Страница 145 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

436. Найти значение алгебраического выражения, предварительно упростив его:

1) $(a-4)(a-2)-(a-1)(a-3)$ при $a=1\frac{3}{4}$;

2) $(m-5)(m-1)-(m+2)(m-3)$ при $m=-2\frac{3}{5}$;

3) $(x+1)(x+2)+(x+3)(x+4)$ при $x=-0,4$;

4) $(a-1)(a-2)+(a-3)(a-4)$ при $a=0,2$.

1) Упростим выражение $(a-4)(a-2)-(a-1)(a-3)$.
Сначала раскроем скобки, перемножая многочлены:
$(a-4)(a-2) = a \cdot a - 2 \cdot a - 4 \cdot a + 4 \cdot 2 = a^2 - 6a + 8$
$(a-1)(a-3) = a \cdot a - 3 \cdot a - 1 \cdot a + 1 \cdot 3 = a^2 - 4a + 3$
Теперь выполним вычитание полученных выражений:
$(a^2 - 6a + 8) - (a^2 - 4a + 3) = a^2 - 6a + 8 - a^2 + 4a - 3$
Приведем подобные слагаемые:
$(a^2 - a^2) + (-6a + 4a) + (8 - 3) = -2a + 5$
Теперь подставим значение $a = 1\frac{3}{4}$ в упрощенное выражение.
Переведем смешанную дробь в десятичную: $a = 1\frac{3}{4} = 1,75$.
Вычисляем значение выражения:
$-2a + 5 = -2 \cdot 1,75 + 5 = -3,5 + 5 = 1,5$
Ответ: 1,5

2) Упростим выражение $(m-5)(m-1)-(m+2)(m-3)$.
Раскроем скобки:
$(m-5)(m-1) = m^2 - m - 5m + 5 = m^2 - 6m + 5$
$(m+2)(m-3) = m^2 - 3m + 2m - 6 = m^2 - m - 6$
Выполним вычитание:
$(m^2 - 6m + 5) - (m^2 - m - 6) = m^2 - 6m + 5 - m^2 + m + 6$
Приведем подобные слагаемые:
$(m^2 - m^2) + (-6m + m) + (5 + 6) = -5m + 11$
Подставим значение $m = -2\frac{3}{5}$ в упрощенное выражение.
Переведем смешанную дробь в десятичную: $m = -2\frac{3}{5} = -2,6$.
Вычисляем значение выражения:
$-5m + 11 = -5 \cdot (-2,6) + 11 = 13 + 11 = 24$
Ответ: 24

3) Упростим выражение $(x+1)(x+2)+(x+3)(x+4)$.
Раскроем скобки:
$(x+1)(x+2) = x^2 + 2x + x + 2 = x^2 + 3x + 2$
$(x+3)(x+4) = x^2 + 4x + 3x + 12 = x^2 + 7x + 12$
Выполним сложение:
$(x^2 + 3x + 2) + (x^2 + 7x + 12) = x^2 + 3x + 2 + x^2 + 7x + 12$
Приведем подобные слагаемые:
$(x^2 + x^2) + (3x + 7x) + (2 + 12) = 2x^2 + 10x + 14$
Подставим значение $x = -0,4$ в упрощенное выражение:
$2x^2 + 10x + 14 = 2 \cdot (-0,4)^2 + 10 \cdot (-0,4) + 14 = 2 \cdot 0,16 - 4 + 14 = 0,32 + 10 = 10,32$
Ответ: 10,32

4) Упростим выражение $(a-1)(a-2)+(a-3)(a-4)$.
Раскроем скобки:
$(a-1)(a-2) = a^2 - 2a - a + 2 = a^2 - 3a + 2$
$(a-3)(a-4) = a^2 - 4a - 3a + 12 = a^2 - 7a + 12$
Выполним сложение:
$(a^2 - 3a + 2) + (a^2 - 7a + 12) = a^2 - 3a + 2 + a^2 - 7a + 12$
Приведем подобные слагаемые:
$(a^2 + a^2) + (-3a - 7a) + (2 + 12) = 2a^2 - 10a + 14$
Подставим значение $a = 0,2$ в упрощенное выражение:
$2a^2 - 10a + 14 = 2 \cdot (0,2)^2 - 10 \cdot (0,2) + 14 = 2 \cdot 0,04 - 2 + 14 = 0,08 + 12 = 12,08$
Ответ: 12,08

437. 1) Показать, что при $x=2\frac{1}{7}$ значение выражения $(5x-1)(x+3)-(x-2)(5x-4)$ равно 49.

2) Показать, что при $a=-3,5$ значение выражения $(a+3)(9a-8)-(2+a)(9a-1)$ равно -29.

1)

Чтобы доказать, что при $x = 2\frac{1}{7}$ значение выражения $(5x - 1)(x + 3) - (x - 2)(5x - 4)$ равно 49, сначала упростим данное выражение. Для этого раскроем скобки, выполнив умножение многочленов.

Первое произведение:

$(5x - 1)(x + 3) = 5x \cdot x + 5x \cdot 3 - 1 \cdot x - 1 \cdot 3 = 5x^2 + 15x - x - 3 = 5x^2 + 14x - 3$

Второе произведение:

$(x - 2)(5x - 4) = x \cdot 5x + x \cdot (-4) - 2 \cdot 5x - 2 \cdot (-4) = 5x^2 - 4x - 10x + 8 = 5x^2 - 14x + 8$

Теперь подставим полученные выражения в исходное и выполним вычитание:

$(5x^2 + 14x - 3) - (5x^2 - 14x + 8)$

Раскроем скобки, изменив знаки второго многочлена на противоположные, и приведем подобные слагаемые:

$5x^2 + 14x - 3 - 5x^2 + 14x - 8 = (5x^2 - 5x^2) + (14x + 14x) + (-3 - 8) = 28x - 11$

Теперь, когда выражение упрощено, подставим в него значение $x = 2\frac{1}{7}$.

Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$x = 2\frac{1}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{15}{7}$

Вычислим значение упрощенного выражения:

$28x - 11 = 28 \cdot \frac{15}{7} - 11 = \frac{28}{7} \cdot 15 - 11 = 4 \cdot 15 - 11 = 60 - 11 = 49$

Таким образом, мы показали, что значение выражения равно 49, что и требовалось доказать.

Ответ: 49.

2)

Чтобы доказать, что при $a = -3,5$ значение выражения $(a + 3)(9a - 8) - (2 + a)(9a - 1)$ равно -29, сначала упростим данное выражение, раскрыв скобки.

Первое произведение:

$(a + 3)(9a - 8) = a \cdot 9a - 8 \cdot a + 3 \cdot 9a - 3 \cdot 8 = 9a^2 - 8a + 27a - 24 = 9a^2 + 19a - 24$

Второе произведение:

$(2 + a)(9a - 1) = 2 \cdot 9a - 2 \cdot 1 + a \cdot 9a - a \cdot 1 = 18a - 2 + 9a^2 - a = 9a^2 + 17a - 2$

Подставим полученные многочлены в исходное выражение:

$(9a^2 + 19a - 24) - (9a^2 + 17a - 2)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$9a^2 + 19a - 24 - 9a^2 - 17a + 2 = (9a^2 - 9a^2) + (19a - 17a) + (-24 + 2) = 2a - 22$

Теперь подставим в упрощенное выражение значение $a = -3,5$:

$2a - 22 = 2 \cdot (-3,5) - 22 = -7 - 22 = -29$

Таким образом, мы показали, что значение выражения равно -29, что и требовалось доказать.

Ответ: -29.

438. Вычислить значение выражения:

1) $(n + \frac{1}{2})(n^2 - \frac{1}{2}n + \frac{1}{4})$ при $n = -2\frac{1}{2}$;

2) $(n - \frac{1}{3})(n^2 + \frac{1}{3}n + \frac{1}{9})$ при $n = \frac{7}{3}$.

1) Чтобы вычислить значение выражения $(n+\frac{1}{2})(n^2 - \frac{1}{2}n + \frac{1}{4})$ при $n = -2\frac{1}{2}$, сперва упростим его.
Данное выражение является формулой сокращенного умножения, а именно суммой кубов: $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$.
В нашем случае $a=n$ и $b=\frac{1}{2}$.
Следовательно, выражение можно переписать в виде:
$(n+\frac{1}{2})(n^2 - n \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2) = n^3 + (\frac{1}{2})^3 = n^3 + \frac{1}{8}$.
Теперь подставим значение $n = -2\frac{1}{2}$ в упрощенное выражение.
Переведем смешанное число в неправильную дробь: $n = -2\frac{1}{2} = -\frac{2 \cdot 2 + 1}{2} = -\frac{5}{2}$.
Выполним вычисление:
$n^3 + \frac{1}{8} = (-\frac{5}{2})^3 + \frac{1}{8} = -\frac{5^3}{2^3} + \frac{1}{8} = -\frac{125}{8} + \frac{1}{8} = \frac{-125+1}{8} = -\frac{124}{8}$.
Сократим полученную дробь:
$-\frac{124}{8} = -\frac{31 \cdot 4}{2 \cdot 4} = -\frac{31}{2}$.
Переведем неправильную дробь обратно в смешанное число:
$-\frac{31}{2} = -15\frac{1}{2}$.
Ответ: $-15\frac{1}{2}$.

2) Чтобы вычислить значение выражения $(n-\frac{1}{3})(n^2 + \frac{1}{3}n + \frac{1}{9})$ при $n = \frac{7}{3}$, также сначала упростим его.
Это выражение является формулой разности кубов: $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3$.
В данном случае $a=n$ и $b=\frac{1}{3}$.
Упростим выражение:
$(n-\frac{1}{3})(n^2 + n \cdot \frac{1}{3} + (\frac{1}{3})^2) = n^3 - (\frac{1}{3})^3 = n^3 - \frac{1}{27}$.
Теперь подставим в упрощенное выражение значение $n = \frac{7}{3}$.
Выполним вычисление:
$n^3 - \frac{1}{27} = (\frac{7}{3})^3 - \frac{1}{27} = \frac{7^3}{3^3} - \frac{1}{27} = \frac{343}{27} - \frac{1}{27} = \frac{343-1}{27} = \frac{342}{27}$.
Сократим полученную дробь. Сумма цифр числителя $3+4+2=9$, значит, числитель делится на 9. Знаменатель $27$ также делится на 9.
$\frac{342 \div 9}{27 \div 9} = \frac{38}{3}$.
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$\frac{38}{3} = 12\frac{2}{3}$.
Ответ: $12\frac{2}{3}$.

439. Упростить выражение и выяснить, при каком значении x значение выражения равно a:

1) $(x+3)(x-3)+(4-x)x;$

2) $x(1-2x)-(x-3)(x+3)+3x^2;$

3) $(x+2)(x+2)-x(5+x);$

4) $x^2(3-x)-(2-x^2)(x+1)-4x^2.$

1) Сначала упростим данное выражение. Применяя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ для первого произведения и распределительный закон для второго, получаем: $(x+3)(x-3)+(4-x)x = (x^2 - 3^2) + (4x - x^2)$. Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, имеем: $x^2 - 9 + 4x - x^2 = 4x - 9$.

Далее, найдем значение $x$, при котором это выражение равно $a$. Составим и решим уравнение:
$4x - 9 = a$
$4x = a + 9$
$x = \frac{a+9}{4}$

Ответ: $4x-9$; $x = \frac{a+9}{4}$.

2) Сначала упростим данное выражение. Раскроем скобки, используя распределительный закон и формулу разности квадратов: $x(1-2x) - (x-3)(x+3) + 3x^2 = (x - 2x^2) - (x^2 - 9) + 3x^2$. Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, имеем: $x - 2x^2 - x^2 + 9 + 3x^2 = (-2x^2 - x^2 + 3x^2) + x + 9 = x + 9$.

Далее, найдем значение $x$, при котором это выражение равно $a$. Составим и решим уравнение:
$x + 9 = a$
$x = a - 9$

Ответ: $x+9$; $x = a - 9$.

3) Сначала упростим данное выражение. Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ и распределительный закон: $(x+2)(x+2) - x(5+x) = (x^2 + 4x + 4) - (5x + x^2)$. Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, имеем: $x^2 + 4x + 4 - 5x - x^2 = (x^2 - x^2) + (4x - 5x) + 4 = 4 - x$.

Далее, найдем значение $x$, при котором это выражение равно $a$. Составим и решим уравнение:
$4 - x = a$
$-x = a - 4$
$x = 4 - a$

Ответ: $4-x$; $x = 4 - a$.

4) Сначала упростим данное выражение. Раскроем все скобки, используя распределительный закон и правило умножения многочленов: $x^2(3-x) - (2-x^2)(x+1) - 4x^2 = (3x^2 - x^3) - (2x + 2 - x^3 - x^2) - 4x^2$. Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, имеем: $3x^2 - x^3 - 2x - 2 + x^3 + x^2 - 4x^2 = (-x^3 + x^3) + (3x^2 + x^2 - 4x^2) - 2x - 2 = -2x - 2$.

Далее, найдем значение $x$, при котором это выражение равно $a$. Составим и решим уравнение:
$-2x - 2 = a$
$-2x = a + 2$
$x = \frac{a+2}{-2} = -\frac{a+2}{2}$

Ответ: $-2x-2$; $x = -\frac{a+2}{2}$.

440. 1) Расcматривая площадь прямоугольника ABCD (рис. 12, а), показать, что $(a+b)(c+d)=ac+bc+ad+bd$.

2) Расcматривая площадь прямоугольника ABFE (рис. 12, б), показать, что $(a+b)(c-d)=ac+bc-ad-bd$.

3) Расcматривая площадь прямоугольника BFKМ (рис. 12, б), показать, что $(a+b)d=(a+b)c-(a+b)(c-d)$.

Рис. 12

Рассмотрим большой прямоугольник `ABCD`, изображенный на рисунке 12, а. Его площадь можно вычислить как произведение длин его сторон.

Длина одной стороны прямоугольника `ABCD` равна сумме отрезков $a$ и $b$, то есть $a+b$.

Длина смежной стороны равна сумме отрезков $c$ и $d$, то есть $c+d$.

Таким образом, площадь прямоугольника `ABCD` равна $S_{ABCD} = (a+b)(c+d)$.

С другой стороны, этот прямоугольник разделен на четыре меньших прямоугольника. Их площади равны произведениям их сторон:

• $S_1 = a \cdot c = ac$
• $S_2 = b \cdot c = bc$
• $S_3 = a \cdot d = ad$
• $S_4 = b \cdot d = bd$

Площадь всего прямоугольника `ABCD` также равна сумме площадей этих четырех частей: $S_{ABCD} = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 = ac + bc + ad + bd$.

Приравнивая два полученных выражения для площади прямоугольника `ABCD`, мы доказываем тождество: $(a+b)(c+d) = ac + bc + ad + bd$.

Ответ: Тождество доказано путем представления площади прямоугольника двумя способами.

Рассмотрим прямоугольник `ABFE` на рисунке 12, б. Найдем его площадь.

Длина стороны `AE` этого прямоугольника равна сумме отрезков $a$ и $b$, то есть $a+b$.

Длина стороны `AB` равна разности отрезков `AM` и `BM`, то есть $c-d$.

Следовательно, площадь прямоугольника `ABFE` равна $S_{ABFE} = (a+b)(c-d)$.

Эту же площадь можно вычислить иначе. Площадь `ABFE` равна площади большого прямоугольника `AMKE` за вычетом площади верхнего прямоугольника `BMKF`.

Площадь прямоугольника `AMKE` со сторонами $a+b$ и $c$ равна $S_{AMKE} = (a+b)c = ac+bc$.

Площадь прямоугольника `BMKF` со сторонами $a+b$ и $d$ равна $S_{BMKF} = (a+b)d = ad+bd$.

Тогда площадь `ABFE` равна: $S_{ABFE} = S_{AMKE} - S_{BMKF} = (ac+bc) - (ad+bd) = ac+bc-ad-bd$.

Приравнивая два выражения для площади `ABFE`, получаем требуемое тождество: $(a+b)(c-d) = ac + bc - ad - bd$.

Ответ: Тождество доказано путем представления площади искомого прямоугольника в виде разности площадей двух других прямоугольников.

Рассмотрим прямоугольник `BFKM` на рисунке 12, б. Это верхний "горизонтальный" прямоугольник.

Длина его стороны `MK` равна $a+b$. Длина стороны `BM` равна $d$.

Площадь этого прямоугольника равна $S_{BFKM} = (a+b)d$.

С другой стороны, площадь этого прямоугольника можно получить, если из площади всего большого прямоугольника `AMKE` вычесть площадь нижнего прямоугольника `ABFE`.

Площадь прямоугольника `AMKE` со сторонами $a+b$ и $c$ равна $S_{AMKE} = (a+b)c$.

Площадь прямоугольника `ABFE` со сторонами $a+b$ и $c-d$ равна $S_{ABFE} = (a+b)(c-d)$.

Таким образом, $S_{BFKM} = S_{AMKE} - S_{ABFE}$.

Подставляя выражения для площадей, получаем: $(a+b)d = (a+b)c - (a+b)(c-d)$.

Ответ: Тождество доказано через представление площади прямоугольника `BFKM` как разности площадей прямоугольников `AMKE` и `ABFE`.

441. Доказать, что если $a(b+1)+b(a+1)=(a+1)(b+1)$, то $ab=1$.

Для доказательства утверждения необходимо преобразовать данное в условии равенство.

Исходное равенство: $a(b+1) + b(a+1) = (a+1)(b+1)$

Сначала раскроем скобки в левой части уравнения: $a(b+1) + b(a+1) = ab + a \cdot 1 + b \cdot a + b \cdot 1 = ab + a + ab + b$

Приведем подобные слагаемые в левой части: $ab + a + ab + b = 2ab + a + b$

Теперь раскроем скобки в правой части уравнения, используя правило умножения многочленов (каждый член первого многочлена умножается на каждый член второго): $(a+1)(b+1) = a \cdot b + a \cdot 1 + 1 \cdot b + 1 \cdot 1 = ab + a + b + 1$

Теперь приравняем преобразованные левую и правую части: $2ab + a + b = ab + a + b + 1$

Для дальнейшего упрощения вычтем из обеих частей равенства выражение $(a+b)$: $2ab + a + b - (a+b) = ab + a + b + 1 - (a+b)$ $2ab = ab + 1$

Наконец, вычтем $ab$ из обеих частей: $2ab - ab = 1$ $ab = 1$

Таким образом, мы пришли к выводу, что $ab = 1$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.