Страница 148 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Что нужно сделать, чтобы разделить многочлен на одночлен?

1.

Чтобы разделить многочлен на одночлен, который не равен нулю, нужно применить распределительный закон деления. Правило заключается в следующем: каждый член многочлена необходимо разделить на этот одночлен, а полученные результаты сложить.

Рассмотрим это правило в общем виде. Пусть нам нужно разделить многочлен $A + B - C$ на одночлен $M$ (где $M \neq 0$). Операцию можно записать так:

$\frac{A + B - C}{M} = \frac{A}{M} + \frac{B}{M} - \frac{C}{M}$

Для выполнения деления каждого члена многочлена на одночлен нужно:

• Разделить числовой коэффициент члена многочлена на числовой коэффициент одночлена.
• Разделить переменные. При делении степеней с одинаковыми основаниями их показатели вычитаются: $\frac{a^n}{a^k} = a^{n-k}$.

Пример:

Разделим многочлен $(12a^4b^3 - 8a^3b^2 + 16a^2b)$ на одночлен $(4a^2b)$.

Шаг 1: Запишем деление в виде дроби.

$\frac{12a^4b^3 - 8a^3b^2 + 16a^2b}{4a^2b}$

Шаг 2: Разделим дробь на сумму дробей, где числитель каждой — это член многочлена.

$\frac{12a^4b^3}{4a^2b} - \frac{8a^3b^2}{4a^2b} + \frac{16a^2b}{4a^2b}$

Шаг 3: Выполним деление в каждой дроби.

• Первый член: $\frac{12a^4b^3}{4a^2b} = (\frac{12}{4}) \cdot a^{4-2} \cdot b^{3-1} = 3a^2b^2$

• Второй член: $\frac{8a^3b^2}{4a^2b} = (\frac{8}{4}) \cdot a^{3-2} \cdot b^{2-1} = 2a^1b^1 = 2ab$

• Третий член: $\frac{16a^2b}{4a^2b} = (\frac{16}{4}) \cdot a^{2-2} \cdot b^{1-1} = 4a^0b^0 = 4 \cdot 1 \cdot 1 = 4$

Шаг 4: Сложим полученные результаты, сохраняя знаки.

$3a^2b^2 - 2ab + 4$

Таким образом, $(12a^4b^3 - 8a^3b^2 + 16a^2b) : (4a^2b) = 3a^2b^2 - 2ab + 4$.

Ответ: Чтобы разделить многочлен на одночлен, нужно каждый член многочлена разделить на этот одночлен и полученные частные сложить.

2. Какие значения могут принимать буквы, входящие в выражение:

1) $(23a^2b) : b$;

2) $(-4a^3b^2c + 3a^6b^5c^2) : a^2b$?

1) В выражении $(23a^2b) : b$ операция деления выполняется на переменную $b$.

В математике деление на ноль является недопустимой операцией. Поэтому любое выражение, находящееся в делителе (знаменателе), не может быть равно нулю. В данном случае делителем является $b$.

Следовательно, для того чтобы выражение имело смысл, должно выполняться условие $b \neq 0$.

Переменная $a$ находится в делимом (числителе), и на нее не накладывается никаких ограничений. Она может принимать абсолютно любое значение.

Ответ: $a$ — любое число, $b \neq 0$.

2) В выражении $(-4a^3b^2c + 3a^6b^5c^2) : a^2b$ делителем является одночлен $a^2b$.

Аналогично первому пункту, для того чтобы данное выражение имело смысл, его делитель не должен быть равен нулю. Запишем это условие:

$a^2b \neq 0$

Произведение нескольких множителей равно нулю, если хотя бы один из этих множителей равен нулю. Соответственно, чтобы произведение не было равно нулю, необходимо, чтобы каждый из его множителей был отличен от нуля.

Из условия $a^2b \neq 0$ следует два ограничения:

1. $a^2 \neq 0$, что эквивалентно $a \neq 0$.

2. $b \neq 0$.

Переменная $c$ входит только в состав делимого (числителя), поэтому на нее никаких ограничений не накладывается, и она может принимать любое значение.

Ответ: $a \neq 0$, $b \neq 0$, $c$ — любое число.

3. Привести пример:

1) одночлена, который делится на одночлен $x^2y^3$;

2) многочлена, который не делится на одночлен $ac^3$.

1) Чтобы один одночлен делился на другой, необходимо, чтобы степени всех переменных в делимом были не меньше соответствующих степеней переменных в делителе. В нашем случае делитель — это одночлен $x^2y^3$. Это значит, что мы должны составить такой одночлен, в котором переменная $x$ будет в степени не меньше 2, а переменная $y$ — в степени не меньше 3. Коэффициент может быть любым.
Возьмем в качестве примера одночлен $5x^4y^5$.
Проверим деление:
$\frac{5x^4y^5}{x^2y^3} = 5 \cdot x^{4-2} \cdot y^{5-3} = 5x^2y^2$
Поскольку в результате деления получился новый одночлен, исходный одночлен $5x^4y^5$ делится на $x^2y^3$.
Ответ: $5x^4y^5$.

2) Чтобы многочлен не делился на одночлен, достаточно, чтобы хотя бы один из его членов (одночленов, из которых он состоит) не делился на этот одночлен. Делитель в данном случае — это $ac^3$.
Составим многочлен, в котором один член будет делиться на $ac^3$, а другой — нет. Например, член $2a^2c^5$ делится на $ac^3$. Член $b$ или, например, $ac^2$ не делится на $ac^3$, так как в первом случае отсутствуют переменные $a$ и $c$, а во втором степень переменной $c$ (равная 2) меньше, чем требуемая степень 3.
Рассмотрим многочлен $2a^2c^5 + ac^2$.
Первый член $2a^2c^5$ делится на $ac^3$: $\frac{2a^2c^5}{ac^3} = 2ac^2$.
Второй член $ac^2$ не делится нацело на $ac^3$, так как степень переменной $c$ у него меньше, чем у делителя.
Поскольку не все члены многочлена делятся на $ac^3$, то и весь многочлен не делится на $ac^3$.
Ответ: $2a^2c^5 + ac^2$.