Номер 1, страница 163 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 27. Способ группировки. Глава 5. Разложение многочленов на множетели - номер 1, страница 163.

Условие.

1. На основании каких свойств действий сложения и умножения выполняется разложение многочлена на множители способом группировки?

Решение 1.

Решение 5.

Разложение многочлена на множители способом группировки выполняется на основании следующих свойств действий сложения и умножения:

• Переместительное (коммутативное) и сочетательное (ассоциативное) свойства сложения.

  Эти свойства позволяют изменять порядок слагаемых в многочлене и объединять их в группы (заключать в скобки) произвольным образом, что является первым шагом в методе группировки. Например, чтобы разложить многочлен $ax + by + ay + bx$, мы сначала можем переставить его члены, используя переместительное свойство ($a+b=b+a$): $ax + ay + bx + by$. Затем, используя сочетательное свойство ($(a+b)+c = a+(b+c)$), мы сгруппируем их: $(ax + ay) + (bx + by)$.

• Распределительное (дистрибутивное) свойство умножения относительно сложения.

  Это ключевое свойство, которое используется на последующих этапах. Его формула: $m(n+k) = mn + mk$.
  Сначала оно применяется в обратном порядке ($mn+mk = m(n+k)$) для вынесения общего множителя за скобки в каждой из созданных групп. В нашем примере:
  - Из группы $(ax + ay)$ выносим общий множитель $a$, получая $a(x+y)$.
  - Из группы $(bx + by)$ выносим общий множитель $b$, получая $b(x+y)$.
  После этого многочлен преобразуется к виду $a(x+y) + b(x+y)$.
  Затем распределительное свойство применяется еще раз, но уже для вынесения за скобки общего многочленного множителя. В выражении $a(x+y) + b(x+y)$ общим множителем для двух слагаемых является многочлен $(x+y)$. Вынося его за скобки, мы получаем итоговый результат: $(x+y)(a+b)$. Это и есть разложение исходного многочлена на множители.

Ответ: Разложение многочлена на множители способом группировки выполняется на основании переместительного и сочетательного свойств сложения, а также распределительного свойства умножения относительно сложения.