Страница 161 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

498. 1) $c(a-b) + b(b-a);$

2) $a(b-c) - c(c-b);$

3) $(x-y) + b(y-x);$

4) $2b(x-y) - (y-x).$

1) Чтобы упростить выражение $c(a-b) + b(b-a)$, необходимо вынести общий множитель за скобки. Заметим, что выражения в скобках $(a-b)$ и $(b-a)$ являются противоположными, так как $(b-a) = -1 \cdot (a-b) = -(a-b)$.
Подставим это в исходное выражение:
$c(a-b) + b(-(a-b)) = c(a-b) - b(a-b)$
Теперь можно вынести общий множитель $(a-b)$ за скобки:
$(c-b)(a-b)$
Ответ: $(c-b)(a-b)$

2) Для упрощения выражения $a(b-c) - c(c-b)$ воспользуемся тем же приемом. Выражения в скобках $(b-c)$ и $(c-b)$ противоположны: $(c-b) = -(b-c)$.
Заменим $(c-b)$ в исходном выражении:
$a(b-c) - c(-(b-c))$
Раскроем скобки, учитывая, что минус на минус дает плюс:
$a(b-c) + c(b-c)$
Теперь вынесем общий множитель $(b-c)$ за скобки:
$(a+c)(b-c)$
Ответ: $(a+c)(b-c)$

3) Рассмотрим выражение $(x-y) + b(y-x)$. Здесь также присутствуют противоположные выражения в скобках: $(y-x) = -(x-y)$.
Заменим $(y-x)$ в выражении:
$(x-y) + b(-(x-y)) = (x-y) - b(x-y)$
Представим первый член как $1 \cdot (x-y)$, чтобы сделать общий множитель более очевидным:
$1 \cdot (x-y) - b(x-y)$
Вынесем общий множитель $(x-y)$ за скобки:
$(1-b)(x-y)$
Ответ: $(1-b)(x-y)$

4) В выражении $2b(x-y) - (y-x)$ снова видим противоположные выражения в скобках: $(y-x) = -(x-y)$.
Подставим это в выражение:
$2b(x-y) - (-(x-y))$
Два минуса подряд дают плюс:
$2b(x-y) + (x-y)$
Представим второй член как $1 \cdot (x-y)$:
$2b(x-y) + 1 \cdot (x-y)$
Вынесем общий множитель $(x-y)$ за скобки:
$(2b+1)(x-y)$
Ответ: $(2b+1)(x-y)$

499. 1) $7(y-3)-a(3-y);$

2) $6(a-2)+a(2-a);$

3) $b^2(a-1)-c(1-a);$

4) $a^2(m-2)+b(2-m).$

1) $7(y-3) - a(3-y)$. Чтобы разложить это выражение на множители, необходимо вынести общий множитель за скобки. Заметим, что выражения в скобках $(y-3)$ и $(3-y)$ отличаются только знаком. Можно записать, что $3-y = -(y-3)$. Подставим это в исходное выражение:
$7(y-3) - a(-(y-3))$
Раскроем скобки во втором слагаемом, помня, что минус на минус дает плюс:
$7(y-3) + a(y-3)$
Теперь у нас есть общий множитель $(y-3)$, который мы можем вынести за скобки:
$(y-3)(7+a)$
Ответ: $(y-3)(a+7)$.

2) $6(a-2) + a(2-a)$. В этом примере выражения в скобках $(a-2)$ и $(2-a)$ также являются противоположными. Запишем $2-a$ как $-(a-2)$:
$6(a-2) + a(-(a-2))$
Раскроем скобки во втором слагаемом:
$6(a-2) - a(a-2)$
Теперь мы видим общий множитель $(a-2)$. Вынесем его за скобки:
$(a-2)(6-a)$
Ответ: $(a-2)(6-a)$.

3) $b^2(a-1) - c(1-a)$. Здесь мы снова сталкиваемся с противоположными выражениями в скобках: $1-a = -(a-1)$. Выполним замену во втором слагаемом:
$b^2(a-1) - c(-(a-1))$
Упростим выражение:
$b^2(a-1) + c(a-1)$
Общий множитель $(a-1)$ выносим за скобки:
$(a-1)(b^2+c)$
Ответ: $(a-1)(b^2+c)$.

4) $a^2(m-2) + b(2-m)$. Аналогично предыдущим задачам, преобразуем выражение в скобках $2-m$ в $-(m-2)$:
$a^2(m-2) + b(-(m-2))$
Раскроем скобки:
$a^2(m-2) - b(m-2)$
Вынесем общий множитель $(m-2)$ за скобки:
$(m-2)(a^2-b)$
Ответ: $(m-2)(a^2-b)$.

500. 1) $a(b-c)+d(b-c)-7(c-b)$;

2) $x(a-2)+y(2-a)+(2-a)$;

3) $x(x-y)+y(y-x)-3(x-y)$;

4) $a(b-3)+(3-b)-b(3-b)$.

1)

Исходное выражение: $a(b-c) + d(b-c) - 7(c-b)$.

Заметим, что в выражении есть общий множитель, но в последнем члене он записан в виде $(c-b)$. Преобразуем его, вынеся $-1$ за скобки: $c-b = -(b-c)$.

Тогда член $-7(c-b)$ можно переписать как $-7(-(b-c)) = +7(b-c)$.

Подставим это в исходное выражение:

$a(b-c) + d(b-c) + 7(b-c)$

Теперь мы можем вынести общий множитель $(b-c)$ за скобки:

$(b-c)(a+d+7)$

Ответ: $(b-c)(a+d+7)$

2)

Исходное выражение: $x(a-2) + y(2-a) + (2-a)$.

Здесь общий множитель $(a-2)$. Преобразуем выражения $(2-a)$, чтобы привести их к общему виду. Заметим, что $2-a = -(a-2)$.

Перепишем второй и третий члены выражения:

$y(2-a) = y(-(a-2)) = -y(a-2)$

$(2-a) = -1 \cdot (a-2) = -(a-2)$

Теперь исходное выражение выглядит так:

$x(a-2) - y(a-2) - (a-2)$

Вынесем общий множитель $(a-2)$ за скобки:

$(a-2)(x-y-1)$

Ответ: $(a-2)(x-y-1)$

3)

Исходное выражение: $x(x-y) + y(y-x) - 3(x-y)$.

Общий множитель здесь $(x-y)$. Преобразуем второй член выражения, используя соотношение $y-x = -(x-y)$.

$y(y-x) = y(-(x-y)) = -y(x-y)$

Подставим преобразованный член в исходное выражение:

$x(x-y) - y(x-y) - 3(x-y)$

Вынесем общий множитель $(x-y)$ за скобки:

$(x-y)(x-y-3)$

Ответ: $(x-y)(x-y-3)$

4)

Исходное выражение: $a(b-3) + (3-b) - b(3-b)$.

В этом выражении есть два вида скобок: $(b-3)$ и $(3-b)$. Приведем их к одному виду. Используем тождество $3-b = -(b-3)$.

Преобразуем второй и третий члены:

$(3-b) = -(b-3)$

$-b(3-b) = -b(-(b-3)) = +b(b-3)$

Подставим преобразованные члены в исходное выражение:

$a(b-3) - (b-3) + b(b-3)$

Теперь вынесем общий множитель $(b-3)$ за скобки. Обратите внимание, что второй член $-(b-3)$ эквивалентен $-1 \cdot (b-3)$.

$(b-3)(a-1+b)$

Для более удобной записи, переставим слагаемые во второй скобке:

$(b-3)(a+b-1)$

Ответ: $(b-3)(a+b-1)$

501. Найти значение выражения:

1) $7(a-5)-b(5-a)$ при $a=2, b=3;$

2) $a(a-b)+b(b-a)$ при $a=6,3, b=2,3;$

3) $2x(x+y)-3y(x+y)+7(x+y)$ при $x=4, y=5;$

4) $x(y-x)-y(x-y)-4(y-x)$ при $x=3, y=-5.$

1) Сначала упростим выражение. Для этого заметим, что выражения в скобках отличаются только знаком: $5-a = -(a-5)$.
$7(a-5) - b(5-a) = 7(a-5) - b(-(a-5)) = 7(a-5) + b(a-5)$
Теперь можно вынести общий множитель $(a-5)$ за скобки:
$(a-5)(7+b)$
Подставим в полученное выражение значения $a=2$ и $b=3$:
$(2-5)(7+3) = (-3) \cdot 10 = -30$
Ответ: -30

2) Упростим выражение, используя тот же приём. Заметим, что $b-a = -(a-b)$.
$a(a-b) + b(b-a) = a(a-b) + b(-(a-b)) = a(a-b) - b(a-b)$
Вынесем общий множитель $(a-b)$ за скобки:
$(a-b)(a-b) = (a-b)^2$
Подставим значения $a=6,3$ и $b=2,3$:
$(6,3 - 2,3)^2 = 4^2 = 16$
Ответ: 16

3) В данном выражении общим множителем для всех слагаемых является $(x+y)$. Вынесем его за скобки.
$2x(x+y) - 3y(x+y) + 7(x+y) = (x+y)(2x - 3y + 7)$
Теперь подставим в полученное выражение значения $x=4$ и $y=5$:
$(4+5)(2 \cdot 4 - 3 \cdot 5 + 7) = 9 \cdot (8 - 15 + 7) = 9 \cdot (-7 + 7) = 9 \cdot 0 = 0$
Ответ: 0

4) Упростим выражение. Заметим, что $x-y = -(y-x)$. Преобразуем второе слагаемое:
$x(y-x) - y(x-y) - 4(y-x) = x(y-x) - y(-(y-x)) - 4(y-x) = x(y-x) + y(y-x) - 4(y-x)$
Теперь вынесем общий множитель $(y-x)$ за скобки:
$(y-x)(x+y-4)$
Подставим значения $x=3$ и $y=-5$:
$(-5-3)(3+(-5)-4) = (-8)(3-5-4) = (-8)(-2-4) = (-8)(-6) = 48$
Ответ: 48

Разложить на множители (502—503).

502.

1) $3(x+y)(x-y)-(x+y)^2$;

2) $5(a-b)^2-(a+b)(b-a)$;

3) $(x+y)^3-x(x+y)^2$;

4) $a(a-b)^2-(b-a)^3$.

1) Дано выражение $3(x+y)(x-y) - (x+y)^2$.

В этом выражении есть общий множитель $(x+y)$, который можно вынести за скобки:

$(x+y) \cdot [3(x-y) - (x+y)]$.

Теперь упростим выражение, находящееся в квадратных скобках. Раскроем внутренние скобки:

$3(x-y) - (x+y) = 3x - 3y - x - y$.

Приведем подобные слагаемые:

$(3x - x) + (-3y - y) = 2x - 4y$.

В получившемся выражении $2x - 4y$ можно вынести за скобки общий множитель 2:

$2(x - 2y)$.

Подставим результат обратно в наше разложение:

$(x+y) \cdot 2(x - 2y)$.

Запишем множители в более привычном порядке:

$2(x+y)(x-2y)$.

Ответ: $2(x+y)(x-2y)$.

2) Дано выражение $5(a-b)^2 - (a+b)(b-a)$.

Заметим, что $(b-a) = -(a-b)$. Используем это свойство, чтобы преобразовать выражение:

$5(a-b)^2 - (a+b)(-(a-b)) = 5(a-b)^2 + (a+b)(a-b)$.

Теперь у нас есть общий множитель $(a-b)$, вынесем его за скобки:

$(a-b) \cdot [5(a-b) + (a+b)]$.

Упростим выражение в квадратных скобках, раскрыв внутренние скобки:

$5a - 5b + a + b$.

Приведем подобные слагаемые:

$(5a + a) + (-5b + b) = 6a - 4b$.

Из выражения $6a - 4b$ можно вынести общий множитель 2:

$2(3a - 2b)$.

Подставим полученное выражение в разложение:

$(a-b) \cdot 2(3a-2b)$.

Запишем множители в стандартном порядке:

$2(a-b)(3a-2b)$.

Ответ: $2(a-b)(3a-2b)$.

3) Дано выражение $(x+y)^3 - x(x+y)^2$.

Здесь общим множителем является $(x+y)^2$. Вынесем его за скобки:

$(x+y)^2 \cdot [(x+y) - x]$.

Упростим выражение в квадратных скобках:

$x+y-x = y$.

Таким образом, разложение на множители принимает вид:

$(x+y)^2 \cdot y$.

Запишем в стандартном виде:

$y(x+y)^2$.

Ответ: $y(x+y)^2$.

4) Дано выражение $a(a-b)^2 - (b-a)^3$.

Используем свойство нечетной степени: $(b-a)^3 = (-(a-b))^3 = (-1)^3(a-b)^3 = -(a-b)^3$.

Подставим это в исходное выражение:

$a(a-b)^2 - (-(a-b)^3) = a(a-b)^2 + (a-b)^3$.

Теперь видно, что общий множитель — это $(a-b)^2$. Выносим его за скобки:

$(a-b)^2 \cdot [a + (a-b)]$.

Упростим выражение в квадратных скобках:

$a + a - b = 2a - b$.

В результате получаем разложение:

$(a-b)^2(2a-b)$.

Ответ: $(a-b)^2(2a-b)$.

503. 1) $x^2(x-3) - x(x-3)^2;$

2) $a^3(2+a) + a^2(2+a)^2;$

3) $3m(n-m)^2 - 9m^2(m-n);$

4) $15p^2(p+q) - 5p(p+q)^2.$

1) Чтобы разложить на множители выражение $x^2(x-3) - x(x-3)^2$, необходимо найти общий множитель для обоих слагаемых. Общим множителем является выражение $x(x-3)$. Вынесем его за скобки:
$x^2(x-3) - x(x-3)^2 = x(x-3) \cdot (x - (x-3))$.
Теперь упростим выражение во вторых скобках, раскрыв их:
$x - (x-3) = x - x + 3 = 3$.
Подставим упрощенное выражение обратно и получим окончательный результат:
$x(x-3) \cdot 3 = 3x(x-3)$.
Ответ: $3x(x-3)$.

2) В выражении $a^3(2+a) + a^2(2+a)^2$ найдем общий множитель. Общим множителем для обоих слагаемых является $a^2(2+a)$. Вынесем его за скобки:
$a^3(2+a) + a^2(2+a)^2 = a^2(2+a) \cdot (a + (2+a))$.
Упростим выражение во вторых скобках:
$a + (2+a) = a + 2 + a = 2a + 2$.
Во полученном выражении $2a+2$ можно вынести за скобки общий множитель 2: $2(a+1)$.
Подставим все обратно и запишем итоговое выражение:
$a^2(2+a) \cdot 2(a+1) = 2a^2(a+1)(a+2)$.
Ответ: $2a^2(a+1)(a+2)$.

3) В выражении $3m(n-m)^2 - 9m^2(m-n)$ обратим внимание на скобки $(n-m)$ и $(m-n)$. Они являются противоположными выражениями, то есть $(m-n) = -(n-m)$. Используем это свойство для преобразования второго слагаемого:
$-9m^2(m-n) = -9m^2(-(n-m)) = 9m^2(n-m)$.
Теперь исходное выражение можно переписать в виде: $3m(n-m)^2 + 9m^2(n-m)$.
Общим множителем для этого выражения является $3m(n-m)$. Вынесем его за скобки:
$3m(n-m) \cdot ((n-m) + 3m)$.
Упростим выражение во вторых скобках:
$n-m + 3m = n + 2m$.
Таким образом, окончательный результат:
$3m(n-m)(n+2m)$.
Ответ: $3m(n-m)(n+2m)$.

4) Для разложения на множители выражения $15p^2(p+q) - 5p(p+q)^2$ найдем общий множитель. Общим множителем для обоих слагаемых является $5p(p+q)$. Вынесем его за скобки:
$15p^2(p+q) - 5p(p+q)^2 = 5p(p+q) \cdot (3p - (p+q))$.
Упростим выражение во вторых скобках, раскрыв их:
$3p - (p+q) = 3p - p - q = 2p - q$.
Подставим упрощенное выражение обратно и получим итоговый результат:
$5p(p+q)(2p-q)$.
Ответ: $5p(p+q)(2p-q)$.

504. Решить уравнение:

1) $x^2 - 2x = 0;$

2) $3x + x^2 = 0;$

3) $5x^2 + 3x = 0;$

4) $x^2(x - 2) - 2x(x - 2)^2 = 0;$

5) $3x(1 - x)^2 - x^2(1 - x) = 0.$

1) Дано уравнение $x^2 - 2x = 0$.
Это неполное квадратное уравнение, в котором свободный член равен нулю. Для его решения вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x - 2) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, мы получаем два возможных случая:
1. $x = 0$
2. $x - 2 = 0$, из которого следует, что $x = 2$.
Следовательно, уравнение имеет два корня.
Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 2$.

2) Дано уравнение $3x + x^2 = 0$.
Перепишем его в стандартном виде для квадратного уравнения: $x^2 + 3x = 0$.
Это также неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x + 3) = 0$
Приравниваем каждый множитель к нулю:
$x = 0$ или $x + 3 = 0$.
Из второго уравнения получаем $x = -3$.
Таким образом, корни уравнения: 0 и -3.
Ответ: $x_1 = 0, x_2 = -3$.

3) Дано уравнение $5x^2 + 3x = 0$.
Это неполное квадратное уравнение. Для его решения вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(5x + 3) = 0$
Приравниваем каждый множитель к нулю:
$x = 0$ или $5x + 3 = 0$.
Решим второе уравнение: $5x = -3$, откуда $x = -\frac{3}{5}$.
Корни уравнения: 0 и $-\frac{3}{5}$.
Ответ: $x_1 = 0, x_2 = -\frac{3}{5}$.

4) Дано уравнение $x^2(x - 2) - 2x(x - 2)^2 = 0$.
Для решения данного уравнения вынесем общий множитель за скобки. Общими множителями для обоих слагаемых являются $x$ и $(x - 2)$. Выносим $x(x - 2)$:
$x(x - 2)[x - 2(x - 2)] = 0$
Теперь упростим выражение в квадратных скобках:
$x - 2(x - 2) = x - 2x + 4 = -x + 4$
Таким образом, уравнение принимает вид:
$x(x - 2)(-x + 4) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассматриваем три случая:
1. $x = 0$
2. $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$
3. $-x + 4 = 0 \Rightarrow x = 4$
Уравнение имеет три корня.
Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 2, x_3 = 4$.

5) Дано уравнение $3x(1 - x)^2 - x^2(1 - x) = 0$.
Вынесем за скобки общий множитель $x(1 - x)$:
$x(1 - x)[3(1 - x) - x] = 0$
Упростим выражение в квадратных скобках:
$3(1 - x) - x = 3 - 3x - x = 3 - 4x$
Уравнение принимает вид:
$x(1 - x)(3 - 4x) = 0$
Приравниваем каждый из трех множителей к нулю:
1. $x = 0$
2. $1 - x = 0 \Rightarrow x = 1$
3. $3 - 4x = 0 \Rightarrow 4x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{4}$
Уравнение имеет три корня.
Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 1, x_3 = \frac{3}{4}$.

505. Доказать, что если при делении натурального числа на 225 остаток равен 150, то это число делится нацело на 75.

Пусть $N$ — данное натуральное число. Согласно условию задачи, при делении числа $N$ на 225 в остатке получается 150. Это можно записать с помощью формулы деления с остатком:
$N = 225 \cdot q + 150$,
где $q$ — это неполное частное, являющееся целым неотрицательным числом ($q \ge 0$).

Нам необходимо доказать, что число $N$ делится нацело на 75. Для этого преобразуем полученное выражение для $N$. Заметим, что и число 225, и число 150 делятся на 75 без остатка:
$225 \div 75 = 3$
$150 \div 75 = 2$

Это означает, что мы можем представить слагаемые в выражении для $N$ следующим образом:
$225 = 75 \cdot 3$
$150 = 75 \cdot 2$

Подставим эти разложения в исходное равенство:
$N = (75 \cdot 3) \cdot q + (75 \cdot 2)$

Используя распределительный закон, вынесем общий множитель 75 за скобки:
$N = 75 \cdot (3q + 2)$

Поскольку $q$ — целое число, то выражение в скобках $(3q + 2)$ также является целым числом. Обозначим это целое число буквой $k$, то есть $k = 3q + 2$. Тогда равенство принимает вид:
$N = 75 \cdot k$

Это выражение по определению означает, что число $N$ делится на 75 нацело, так как оно является произведением числа 75 и некоторого целого числа $k$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если натуральное число при делении на 225 дает в остатке 150, то оно делится на 75 нацело.