Страница 163 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

1. На основании каких свойств действий сложения и умножения выполняется разложение многочлена на множители способом группировки?

Разложение многочлена на множители способом группировки выполняется на основании следующих свойств действий сложения и умножения:

• Переместительное (коммутативное) и сочетательное (ассоциативное) свойства сложения.

  Эти свойства позволяют изменять порядок слагаемых в многочлене и объединять их в группы (заключать в скобки) произвольным образом, что является первым шагом в методе группировки. Например, чтобы разложить многочлен $ax + by + ay + bx$, мы сначала можем переставить его члены, используя переместительное свойство ($a+b=b+a$): $ax + ay + bx + by$. Затем, используя сочетательное свойство ($(a+b)+c = a+(b+c)$), мы сгруппируем их: $(ax + ay) + (bx + by)$.

• Распределительное (дистрибутивное) свойство умножения относительно сложения.

  Это ключевое свойство, которое используется на последующих этапах. Его формула: $m(n+k) = mn + mk$.
  Сначала оно применяется в обратном порядке ($mn+mk = m(n+k)$) для вынесения общего множителя за скобки в каждой из созданных групп. В нашем примере:
  - Из группы $(ax + ay)$ выносим общий множитель $a$, получая $a(x+y)$.
  - Из группы $(bx + by)$ выносим общий множитель $b$, получая $b(x+y)$.
  После этого многочлен преобразуется к виду $a(x+y) + b(x+y)$.
  Затем распределительное свойство применяется еще раз, но уже для вынесения за скобки общего многочленного множителя. В выражении $a(x+y) + b(x+y)$ общим множителем для двух слагаемых является многочлен $(x+y)$. Вынося его за скобки, мы получаем итоговый результат: $(x+y)(a+b)$. Это и есть разложение исходного многочлена на множители.

Ответ: Разложение многочлена на множители способом группировки выполняется на основании переместительного и сочетательного свойств сложения, а также распределительного свойства умножения относительно сложения.

2. Перечислить этапы разложения многочлена на множители способом группировки.

Разложение многочлена на множители способом группировки — это метод, который применяется к многочленам, у которых нет общего множителя для всех его членов. Суть метода заключается в том, чтобы объединить члены многочлена в группы таким образом, чтобы после вынесения общего множителя в каждой группе появился общий множитель для всех групп, который затем также выносится за скобки.

Алгоритм разложения многочлена на множители способом группировки состоит из следующих этапов:

1. Объединить члены многочлена в группы.

   Этот шаг предполагает разбиение всех членов многочлена на группы, обычно по два или три члена в каждой. Группировку нужно произвести так, чтобы у слагаемых в каждой группе появился свой общий множитель. Иногда для этого требуется поменять члены многочлена местами. Например, для многочлена $ax + by + ay + bx$ можно сгруппировать члены как $(ax + ay) + (bx + by)$ или как $(ax + bx) + (ay + by)$.

2. Вынести общий множитель за скобки в каждой группе.

   В каждой из полученных групп находится общий множитель для всех ее членов, и он выносится за скобки. После этого шага исходное выражение должно представлять собой сумму или разность произведений.

3. Вынести общий многочленный множитель за скобки.

   Если предыдущие шаги были выполнены верно, то у получившихся слагаемых появится общий множитель, который сам является многочленом (чаще всего двучленом). Этот общий множитель нужно вынести за скобки. В результате получится представление исходного многочлена в виде произведения.

Пример разложения на множители:

Рассмотрим многочлен $6xy + 3y - 10x - 5$.

1. Группируем члены. Объединим первый член со вторым, а третий с четвертым. Обратите внимание на знак перед второй скобкой.

$(6xy + 3y) + (-10x - 5)$

2. Выносим общий множитель в каждой группе. В первой группе общий множитель — это $3y$. Во второй группе общий множитель — это $-5$.

$3y(2x + 1) - 5(2x + 1)$

3. Выносим общий многочленный множитель. Теперь у обоих слагаемых есть общий множитель — это скобка $(2x + 1)$. Выносим ее за скобки.

$(2x + 1)(3y - 5)$

Таким образом, разложение многочлена $6xy + 3y - 10x - 5$ на множители есть $(2x + 1)(3y - 5)$. Для проверки можно перемножить скобки и убедиться, что получится исходный многочлен.

Ответ: Этапы разложения многочлена на множители способом группировки: 1) объединить члены многочлена в группы таким образом, чтобы в каждой группе был общий множитель; 2) вынести общий множитель за скобки в каждой группе; 3) вынести за скобки общий для всех групп множитель, который представляет собой многочлен.