = (-1)^3(a-b)^3 = -(a-b)^3$.

Подставим это в исходное выражение:

$a(a-b)^2 - (-(a-b)^3) = a(a-b)^2 + (a-b)^3$.

Теперь видно, что общий множитель — это $(a-b)^2$. Выносим его за скобки:

$(a-b)^2 \cdot [a + (a-b)]$.

Упростим выражение в квадратных скобках:

$a + a - b = 2a - b$.

В результате получаем разложение:

$(a-b)^2(2a-b)$.

Ответ: $(a-b)^2(2a-b)$.