Страница 144 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Сформулировать правило умножения многочлена на многочлен.

1.

Правило умножения многочлена на многочлен заключается в следующем: чтобы найти произведение двух многочленов, необходимо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена, а затем сложить полученные произведения (одночлены).

В общем виде это правило можно записать так: пусть даны два многочлена, $(a + b)$ и $(c + d)$. Их произведение находится по формуле:

$(a + b) \cdot (c + d) = a \cdot c + a \cdot d + b \cdot c + b \cdot d$

Для выполнения умножения можно следовать алгоритму:

1. Каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена.
2. Сложить полученные произведения.
3. Привести подобные слагаемые в получившемся многочлене, если они есть, чтобы упростить выражение.

Рассмотрим на примере. Умножим многочлен $(3x^2 - 5x + 2)$ на многочлен $(x - 4)$.

1. Умножаем каждый член первого многочлена на каждый член второго:

$(3x^2 - 5x + 2) \cdot (x - 4) = (3x^2 \cdot x) + (3x^2 \cdot (-4)) + (-5x \cdot x) + (-5x \cdot (-4)) + (2 \cdot x) + (2 \cdot (-4))$

2. Выполняем умножение одночленов:

$3x^3 - 12x^2 - 5x^2 + 20x + 2x - 8$

3. Приводим подобные слагаемые. Подобными являются $-12x^2$ и $-5x^2$, а также $20x$ и $2x$:

$3x^3 + (-12x^2 - 5x^2) + (20x + 2x) - 8 = 3x^3 - 17x^2 + 22x - 8$

Таким образом, результатом умножения является многочлен $3x^3 - 17x^2 + 22x - 8$.

Ответ: Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить.

2. Прочитать запись:

1) $ (a+b)(c-d) $;

2) $ (a-b)(k+l+m) $.

Запись $ (a+b)(c-d) $ представляет собой алгебраическое выражение, которое является произведением двух сомножителей. Первый сомножитель, заключенный в первые скобки, — это $ (a+b) $. Он представляет собой сумму чисел $a$ и $b$. Второй сомножитель, заключенный во вторые скобки, — это $ (c-d) $. Он представляет собой разность чисел $c$ и $d$. Таким образом, чтобы прочитать всю запись, необходимо назвать операцию умножения между результатами выражений в скобках.

Ответ: Произведение суммы чисел $a$ и $b$ на разность чисел $c$ и $d$.

Запись $ (a-b)(k+l+m) $ также является произведением двух сомножителей. Первый сомножитель — это выражение $ (a-b) $, которое читается как "разность чисел $a$ и $b$". Второй сомножитель — это выражение $ (k+l+m) $, которое читается как "сумма чисел $k$, $l$ и $m$". Полностью выражение читается как произведение первого сомножителя на второй.

Ответ: Произведение разности чисел $a$ и $b$ на сумму чисел $k$, $l$ и $m$.

1. Записать в виде одночлена стандартного вида:

1) $-15x^3y^2 \frac{1}{5} x^6y;$

2) $\frac{2}{3}a^5b^7\left(-\frac{3}{4}\right)ab^3c.$

1) $-15x^3y^2 \frac{1}{5}x^6y$

Чтобы записать выражение в виде одночлена стандартного вида, нужно перемножить числовые коэффициенты и сгруппировать переменные, перемножив степени с одинаковыми основаниями.

Шаг 1: Перемножаем числовые коэффициенты.
$(-15) \cdot \frac{1}{5} = -\frac{15}{5} = -3$

Шаг 2: Перемножаем степени с основанием $x$, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$x^3 \cdot x^6 = x^{3+6} = x^9$

Шаг 3: Перемножаем степени с основанием $y$. Помним, что $y$ это $y^1$.
$y^2 \cdot y = y^{2+1} = y^3$

Шаг 4: Объединяем полученные результаты в один одночлен, записывая сначала коэффициент, а затем переменные в алфавитном порядке.
$-3x^9y^3$

Ответ: $-3x^9y^3$

2) $\frac{2}{3}a^5b^7(-\frac{3}{4})ab^3c$

Действуем по тому же алгоритму: перемножаем коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями.

Шаг 1: Перемножаем числовые коэффициенты.
$\frac{2}{3} \cdot (-\frac{3}{4}) = -\frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 4} = -\frac{6}{12} = -\frac{1}{2}$

Шаг 2: Перемножаем степени с одинаковыми основаниями.
Для переменной $a$: $a^5 \cdot a = a^{5+1} = a^6$
Для переменной $b$: $b^7 \cdot b^3 = b^{7+3} = b^{10}$
Переменная $c$ встречается в выражении только один раз, поэтому она остается без изменений.

Шаг 3: Собираем одночлен стандартного вида из полученных частей.
$-\frac{1}{2}a^6b^{10}c$

Ответ: $-\frac{1}{2}a^6b^{10}c$

2. Записать в стандартном виде многочлен:

1) $13m^{12}n - 6mn^6 + 8m^{12}n^6 - 7mn^6;$

2) $-28p^7k^3 + 18p^7k - 10k^3p^7 - 8kp^7 + 4.$

1) Чтобы записать многочлен в стандартном виде, необходимо привести подобные члены. Подобными членами называются слагаемые, у которых одинаковая буквенная часть.

Исходный многочлен: $13m^{12}n - 6mn^6 + 8m^{12}n^6 - 7mn^6$.

Найдем в нем подобные члены. Это $-6mn^6$ и $-7mn^6$, так как у них одинаковая буквенная часть $mn^6$.

Сложим их коэффициенты:

$-6mn^6 - 7mn^6 = (-6 - 7)mn^6 = -13mn^6$.

Остальные члены, $13m^{12}n$ и $8m^{12}n^6$, не имеют подобных, так как их буквенные части ($m^{12}n$ и $m^{12}n^6$) различны.

Теперь запишем новый многочлен, подставив результат сложения подобных членов:

$13m^{12}n - 13mn^6 + 8m^{12}n^6$.

Стандартный вид многочлена предполагает запись его членов в порядке убывания их степеней. Степень одночлена — это сумма показателей степеней всех входящих в него переменных.

• Степень члена $8m^{12}n^6$ равна $12 + 6 = 18$.
• Степень члена $13m^{12}n$ (или $13m^{12}n^1$) равна $12 + 1 = 13$.
• Степень члена $-13mn^6$ (или $-13m^1n^6$) равна $1 + 6 = 7$.

Расположим члены в порядке убывания их степеней: $8m^{12}n^6 + 13m^{12}n - 13mn^6$.

Ответ: $8m^{12}n^6 + 13m^{12}n - 13mn^6$

2) Для приведения многочлена к стандартному виду сначала приведем каждый его член к стандартному виду (переменные в алфавитном порядке), а затем приведем подобные члены.

Исходный многочлен: $-28p^7k^3 + 18p^7k - 10k^3p^7 - 8kp^7 + 4$.

Запишем переменные в каждом члене в алфавитном порядке (k, p):

$-28p^7k^3$ становится $-28k^3p^7$.
$18p^7k$ становится $18kp^7$.
Остальные члены уже записаны в стандартном виде.

Получаем выражение: $-28k^3p^7 + 18kp^7 - 10k^3p^7 - 8kp^7 + 4$.

Теперь найдем и сгруппируем подобные члены:

Первая группа: $-28k^3p^7$ и $-10k^3p^7$. Их сумма: $(-28 - 10)k^3p^7 = -38k^3p^7$.

Вторая группа: $18kp^7$ и $-8kp^7$. Их сумма: $(18 - 8)kp^7 = 10kp^7$.

Константа $4$ не имеет подобных членов.

Теперь запишем итоговый многочлен, собрав все полученные члены:

$-38k^3p^7 + 10kp^7 + 4$.

Члены уже расположены в порядке убывания степеней (степень $k^3p^7$ равна $3+7=10$, степень $kp^7$ равна $1+7=8$, степень константы $4$ равна $0$), поэтому это и есть окончательный стандартный вид.

Ответ: $-38k^3p^7 + 10kp^7 + 4$

Выполнить умножение многочленов (431–435).

431. 1) $(a+2)(a+3);$

2) $(z-1)(z+4);$

3) $(m+6)(n-1);$

4) $(b+4)(c+5).$

1) Чтобы выполнить умножение многочленов $(a+2)$ и $(a+3)$, необходимо каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго и сложить полученные произведения.
$(a+2)(a+3) = a \cdot a + a \cdot 3 + 2 \cdot a + 2 \cdot 3 = a^2 + 3a + 2a + 6$.
Теперь приведем подобные слагаемые (члены с одинаковой переменной в одинаковой степени):
$3a + 2a = 5a$.
Таким образом, итоговое выражение: $a^2 + 5a + 6$.
Ответ: $a^2 + 5a + 6$.

2) Умножим многочлен $(z-1)$ на $(z+4)$. Действуем по тому же правилу, внимательно следя за знаками:
$(z-1)(z+4) = z \cdot z + z \cdot 4 + (-1) \cdot z + (-1) \cdot 4 = z^2 + 4z - z - 4$.
Приводим подобные слагаемые:
$4z - z = 3z$.
Получаем: $z^2 + 3z - 4$.
Ответ: $z^2 + 3z - 4$.

3) Выполним умножение многочленов $(m+6)$ и $(n-1)$:
$(m+6)(n-1) = m \cdot n + m \cdot (-1) + 6 \cdot n + 6 \cdot (-1) = mn - m + 6n - 6$.
В данном выражении нет подобных слагаемых, так как все члены содержат разные переменные или их комбинации. Поэтому это окончательный вид многочлена.
Ответ: $mn - m + 6n - 6$.

4) Умножим многочлен $(b+4)$ на $(c+5)$:
$(b+4)(c+5) = b \cdot c + b \cdot 5 + 4 \cdot c + 4 \cdot 5 = bc + 5b + 4c + 20$.
Здесь, как и в предыдущем примере, подобных слагаемых нет, так как все переменные разные. Выражение является окончательным.
Ответ: $bc + 5b + 4c + 20$.

432. 1) $(c-4)(d-3)$;

2) $(a-10)(-a-2)$;

3) $(x+y)(x+1)$;

4) $(-p+q)(-1-q)$.

1) Чтобы раскрыть скобки в выражении $(c-4)(d-3)$, необходимо каждый член первой скобки умножить на каждый член второй скобки и сложить полученные произведения.

$(c-4)(d-3) = c \cdot d + c \cdot (-3) - 4 \cdot d - 4 \cdot (-3)$

Выполним умножение:

$c \cdot d = cd$

$c \cdot (-3) = -3c$

$-4 \cdot d = -4d$

$-4 \cdot (-3) = 12$

Теперь сложим все полученные члены:

$cd - 3c - 4d + 12$

Ответ: $cd - 3c - 4d + 12$

2) Перемножим многочлены $(a-10)$ и $(-a-2)$.

$(a-10)(-a-2) = a \cdot (-a) + a \cdot (-2) - 10 \cdot (-a) - 10 \cdot (-2)$

Выполним вычисления:

$-a^2 - 2a + 10a + 20$

Приведем подобные слагаемые ($-2a$ и $10a$):

$-2a + 10a = 8a$

В результате получаем многочлен:

$-a^2 + 8a + 20$

Ответ: $-a^2 + 8a + 20$

3) Раскроем скобки в выражении $(x+y)(x+1)$.

$(x+y)(x+1) = x \cdot x + x \cdot 1 + y \cdot x + y \cdot 1$

Выполним умножение:

$x^2 + x + yx + y$

Обычно принято записывать переменные в одночленах в алфавитном порядке, поэтому $yx$ запишем как $xy$. Упорядочим слагаемые:

$x^2 + xy + x + y$

Ответ: $x^2 + xy + x + y$

4) Перемножим многочлены $(-p+q)$ и $(-1-q)$.

$(-p+q)(-1-q) = (-p) \cdot (-1) + (-p) \cdot (-q) + q \cdot (-1) + q \cdot (-q)$

Выполним вычисления:

$p + pq - q - q^2$

Подобных слагаемых в полученном выражении нет, поэтому это окончательный результат.

Ответ: $p + pq - q - q^2$

433. 1) $(a^2 + b)(a + b^2)$;

2) $(5x^2 - 6y^2)(6x^2 - 5y^2)$;

3) $(a^2 + 2b)(2a + b^2)$;

4) $(x^2 + 2x + 1)(x + 3)$.

1)

Чтобы перемножить многочлены $(a^2 + b)$ и $(a + b^2)$, мы применяем правило распределения (или "фонтанчика"): каждый член первого многочлена умножается на каждый член второго.

$(a^2 + b)(a + b^2) = a^2 \cdot a + a^2 \cdot b^2 + b \cdot a + b \cdot b^2$

Выполняем умножение:

$a^3 + a^2b^2 + ab + b^3$

В полученном выражении нет подобных слагаемых, поэтому это и есть окончательный ответ.

Ответ: $a^3 + a^2b^2 + ab + b^3$.

2)

Умножим многочлен $(5x^2 - 6y^2)$ на $(6x^2 - 5y^2)$. Для этого каждый член первой скобки умножим на каждый член второй скобки.

$(5x^2 - 6y^2)(6x^2 - 5y^2) = 5x^2 \cdot 6x^2 + 5x^2 \cdot (-5y^2) - 6y^2 \cdot 6x^2 - 6y^2 \cdot (-5y^2)$

Вычисляем произведения:

$30x^4 - 25x^2y^2 - 36x^2y^2 + 30y^4$

Теперь приведем подобные слагаемые (члены с $x^2y^2$):

$-25x^2y^2 - 36x^2y^2 = -61x^2y^2$

Подставляем обратно в выражение:

$30x^4 - 61x^2y^2 + 30y^4$

Ответ: $30x^4 - 61x^2y^2 + 30y^4$.

3)

Для умножения $(a^2 + 2b)$ на $(2a + b^2)$ снова используем распределительное свойство.

$(a^2 + 2b)(2a + b^2) = a^2 \cdot 2a + a^2 \cdot b^2 + 2b \cdot 2a + 2b \cdot b^2$

Выполняем умножение для каждого члена:

$2a^3 + a^2b^2 + 4ab + 2b^3$

Подобных слагаемых в полученном многочлене нет, поэтому это окончательный результат.

Ответ: $2a^3 + a^2b^2 + 4ab + 2b^3$.

4)

Чтобы умножить трехчлен $(x^2 + 2x + 1)$ на двучлен $(x + 3)$, нужно каждый член трехчлена последовательно умножить на каждый член двучлена.

$(x^2 + 2x + 1)(x + 3) = x^2(x+3) + 2x(x+3) + 1(x+3)$

Раскрываем скобки:

$(x^3 + 3x^2) + (2x^2 + 6x) + (x + 3)$

Убираем скобки и получаем сумму всех членов:

$x^3 + 3x^2 + 2x^2 + 6x + x + 3$

Группируем и складываем подобные слагаемые:

$x^3 + (3x^2 + 2x^2) + (6x + x) + 3 = x^3 + 5x^2 + 7x + 3$

Ответ: $x^3 + 5x^2 + 7x + 3$.

434. 1) $(2a-b)(4a^2+2ab+b^2)$;

2) $(3a-2b)(9a^2+6ab+4b^2)$;

3) $(5x+3y)(25x^2-15xy+9y^2)$;

4) $(3a+2b)(9a^2-6ab+4b^2)$.

1) Для решения данного примера воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.

В нашем выражении $(2a - b)(4a^2 + 2ab + b^2)$ первый член $x$ из формулы равен $2a$, а второй член $y$ из формулы равен $b$.

Проверим, соответствует ли вторая скобка $(4a^2 + 2ab + b^2)$ части формулы $(x^2 + xy + y^2)$:

• Квадрат первого члена: $x^2 = (2a)^2 = 4a^2$.
• Произведение первого и второго членов: $xy = (2a)(b) = 2ab$.
• Квадрат второго члена: $y^2 = b^2$.

Все члены совпадают, следовательно, выражение является разностью кубов. Применяем формулу:

$(2a - b)(4a^2 + 2ab + b^2) = (2a)^3 - b^3 = 8a^3 - b^3$.

Ответ: $8a^3 - b^3$.

2) Данный пример также решается с помощью формулы разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.

В выражении $(3a - 2b)(9a^2 + 6ab + 4b^2)$ заменим $x$ на $3a$ и $y$ на $2b$.

Проверим, соответствует ли вторая скобка $(9a^2 + 6ab + 4b^2)$ части формулы $(x^2 + xy + y^2)$:

• Квадрат первого члена: $x^2 = (3a)^2 = 9a^2$.
• Произведение первого и второго членов: $xy = (3a)(2b) = 6ab$.
• Квадрат второго члена: $y^2 = (2b)^2 = 4b^2$.

Поскольку вторая скобка является неполным квадратом суммы, мы можем применить формулу разности кубов:

$(3a - 2b)(9a^2 + 6ab + 4b^2) = (3a)^3 - (2b)^3 = 27a^3 - 8b^3$.

Ответ: $27a^3 - 8b^3$.

3) Для решения этого примера воспользуемся формулой сокращенного умножения для суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + b^2)$.

В нашем выражении $(5x + 3y)(25x^2 - 15xy + 9y^2)$ первый член $x$ из формулы равен $5x$, а второй член $y$ из формулы равен $3y$.

Проверим, соответствует ли вторая скобка $(25x^2 - 15xy + 9y^2)$ части формулы $(x^2 - xy + y^2)$:

• Квадрат первого члена: $x^2 = (5x)^2 = 25x^2$.
• Произведение первого и второго членов со знаком минус: $-xy = -(5x)(3y) = -15xy$.
• Квадрат второго члена: $y^2 = (3y)^2 = 9y^2$.

Вторая скобка представляет собой неполный квадрат разности, что соответствует формуле. Применяем формулу суммы кубов:

$(5x + 3y)(25x^2 - 15xy + 9y^2) = (5x)^3 + (3y)^3 = 125x^3 + 27y^3$.

Ответ: $125x^3 + 27y^3$.

4) Этот пример также решается с помощью формулы суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.

В выражении $(3a + 2b)(9a^2 - 6ab + 4b^2)$ заменим $x$ на $3a$ и $y$ на $2b$.

Проверим, соответствует ли вторая скобка $(9a^2 - 6ab + 4b^2)$ части формулы $(x^2 - xy + y^2)$:

• Квадрат первого члена: $x^2 = (3a)^2 = 9a^2$.
• Произведение первого и второго членов со знаком минус: $-xy = -(3a)(2b) = -6ab$.
• Квадрат второго члена: $y^2 = (2b)^2 = 4b^2$.

Вторая скобка соответствует формуле неполного квадрата разности, поэтому мы можем применить формулу суммы кубов:

$(3a + 2b)(9a^2 - 6ab + 4b^2) = (3a)^3 + (2b)^3 = 27a^3 + 8b^3$.

Ответ: $27a^3 + 8b^3$.

435. 1) $(a-b)(a+b)(a-3b);$

2) $(a+b)(a-b)(a+3b);$

3) $(x+3)(2x-1)(3x+2);$

4) $(x-2)(3x+1)(4x-3).$

1) $(a-b)(a+b)(a-3b)$

Для решения этого примера сначала воспользуемся формулой разности квадратов для первых двух множителей: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

$(a-b)(a+b)(a-3b) = (a^2 - b^2)(a-3b)$

Теперь умножим полученный двучлен на третий множитель $(a-3b)$, используя правило умножения многочленов (каждый член одного многочлена умножается на каждый член другого):

$(a^2 - b^2)(a-3b) = a^2 \cdot a + a^2 \cdot (-3b) - b^2 \cdot a - b^2 \cdot (-3b) = a^3 - 3a^2b - ab^2 + 3b^3$

Приводить подобные слагаемые не нужно, так как их нет.

Ответ: $a^3 - 3a^2b - ab^2 + 3b^3$

2) $(a+b)(a-b)(a+3b)$

Как и в предыдущем примере, начнем с умножения первых двух множителей, используя формулу разности квадратов: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

$(a+b)(a-b)(a+3b) = (a^2 - b^2)(a+3b)$

Теперь умножим полученный результат на $(a+3b)$:

$(a^2 - b^2)(a+3b) = a^2 \cdot a + a^2 \cdot 3b - b^2 \cdot a - b^2 \cdot 3b = a^3 + 3a^2b - ab^2 - 3b^3$

Подобных слагаемых нет.

Ответ: $a^3 + 3a^2b - ab^2 - 3b^3$

3) $(x+3)(2x-1)(3x+2)$

Сначала перемножим первые два двучлена $(x+3)$ и $(2x-1)$:

$(x+3)(2x-1) = x \cdot 2x + x \cdot (-1) + 3 \cdot 2x + 3 \cdot (-1) = 2x^2 - x + 6x - 3$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2 + 5x - 3$

Теперь умножим полученный трехчлен на третий множитель $(3x+2)$:

$(2x^2 + 5x - 3)(3x+2) = 2x^2 \cdot 3x + 2x^2 \cdot 2 + 5x \cdot 3x + 5x \cdot 2 - 3 \cdot 3x - 3 \cdot 2$

Выполним умножение:

$6x^3 + 4x^2 + 15x^2 + 10x - 9x - 6$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$6x^3 + (4x^2 + 15x^2) + (10x - 9x) - 6 = 6x^3 + 19x^2 + x - 6$

Ответ: $6x^3 + 19x^2 + x - 6$

4) $(x-2)(3x+1)(4x-3)$

Сначала перемножим первые два двучлена $(x-2)$ и $(3x+1)$:

$(x-2)(3x+1) = x \cdot 3x + x \cdot 1 - 2 \cdot 3x - 2 \cdot 1 = 3x^2 + x - 6x - 2$

Приведем подобные слагаемые:

$3x^2 - 5x - 2$

Теперь умножим полученный трехчлен на третий множитель $(4x-3)$:

$(3x^2 - 5x - 2)(4x-3) = 3x^2 \cdot 4x + 3x^2 \cdot (-3) - 5x \cdot 4x - 5x \cdot (-3) - 2 \cdot 4x - 2 \cdot (-3)$

Выполним умножение:

$12x^3 - 9x^2 - 20x^2 + 15x - 8x + 6$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$12x^3 + (-9x^2 - 20x^2) + (15x - 8x) + 6 = 12x^3 - 29x^2 + 7x + 6$

Ответ: $12x^3 - 29x^2 + 7x + 6$