Страница 154 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

2. Сколько биений делает за сутки сердце человека, если считать, что за одну минуту в среднем оно делает 75 биений? Результат записать в стандартном виде.

Для того чтобы рассчитать количество биений сердца за сутки, необходимо последовательно выполнить несколько действий.

1. Сначала определим, сколько минут в сутках. В одних сутках содержится 24 часа, а в каждом часе — 60 минут. Таким образом, количество минут в сутках равно произведению этих двух величин:
$24 \text{ часа} \times 60 \text{ минут/час} = 1440 \text{ минут}$.

2. Теперь, зная, что сердце в среднем совершает 75 биений в минуту, мы можем вычислить общее количество биений за сутки. Для этого умножим количество биений в минуту на общее количество минут в сутках:
$75 \text{ биений/минуту} \times 1440 \text{ минут} = 108000 \text{ биений}$.

3. По условию, результат необходимо записать в стандартном виде. Стандартный вид числа — это его запись в виде $a \times 10^n$, где $1 \le a < 10$, а $n$ — целое число (показатель степени).
Для числа 108000, мы должны представить его так, чтобы целая часть содержала только одну цифру. Для этого мы перемещаем десятичную запятую на 5 знаков влево:
$108000 = 1.08 \times 100000$.
Число 100000 можно записать как $10^5$.
Следовательно, стандартный вид числа 108000 — это $1.08 \times 10^5$.

Ответ: $1.08 \times 10^5$.

3. Масса Земли равна $6 \cdot 10^{24}$ кг, масса Луны — $7,4 \cdot 10^{22}$ кг. Во сколько раз масса Земли больше массы Луны?

Чтобы определить, во сколько раз масса Земли больше массы Луны, необходимо найти отношение массы Земли к массе Луны, то есть разделить массу Земли на массу Луны.
Обозначим массу Земли как $m_З$, а массу Луны как $m_Л$.
$m_З = 6 \cdot 10^{24}$ кг
$m_Л = 7,4 \cdot 10^{22}$ кг

Найдем отношение $\frac{m_З}{m_Л}$:
$\frac{m_З}{m_Л} = \frac{6 \cdot 10^{24}}{7,4 \cdot 10^{22}}$

Для выполнения деления можно разделить коэффициенты и степени десяти по отдельности. Используем свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{10^{24}}{10^{22}} = 10^{24-22} = 10^2 = 100$

Теперь подставим это значение обратно в выражение:
$\frac{6}{7,4} \cdot 100$

Выполним деление и умножение:
$\frac{6}{7,4} \cdot 100 \approx 0,81081 \cdot 100 = 81,081$

Другой способ — привести числитель к той же степени, что и знаменатель:
$6 \cdot 10^{24} = 6 \cdot 10^2 \cdot 10^{22} = 600 \cdot 10^{22}$
Тогда отношение будет:
$\frac{600 \cdot 10^{22}}{7,4 \cdot 10^{22}} = \frac{600}{7,4} \approx 81,081$

Округлив результат до целых, получаем, что масса Земли больше массы Луны примерно в 81 раз.

Ответ: масса Земли больше массы Луны примерно в 81 раз.

4. Скорость распространения света равна $3 \cdot 10^5$ км/с. Расстояние от Земли до Луны — 384 467 км. За какое время луч света доходит от Луны до Земли?

Для того чтобы найти время, за которое луч света доходит от Луны до Земли, необходимо разделить расстояние между ними на скорость света.

Основная формула, связывающая расстояние ($s$), скорость ($v$) и время ($t$), выглядит так: $s = v \cdot t$.

Чтобы найти время, выразим его из этой формулы:

$t = \frac{s}{v}$

В условии задачи нам даны следующие значения:
Скорость распространения света: $v = 3 \cdot 10^5 \text{ км/с} = 300\;000 \text{ км/с}$.
Расстояние от Земли до Луны: $s = 384\;467 \text{ км}$.

Теперь подставим числовые значения в формулу:

$t = \frac{384\;467 \text{ км}}{300\;000 \text{ км/с}}$

Произведем вычисление:

$t \approx 1,281557 \text{ с}$

Округлим результат до сотых для удобства.

Ответ: луч света доходит от Луны до Земли примерно за 1,28 секунды.

5. Найти площадь закрашенной на рисунке 13 фигуры.

a) $S = b^2 + \frac{(a+b)c}{2}$

б) $S = ab + 2mn + 2c^2$

Рис. 13

а)

Для нахождения площади данной фигуры, разобьем ее на две более простые фигуры: прямоугольник и прямоугольный треугольник. Проведем для этого горизонтальную линию от верхней точки левой вертикальной стороны (высотой $b$) до правой границы фигуры.

1. Нижний прямоугольник.
Его высота равна $b$.
Его ширина является суммой двух отрезков, указанных внизу: $b + c$.
Площадь этого прямоугольника $S_1$ вычисляется по формуле: $S_1 = b \cdot (b + c)$

2. Верхний прямоугольный треугольник.
Его основание (горизонтальный катет) равно $c$.
Его высота (вертикальный катет) равна разности общей высоты фигуры $a$ и высоты нижней части $b$, то есть $a - b$.
Площадь этого треугольника $S_2$ вычисляется по формуле: $S_2 = \frac{1}{2} \cdot c \cdot (a - b)$

3. Общая площадь.
Общая площадь фигуры $S$ равна сумме площадей прямоугольника и треугольника: $S = S_1 + S_2 = b(b + c) + \frac{1}{2}c(a - b)$
Раскроем скобки и упростим выражение: $S = b^2 + bc + \frac{1}{2}ac - \frac{1}{2}bc = b^2 + \frac{1}{2}bc + \frac{1}{2}ac = b^2 + \frac{c(a+b)}{2}$

Ответ: $S = b(b + c) + \frac{c(a - b)}{2}$ или в упрощенном виде $S = b^2 + \frac{c(a+b)}{2}$.

б)

Для нахождения площади этой фигуры удобно использовать метод вычитания. Мы можем представить фигуру как большой прямоугольник, из которого вырезали четыре прямоугольных уголка.

1. Большой прямоугольник.
Его общая высота равна $a$.
Его общая ширина равна $b$.
Площадь этого большого прямоугольника $S_{общ}$ равна: $S_{общ} = a \cdot b$

2. Вырезанные уголки.
Фигура имеет четыре вырезанных уголка:

• Два одинаковых уголка слева. Каждый из них представляет собой прямоугольник с размерами $m$ (ширина) и $n$ (высота). Суммарная площадь двух левых вырезанных уголков $S_{лев}$ равна: $S_{лев} = 2 \cdot (m \cdot n) = 2mn$
• Два одинаковых уголка справа. Судя по обозначениям, каждый из них является квадратом со стороной $c$. Суммарная площадь двух правых вырезанных уголков $S_{прав}$ равна: $S_{прав} = 2 \cdot (c \cdot c) = 2c^2$

3. Площадь закрашенной фигуры.
Чтобы найти площадь закрашенной фигуры $S$, нужно из общей площади большого прямоугольника вычесть площади всех вырезанных уголков: $S = S_{общ} - S_{лев} - S_{прав}$
$S = ab - 2mn - 2c^2$

Ответ: $S = ab - 2mn - 2c^2$.

6. Используя рисунок 14, убедиться в том, что

$(a-b)(c+d)=ac+ad-bc-bd.$

Рис. 14

Для того чтобы убедиться в справедливости равенства $(a-b)(c+d) = ac+ad-bc-bd$ с помощью данного рисунка, мы можем выразить площадь закрашенной фигуры двумя различными способами и приравнять полученные выражения.

Способ 1: Вычисление площади закрашенного прямоугольника через его стороны.
Закрашенная фигура является прямоугольником. Найдем длины его сторон, используя обозначения на рисунке.
Горизонтальная сторона этого прямоугольника имеет длину, равную разности длин отрезков $a$ и $b$. То есть, ее длина равна $a-b$.
Вертикальная сторона этого прямоугольника имеет длину, равную сумме длин отрезков $c$ и $d$. То есть, ее длина равна $c+d$.
Площадь $S$ прямоугольника равна произведению его сторон:
$S = (a-b)(c+d)$.
Это выражение соответствует левой части доказываемого тождества.

Способ 2: Вычисление площади закрашенного прямоугольника как разности площадей.
Площадь закрашенной фигуры можно также найти, если из площади всего большого прямоугольника вычесть площадь правого незакрашенного прямоугольника.
Площадь всего большого прямоугольника со сторонами $a$ и $(c+d)$ равна:
$S_{большой} = a(c+d) = ac+ad$.
Площадь правого незакрашенного прямоугольника со сторонами $b$ и $(c+d)$ равна:
$S_{незакр} = b(c+d) = bc+bd$.
Площадь закрашенной фигуры равна разности этих площадей:
$S = S_{большой} - S_{незакр} = (ac+ad) - (bc+bd) = ac+ad-bc-bd$.
Это выражение соответствует правой части доказываемого тождества.

Вывод.
Мы вычислили площадь одной и той же закрашенной фигуры двумя способами и получили два разных на вид выражения. Поскольку они представляют одну и ту же площадь, они должны быть равны.
$(a-b)(c+d) = ac+ad-bc-bd$.
Таким образом, мы убедились в справедливости тождества, используя геометрическую интерпретацию.

Ответ: Площадь закрашенной на рисунке 14 фигуры можно найти двумя способами. Во-первых, как произведение длин ее сторон, которые согласно рисунку равны $(a-b)$ и $(c+d)$, то есть площадь равна $(a-b)(c+d)$. Во-вторых, эту же площадь можно найти как разность площади большого прямоугольника (со сторонами $a$ и $c+d$) и площади правого незакрашенного прямоугольника (со сторонами $b$ и $c+d$). Эта разность равна $a(c+d) - b(c+d) = ac+ad-(bc+bd) = ac+ad-bc-bd$. Так как оба выражения обозначают одну и ту же площадь, они равны, что и доказывает исходное тождество.

7. На фирме 5 сотрудников получают зарплату $k$ рублей, 12 сотрудников — $m$ рублей и трое — $n$ рублей.

$5k + 12m + 3n$

$\frac{5k + 12m + 3n}{20}$

Какую сумму денег выдаёт сотрудникам бухгалтер фирмы?

Чтобы определить общую сумму денег, которую бухгалтер выплачивает сотрудникам, нужно сложить зарплаты всех работников фирмы.

1. Группа из 5 сотрудников получает в сумме: $5 \cdot k = 5k$ рублей.

2. Группа из 12 сотрудников получает в сумме: $12 \cdot m = 12m$ рублей.

3. Группа из 3 сотрудников получает в сумме: $3 \cdot n = 3n$ рублей.

Сложим эти суммы, чтобы найти общий фонд заработной платы:

$S_{общ} = 5k + 12m + 3n$

Ответ: бухгалтер фирмы выдаёт сотрудникам сумму в $5k + 12m + 3n$ рублей.

Какова их средняя зарплата?

Средняя зарплата – это общая сумма выплаченных денег, делённая на общее количество сотрудников.

1. Общая сумма зарплат нам уже известна из предыдущего пункта: $5k + 12m + 3n$ рублей.

2. Найдём общее количество сотрудников на фирме: $5 + 12 + 3 = 20$ сотрудников.

3. Разделим общую сумму зарплат на количество сотрудников, чтобы найти среднюю зарплату ($Z_{ср}$):

$Z_{ср} = \frac{5k + 12m + 3n}{20}$

Ответ: средняя зарплата сотрудников составляет $\frac{5k + 12m + 3n}{20}$ рублей.

8. Стальная деталь имеет форму шара радиусом $a$ с полостью в форме шара радиусом $b$ ($a > b$). Найти объём $V$ этой детали, если объём шара находится по формуле $\frac{4}{3}\pi R^3$, где $R$ — радиус шара.

Объем $V$ стальной детали представляет собой разность между объемом внешнего шара (с радиусом $a$) и объемом внутренней сферической полости (с радиусом $b$).

1. Найдем объем внешнего шара. Его радиус $R = a$. Используя данную в условии формулу объема шара $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$, получаем объем внешнего шара $V_a$:

$V_a = \frac{4}{3}\pi a^3$

2. Найдем объем внутренней полости. Это тоже шар, но с радиусом $R = b$. Его объем $V_b$ равен:

$V_b = \frac{4}{3}\pi b^3$

3. Объем самой детали $V$ равен разности объемов $V_a$ и $V_b$:

$V = V_a - V_b = \frac{4}{3}\pi a^3 - \frac{4}{3}\pi b^3$

4. Для получения итоговой формулы вынесем общий множитель $\frac{4}{3}\pi$ за скобки:

$V = \frac{4}{3}\pi (a^3 - b^3)$

Ответ: $V = \frac{4}{3}\pi (a^3 - b^3)$

9. Записать в виде многочленов периметр и площадь закрашенной фигуры (рис. 15).

Периметр:

$P = 2(n + m + a + b + x + y)$

Площадь:

$A = nm - ab - xy$

Рис. 15

Периметр

Периметр фигуры — это сумма длин всех ее сторон. Чтобы найти периметр $P$ закрашенной фигуры, необходимо сложить длины всех отрезков, образующих ее границу.

1. Сумма длин горизонтальных сторон.
Верхняя и нижняя стороны фигуры имеют длину $n$. Их общая длина — $n + n = 2n$.
Кроме того, из-за вырезов по бокам появляются дополнительные горизонтальные отрезки. На левой стороне — два отрезка длиной $a$ каждый. На правой стороне — два отрезка длиной $x$ каждый. Их суммарная длина составляет $2a + 2x$.
Таким образом, общая длина всех горизонтальных отрезков периметра равна $2n + 2a + 2x$.

2. Сумма длин вертикальных сторон.
Общая высота фигуры — $m$. Рассмотрим правую сторону: она состоит из трех вертикальных отрезков. Два внешних и один внутренний (внутри выреза) длиной $y$. Если мы мысленно "сдвинем" внутренний отрезок наружу, он займет ровно то место, которое занимали бы два внешних отрезка на прямой линии. Таким образом, общая длина всех вертикальных отрезков на правой стороне равна общей высоте фигуры $m$. Аналогично, общая длина вертикальных отрезков на левой стороне (включая отрезок длиной $b$) также равна $m$.
Суммарная длина всех вертикальных отрезков периметра равна $m + m = 2m$.

3. Общий периметр.
Складываем длины всех горизонтальных и вертикальных отрезков:
$P = (2n + 2a + 2x) + 2m$
Запишем в виде многочлена, упорядочив переменные:
$P = 2m + 2n + 2a + 2x$

Ответ: $P = 2m + 2n + 2a + 2x$

Площадь

Площадь $S$ закрашенной фигуры можно найти как разность площади большого прямоугольника (без вырезов) и площадей двух вырезанных прямоугольников.

1. Сначала найдем площадь воображаемого большого прямоугольника с размерами $m$ на $n$. Его площадь равна $S_{\text{большого}} = m \cdot n = mn$.

2. Теперь найдем площади двух вырезанных прямоугольников (незакрашенных областей).
Площадь левого выреза с размерами $a$ на $b$ составляет $S_{\text{левого}} = a \cdot b = ab$.
Площадь правого выреза с размерами $x$ на $y$ составляет $S_{\text{правого}} = x \cdot y = xy$.

3. Чтобы найти площадь закрашенной фигуры $S$, нужно из площади большого прямоугольника вычесть площади двух вырезов:
$S = S_{\text{большого}} - S_{\text{левого}} - S_{\text{правого}}$
$S = mn - ab - xy$

Ответ: $S = mn - ab - xy$

10. На рисунке 16 показана развёртка прямоугольного параллелепипеда без одной грани, перенесённая на картон. Записать в виде многочлена объём коробки, склеенной из этого картона.

Рис. 16

Чтобы найти объём коробки, склеенной из данной развёртки, необходимо определить её длину, ширину и высоту. Коробка представляет собой прямоугольный параллелепипед без одной грани (крышки).

Развёртка показывает, что центральный прямоугольник образует дно коробки, а четыре боковых прямоугольника — её стенки. Высота стенок, а следовательно, и высота коробки, равна $m$.

Определим размеры дна коробки:

• Общая ширина картона равна $b$. Она состоит из ширины дна и двух боковых стенок, ширина каждой из которых при сгибе становится высотой коробки, то есть $m$. Таким образом, длина дна коробки равна: $l = b - m - m = b - 2m$.
• Общая высота картона равна $a$. Она состоит из длины дна и двух других боковых стенок, ширина которых также равна $m$. Таким образом, ширина дна коробки равна: $w = a - m - m = a - 2m$.
• Высота коробки, как уже было сказано, равна $h = m$.

Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = l \cdot w \cdot h$.

Подставим найденные выражения для длины, ширины и высоты:

$V = (b - 2m)(a - 2m)m$

Теперь запишем это выражение в виде многочлена, для чего раскроем скобки. Сначала перемножим первые два сомножителя:

$(b - 2m)(a - 2m) = b \cdot a + b \cdot (-2m) - 2m \cdot a - 2m \cdot (-2m) = ab - 2bm - 2am + 4m^2$

Затем умножим полученное выражение на $m$:

$V = (ab - 2am - 2bm + 4m^2)m = ab \cdot m - 2am \cdot m - 2bm \cdot m + 4m^2 \cdot m = abm - 2am^2 - 2bm^2 + 4m^3$

Для стандартной записи многочлена расположим его члены по убыванию степеней переменной $m$:

$V = 4m^3 - 2am^2 - 2bm^2 + abm$

Ответ: $4m^3 - 2am^2 - 2bm^2 + abm$.