Страница 150 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

456. 1) $(6a - 8b + 10) : 2;$

2) $(8x + 12y - 16) : (-4);$

3) $(10a^2 - 12ab + 8a) : 2a;$

4) $(2ab + 6a^2b^2 - 4b) : 2b.$

1) Чтобы разделить многочлен $(6a - 8b + 10)$ на одночлен $2$, необходимо каждый член многочлена разделить на этот одночлен и полученные результаты сложить.

$(6a - 8b + 10) : 2 = \frac{6a}{2} - \frac{8b}{2} + \frac{10}{2} = 3a - 4b + 5$

Ответ: $3a - 4b + 5$

2) Разделим каждый член многочлена $(8x + 12y - 16)$ на одночлен $(-4)$. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знаки слагаемых меняются на противоположные.

$(8x + 12y - 16) : (-4) = \frac{8x}{-4} + \frac{12y}{-4} - \frac{16}{-4} = -2x - 3y + 4$

Ответ: $-2x - 3y + 4$

3) Разделим каждый член многочлена $(10a^2 - 12ab + 8a)$ на одночлен $2a$. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются, то есть $a^m : a^n = a^{m-n}$.

$(10a^2 - 12ab + 8a) : 2a = \frac{10a^2}{2a} - \frac{12ab}{2a} + \frac{8a}{2a} = 5a^{2-1} - 6b \cdot a^{1-1} + 4a^{1-1} = 5a - 6b \cdot a^0 + 4a^0 = 5a - 6b + 4$

Ответ: $5a - 6b + 4$

4) Разделим каждый член многочлена $(2ab + 6a^2b^2 - 4b)$ на одночлен $2b$.

$(2ab + 6a^2b^2 - 4b) : 2b = \frac{2ab}{2b} + \frac{6a^2b^2}{2b} - \frac{4b}{2b} = a + 3a^2b^{2-1} - 2 = a + 3a^2b - 2$

Ответ: $a + 3a^2b - 2$

Упростить выражение (457–458).

457.

1) $(6a^3 - 3a^2) : a^2 + (12a^2 + 9a) : (3a);$

2) $(8x^3 - 4x^2) : (2x^2) - (4x^2 - 3x) : x;$

3) $(7y^4 + 4y^2) : y^2 - (14y^3 + 6y) : (2y);$

4) $(10b^5 + 15b^3) : (5b^2) - (b^4 - b^2) : b.$

1) Чтобы упростить выражение $(6a^3 - 3a^2) : a^2 + (12a^2 + 9a) : (3a)$, выполним деление в каждом слагаемом по отдельности, а затем сложим результаты.

Сначала разделим многочлен $(6a^3 - 3a^2)$ на одночлен $a^2$. Для этого разделим каждый член многочлена на $a^2$:

$(6a^3 - 3a^2) : a^2 = \frac{6a^3}{a^2} - \frac{3a^2}{a^2} = 6a^{3-2} - 3a^{2-2} = 6a - 3$.

Теперь разделим многочлен $(12a^2 + 9a)$ на одночлен $(3a)$:

$(12a^2 + 9a) : (3a) = \frac{12a^2}{3a} + \frac{9a}{3a} = 4a^{2-1} + 3a^{1-1} = 4a + 3$.

Сложим полученные выражения:

$(6a - 3) + (4a + 3) = 6a - 3 + 4a + 3 = (6a + 4a) + (-3 + 3) = 10a$.

Ответ: $10a$.

2) Чтобы упростить выражение $(8x^3 - 4x^2) : (2x^2) - (4x^2 - 3x) : x$, выполним деление в уменьшаемом и вычитаемом, а затем найдем их разность.

Разделим первый многочлен на одночлен:

$(8x^3 - 4x^2) : (2x^2) = \frac{8x^3}{2x^2} - \frac{4x^2}{2x^2} = 4x^{3-2} - 2x^{2-2} = 4x - 2$.

Разделим второй многочлен на одночлен:

$(4x^2 - 3x) : x = \frac{4x^2}{x} - \frac{3x}{x} = 4x^{2-1} - 3x^{1-1} = 4x - 3$.

Вычтем второе выражение из первого. Важно не забыть про скобки, так как мы вычитаем целое выражение:

$(4x - 2) - (4x - 3) = 4x - 2 - 4x + 3 = (4x - 4x) + (-2 + 3) = 0 + 1 = 1$.

Ответ: $1$.

3) Чтобы упростить выражение $(7y^4 + 4y^2) : y^2 - (14y^3 + 6y) : (2y)$, поступим аналогично предыдущему примеру.

Выполним первое деление:

$(7y^4 + 4y^2) : y^2 = \frac{7y^4}{y^2} + \frac{4y^2}{y^2} = 7y^{4-2} + 4y^{2-2} = 7y^2 + 4$.

Выполним второе деление:

$(14y^3 + 6y) : (2y) = \frac{14y^3}{2y} + \frac{6y}{2y} = 7y^{3-1} + 3y^{1-1} = 7y^2 + 3$.

Найдем разность полученных выражений:

$(7y^2 + 4) - (7y^2 + 3) = 7y^2 + 4 - 7y^2 - 3 = (7y^2 - 7y^2) + (4 - 3) = 0 + 1 = 1$.

Ответ: $1$.

4) Чтобы упростить выражение $(10b^5 + 15b^3) : (5b^2) - (b^4 - b^2) : b$, выполним деление в каждой части выражения, а затем вычтем одно из другого.

Выполним первое деление:

$(10b^5 + 15b^3) : (5b^2) = \frac{10b^5}{5b^2} + \frac{15b^3}{5b^2} = 2b^{5-2} + 3b^{3-2} = 2b^3 + 3b$.

Выполним второе деление:

$(b^4 - b^2) : b = \frac{b^4}{b} - \frac{b^2}{b} = b^{4-1} - b^{2-1} = b^3 - b$.

Найдем разность полученных выражений:

$(2b^3 + 3b) - (b^3 - b) = 2b^3 + 3b - b^3 + b = (2b^3 - b^3) + (3b + b) = b^3 + 4b$.

Ответ: $b^3 + 4b$.

458. 1) $(3x^2 - 2x^2y) : x^2 - (2xy^2 + x^2y) : \left(\frac{1}{3}xy\right);$

2) $(a^2b - 3ab^2) : \left(\frac{1}{2}ab\right) + (6b^3 - 5ab^2) : b^2;$

3) $(3a^3x - 2ax^3) : \left(\frac{1}{4}ax\right) - (a^4x^2 - a^2x^4) : \left(\frac{1}{8}a^2x^2\right);$

4) $\left(\frac{2}{3}by^3 + \frac{1}{3}b^2y^2\right) : \left(\frac{3}{4}by^2\right) - (8b^3y - 2b^2y^2) : (2b^2y).$

1) Для решения данного выражения выполним действия по порядку. Сначала выполним деление в каждой из скобок, а затем вычтем полученные результаты.

Первое действие (деление): $(3x^2 - 2x^2y) : x^2$.
Разделим каждый член многочлена $3x^2 - 2x^2y$ на одночлен $x^2$:
$\frac{3x^2}{x^2} - \frac{2x^2y}{x^2} = 3 - 2y$.

Второе действие (деление): $(2xy^2 + x^2y) : (\frac{1}{3}xy)$.
Разделим каждый член многочлена $2xy^2 + x^2y$ на одночлен $\frac{1}{3}xy$. Деление на дробь $\frac{1}{3}$ равносильно умножению на 3.
$\frac{2xy^2}{\frac{1}{3}xy} + \frac{x^2y}{\frac{1}{3}xy} = (2xy^2 \cdot \frac{3}{xy}) + (x^2y \cdot \frac{3}{xy}) = 6y + 3x$.

Третье действие (вычитание): вычтем результат второго действия из результата первого действия.
$(3 - 2y) - (6y + 3x) = 3 - 2y - 6y - 3x = 3 - 3x - 8y$.

Ответ: $3 - 3x - 8y$.

2) Решим выражение, выполнив сначала деление в каждой части, а затем сложение результатов.

Первое действие (деление): $(a^2b - 3ab^2) : (\frac{1}{2}ab)$.
Разделим каждый член многочлена на одночлен $\frac{1}{2}ab$. Деление на $\frac{1}{2}$ равносильно умножению на 2.
$\frac{a^2b}{\frac{1}{2}ab} - \frac{3ab^2}{\frac{1}{2}ab} = (a^2b \cdot \frac{2}{ab}) - (3ab^2 \cdot \frac{2}{ab}) = 2a - 6b$.

Второе действие (деление): $(6b^3 - 5ab^2) : b^2$.
Разделим каждый член многочлена на одночлен $b^2$:
$\frac{6b^3}{b^2} - \frac{5ab^2}{b^2} = 6b - 5a$.

Третье действие (сложение): сложим полученные результаты.
$(2a - 6b) + (6b - 5a) = 2a - 6b + 6b - 5a = -3a$.

Ответ: $-3a$.

3) Решим выражение, выполнив сначала деление в каждой части, а затем вычитание результатов.

Первое действие (деление): $(3a^3x - 2ax^3) : (\frac{1}{4}ax)$.
Разделим каждый член многочлена на одночлен $\frac{1}{4}ax$. Деление на $\frac{1}{4}$ равносильно умножению на 4.
$\frac{3a^3x}{\frac{1}{4}ax} - \frac{2ax^3}{\frac{1}{4}ax} = (3a^3x \cdot \frac{4}{ax}) - (2ax^3 \cdot \frac{4}{ax}) = 12a^2 - 8x^2$.

Второе действие (деление): $(a^4x^2 - a^2x^4) : (\frac{1}{8}a^2x^2)$.
Разделим каждый член многочлена на одночлен $\frac{1}{8}a^2x^2$. Деление на $\frac{1}{8}$ равносильно умножению на 8.
$\frac{a^4x^2}{\frac{1}{8}a^2x^2} - \frac{a^2x^4}{\frac{1}{8}a^2x^2} = (a^4x^2 \cdot \frac{8}{a^2x^2}) - (a^2x^4 \cdot \frac{8}{a^2x^2}) = 8a^2 - 8x^2$.

Третье действие (вычитание): вычтем результат второго действия из результата первого.
$(12a^2 - 8x^2) - (8a^2 - 8x^2) = 12a^2 - 8x^2 - 8a^2 + 8x^2 = 4a^2$.

Ответ: $4a^2$.

4) Решим выражение, выполнив деление в каждой части, а затем вычитание.

Первое действие (деление): $(\frac{2}{3}by^3 + \frac{1}{3}b^2y^2) : (\frac{3}{4}by^2)$.
Разделим каждый член многочлена на одночлен $\frac{3}{4}by^2$. Деление на $\frac{3}{4}$ равносильно умножению на $\frac{4}{3}$.
$(\frac{2}{3}by^3 \cdot \frac{4}{3by^2}) + (\frac{1}{3}b^2y^2 \cdot \frac{4}{3by^2}) = \frac{8}{9}y + \frac{4}{9}b$.

Второе действие (деление): $(8b^3y - 2b^2y^2) : (2b^2y)$.
Разделим каждый член многочлена на одночлен $2b^2y$:
$\frac{8b^3y}{2b^2y} - \frac{2b^2y^2}{2b^2y} = 4b - y$.

Третье действие (вычитание): вычтем результат второго действия из результата первого.
$(\frac{8}{9}y + \frac{4}{9}b) - (4b - y) = \frac{8}{9}y + \frac{4}{9}b - 4b + y$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(\frac{8}{9}y + y) + (\frac{4}{9}b - 4b) = (\frac{8}{9}y + \frac{9}{9}y) + (\frac{4}{9}b - \frac{36}{9}b) = \frac{17}{9}y - \frac{32}{9}b$.

Ответ: $\frac{17}{9}y - \frac{32}{9}b$.

Найти значение алгебраического выражения (459–460).

459. $(18a^4 - 27a^3) : (9a^2) - 10a^3 : (5a)$ при $a = -8$.

459. Чтобы найти значение данного алгебраического выражения, сначала упростим его, выполнив действия в соответствии с их порядком.

1. Выполним деление в первой части выражения: $(18a^4 - 27a^3) : (9a^2)$. Для этого разделим каждый член многочлена на одночлен $9a^2$:

$(18a^4 - 27a^3) : (9a^2) = \frac{18a^4}{9a^2} - \frac{27a^3}{9a^2} = 2a^{4-2} - 3a^{3-2} = 2a^2 - 3a$.

2. Теперь выполним деление во второй части выражения: $10a^3 : (5a)$.

$10a^3 : (5a) = \frac{10a^3}{5a} = 2a^{3-1} = 2a^2$.

3. Подставим полученные результаты обратно в исходное выражение и приведем подобные слагаемые:

$(2a^2 - 3a) - 2a^2 = 2a^2 - 3a - 2a^2 = -3a$.

4. В результате упрощения мы получили выражение $-3a$. Теперь подставим в него заданное по условию значение $a = -8$:

$-3 \cdot (-8) = 24$.

Ответ: 24

460. $(3x^3 + 4x^2y) : x^2 - (10xy + 15y^2) : (5y)$ при $x=2$, $y=-5$.

Для нахождения значения выражения сначала упростим его, выполнив деление многочленов, а затем подставим заданные значения переменных $x$ и $y$.

Исходное выражение:

$(3x^3 + 4x^2y) : x^2 - (10xy + 15y^2) : (5y)$

1. Выполним первое деление. Для этого вынесем общий множитель $x^2$ за скобки в первом многочлене:

$(3x^3 + 4x^2y) : x^2 = (x^2(3x + 4y)) : x^2$

Сократив на $x^2$ (при $x \neq 0$), получим:

$3x + 4y$

2. Выполним второе деление. Вынесем общий множитель $5y$ за скобки во втором многочлене:

$(10xy + 15y^2) : (5y) = (5y(2x + 3y)) : (5y)$

Сократив на $5y$ (при $y \neq 0$), получим:

$2x + 3y$

3. Теперь подставим полученные выражения в исходное и упростим разность:

$(3x + 4y) - (2x + 3y)$

Раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак минус, знаки слагаемых в ней меняются на противоположные:

$3x + 4y - 2x - 3y$

Приведем подобные слагаемые:

$(3x - 2x) + (4y - 3y) = x + y$

4. Подставим значения $x=2$ и $y=-5$ в упрощенное выражение $x + y$:

$2 + (-5) = 2 - 5 = -3$

Ответ: -3