Страница 153 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

476. При каком значении $n$ верно равенство:

1) $(4^4)^n = 4^{12}$;

2) $(5^n)^2 = 5^{14}$;

3) $2^{2n} = 4^5$;

4) $3(3^2)^n = 3^{11}$?

1) Чтобы найти значение $n$ в равенстве $(4^4)^n = 4^{12}$, необходимо использовать свойство возведения степени в степень. Согласно этому свойству, $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Применим это правило к левой части уравнения:

$(4^4)^n = 4^{4 \cdot n} = 4^{4n}$

Теперь наше уравнение выглядит так:

$4^{4n} = 4^{12}$

Поскольку основания степеней в обеих частях равенства одинаковы (равны 4), мы можем приравнять их показатели:

$4n = 12$

Чтобы найти $n$, разделим обе части уравнения на 4:

$n = \frac{12}{4}$

$n = 3$

Ответ: $n=3$.

2) Для решения уравнения $(5^n)^2 = 5^{14}$ воспользуемся тем же свойством степеней: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Преобразуем левую часть равенства:

$(5^n)^2 = 5^{n \cdot 2} = 5^{2n}$

Теперь уравнение можно записать в виде:

$5^{2n} = 5^{14}$

Основания степеней равны (равны 5), значит, показатели степеней также должны быть равны:

$2n = 14$

Разделим обе части уравнения на 2:

$n = \frac{14}{2}$

$n = 7$

Ответ: $n=7$.

3) В уравнении $2^{2n} = 4^5$ основания степеней (2 и 4) различны. Чтобы решить уравнение, приведем их к одному основанию. Мы знаем, что $4 = 2^2$.

Заменим 4 в правой части уравнения на $2^2$:

$4^5 = (2^2)^5$

Теперь применим свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(2^2)^5 = 2^{2 \cdot 5} = 2^{10}$

Исходное уравнение принимает вид:

$2^{2n} = 2^{10}$

Основания степеней равны, поэтому приравниваем показатели:

$2n = 10$

Разделим обе части на 2:

$n = \frac{10}{2}$

$n = 5$

Ответ: $n=5$.

4) Рассмотрим уравнение $3(3^2)^n = 3^{11}$.

Сначала упростим левую часть. Множитель 3 можно представить как $3^1$. К выражению $(3^2)^n$ применим свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(3^2)^n = 3^{2 \cdot n} = 3^{2n}$

Теперь левая часть уравнения выглядит как $3^1 \cdot 3^{2n}$.

Далее используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^k = a^{m+k}$.

$3^1 \cdot 3^{2n} = 3^{1+2n}$

Таким образом, мы получили уравнение:

$3^{1+2n} = 3^{11}$

Так как основания степеней равны (равны 3), приравниваем их показатели:

$1 + 2n = 11$

Перенесем 1 в правую часть уравнения, изменив знак:

$2n = 11 - 1$

$2n = 10$

Разделим обе части на 2, чтобы найти $n$:

$n = \frac{10}{2}$

$n = 5$

Ответ: $n=5$.

477. В автобусе было $n$ пассажиров. На первых двух остановках вышло по $m$ человек на каждой остановке, а на третьей никто не вышел, но вошло несколько человек, после чего в автобусе стало $k$ пассажиров. Сколько человек вошло в автобус на третьей остановке?

Для того чтобы найти, сколько человек вошло в автобус на третьей остановке, составим уравнение, отражающее изменение количества пассажиров.

1. Изначально в автобусе было $n$ пассажиров.

2. На первых двух остановках вышло по $m$ человек на каждой. Значит, общее число пассажиров, покинувших автобус, равно $m + m = 2m$.

3. После двух остановок количество пассажиров в автобусе стало $n - 2m$.

4. На третьей остановке никто не вышел, но вошло некоторое количество человек. Обозначим это неизвестное количество как $x$. После этого в автобусе стало $(n - 2m) + x$ пассажиров.

5. По условию задачи, итоговое количество пассажиров равно $k$. Следовательно, мы можем приравнять наше выражение к $k$:
$n - 2m + x = k$

6. Теперь выразим из этого уравнения $x$, чтобы найти, сколько человек вошло на третьей остановке. Для этого перенесем все известные величины в правую часть уравнения:
$x = k - (n - 2m)$
$x = k - n + 2m$

Таким образом, на третьей остановке в автобус вошло $k - n + 2m$ человек.

Ответ: $k - n + 2m$ человек.

478. Решить уравнение:

1) $\frac{9 - x}{10} = \frac{2x - 3}{2}$;

2) $\frac{0,1 - 2x}{0,4} = \frac{2,5 - 10x}{12}$.

1) $\frac{9-x}{10} = \frac{2x-3}{2}$

Данное уравнение представляет собой пропорцию. Чтобы решить его, воспользуемся основным свойством пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних членов.

$2 \cdot (9-x) = 10 \cdot (2x-3)$

Раскроем скобки в левой и правой частях уравнения, применив распределительный закон умножения:

$18 - 2x = 20x - 30$

Теперь соберем слагаемые с переменной $x$ в одной части уравнения, а свободные члены (числа) — в другой. Перенесем $-2x$ в правую часть, а $-30$ — в левую, изменив их знаки на противоположные:

$18 + 30 = 20x + 2x$

Выполним сложение в обеих частях:

$48 = 22x$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 22:

$x = \frac{48}{22}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 2:

$x = \frac{24}{11}$

При желании можно выделить целую часть:

$x = 2 \frac{2}{11}$

Ответ: $x = \frac{24}{11}$

2) $\frac{0,1-2x}{0,4} = \frac{2,5-10x}{12}$

Это уравнение также является пропорцией. Применим основное свойство пропорции (правило "крест-накрест"):

$12 \cdot (0,1 - 2x) = 0,4 \cdot (2,5 - 10x)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$12 \cdot 0,1 - 12 \cdot 2x = 0,4 \cdot 2,5 - 0,4 \cdot 10x$

$1,2 - 24x = 1 - 4x$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в правую часть уравнения, а числа — в левую часть, не забывая менять знаки при переносе:

$1,2 - 1 = 24x - 4x$

Приведем подобные слагаемые в каждой части:

$0,2 = 20x$

Найдем $x$, разделив обе части на 20:

$x = \frac{0,2}{20}$

Для удобства вычислений можно записать десятичную дробь в виде обыкновенной или умножить числитель и знаменатель на 10, чтобы избавиться от запятой:

$x = \frac{0,2 \cdot 10}{20 \cdot 10} = \frac{2}{200} = \frac{1}{100}$

Запишем ответ в виде десятичной дроби:

$x = 0,01$

Ответ: $x = 0,01$

479. Упростить ($n$ — натуральное число, $n>4$):

1) $(12 \cdot 5^{2n+1} - 8 \cdot 5^{2n} + 4 \cdot 5^{2n-1}) : (4 \cdot 5^{2n-2});$

2) $(36 \cdot 18^n - 8 \cdot 2^{n-4} \cdot 9^n - 3^{n+1} \cdot 6^{n+1}) : 18^{n-1}.$

1) $(12 \cdot 5^{2n+1} - 8 \cdot 5^{2n} + 4 \cdot 5^{2n-1}) : (4 \cdot 5^{2n-2})$

Для упрощения данного выражения представим деление в виде дроби и разделим каждый член числителя на знаменатель. Это возможно, так как в знаменателе находится одночлен.

$\frac{12 \cdot 5^{2n+1} - 8 \cdot 5^{2n} + 4 \cdot 5^{2n-1}}{4 \cdot 5^{2n-2}} = \frac{12 \cdot 5^{2n+1}}{4 \cdot 5^{2n-2}} - \frac{8 \cdot 5^{2n}}{4 \cdot 5^{2n-2}} + \frac{4 \cdot 5^{2n-1}}{4 \cdot 5^{2n-2}}$

Теперь упростим каждое получившееся слагаемое, используя правило деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$:

Первое слагаемое: $\frac{12}{4} \cdot 5^{(2n+1) - (2n-2)} = 3 \cdot 5^{2n+1-2n+2} = 3 \cdot 5^3 = 3 \cdot 125 = 375$.

Второе слагаемое: $\frac{8}{4} \cdot 5^{2n - (2n-2)} = 2 \cdot 5^{2n-2n+2} = 2 \cdot 5^2 = 2 \cdot 25 = 50$.

Третье слагаемое: $\frac{4}{4} \cdot 5^{(2n-1) - (2n-2)} = 1 \cdot 5^{2n-1-2n+2} = 1 \cdot 5^1 = 5$.

Соберем все вместе, учитывая знаки:

$375 - 50 + 5 = 325 + 5 = 330$.

Выражение не зависит от $n$, поэтому условие $n>4$ не влияет на конечный результат.

Ответ: 330

2) $(36 \cdot 18^n - 8 \cdot 2^{n-4} \cdot 9^n - 3^{n+1} \cdot 6^{n+1}) : 18^{n-1}$

Для упрощения выражения в скобках приведем все его члены к общему степенному множителю. Заметим, что $18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3^2$. Попробуем выразить каждый член через $18^n$.

Первый член уже имеет нужный вид: $36 \cdot 18^n$.

Преобразуем второй член:

$8 \cdot 2^{n-4} \cdot 9^n = 2^3 \cdot 2^{n-4} \cdot (3^2)^n = 2^{3+n-4} \cdot 3^{2n} = 2^{n-1} \cdot 3^{2n}$

Чтобы получить $18^n = 2^n \cdot 3^{2n}$, вынесем $\frac{1}{2}$:

$2^{n-1} \cdot 3^{2n} = \frac{1}{2} \cdot 2^n \cdot 3^{2n} = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 3^2)^n = \frac{1}{2} \cdot 18^n$.

Преобразуем третий член, используя свойство $(a \cdot b)^m = a^m \cdot b^m$:

$3^{n+1} \cdot 6^{n+1} = (3 \cdot 6)^{n+1} = 18^{n+1} = 18 \cdot 18^n$.

Теперь подставим преобразованные члены обратно в выражение в скобках:

$(36 \cdot 18^n - \frac{1}{2} \cdot 18^n - 18 \cdot 18^n)$

Вынесем общий множитель $18^n$ за скобки:

$(36 - \frac{1}{2} - 18) \cdot 18^n = (18 - \frac{1}{2}) \cdot 18^n = \frac{35}{2} \cdot 18^n$.

Осталось выполнить деление на $18^{n-1}$:

$(\frac{35}{2} \cdot 18^n) : 18^{n-1} = \frac{35}{2} \cdot \frac{18^n}{18^{n-1}} = \frac{35}{2} \cdot 18^{n-(n-1)} = \frac{35}{2} \cdot 18^1 = 35 \cdot 9 = 315$.

Ответ: 315

480. Доказать, что если $2(a+1)(b+1)=(a+b)(a+b+2)$, то $a^2+b^2=2$.

Для доказательства данного утверждения необходимо преобразовать исходное равенство:$2(a+1)(b+1) = (a+b)(a+b+2)$.

Сначала раскроем скобки в левой части равенства:
$2(a+1)(b+1) = 2(ab + a + b + 1) = 2ab + 2a + 2b + 2$.

Теперь раскроем скобки в правой части равенства:
$(a+b)(a+b+2) = (a+b) \cdot (a+b) + 2 \cdot (a+b) = (a+b)^2 + 2(a+b)$.
Используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$, получаем:
$a^2 + 2ab + b^2 + 2a + 2b$.

Приравняем преобразованные левую и правую части уравнения:
$2ab + 2a + 2b + 2 = a^2 + 2ab + b^2 + 2a + 2b$.

Далее, упростим полученное уравнение, вычитая из обеих его частей одинаковые слагаемые. Видно, что в обеих частях присутствуют слагаемые $2ab$, $2a$ и $2b$. После их взаимного уничтожения (вычитания) получаем:
$2 = a^2 + b^2$.

Таким образом, мы доказали, что если выполняется равенство $2(a+1)(b+1) = (a+b)(a+b+2)$, то из него следует, что $a^2 + b^2 = 2$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

481. Сумма вклада в сберегательный банк увеличивается каждый год на $p$ %. Доказать, что, вложив в банк $a$ рублей, через три года вкладчик будет иметь на счету $a \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^3$ рублей.

Для доказательства утверждения будем последовательно рассчитывать размер вклада в конце каждого года.

Исходные данные:

• Начальная сумма вклада: $a$ рублей.
• Годовая процентная ставка: $p\%$.

Увеличение суммы на $p\%$ эквивалентно умножению текущей суммы на коэффициент $k = 1 + \frac{p}{100}$.

Сумма через 1 год:
В конце первого года начальная сумма $a$ увеличится на $p\%$. Сумма процентов составит $a \cdot \frac{p}{100}$.
Сумма на счете $S_1$ будет равна:
$S_1 = a + a \cdot \frac{p}{100} = a \left(1 + \frac{p}{100}\right)$.

Сумма через 2 года:
На второй год проценты начисляются на сумму $S_1$, которая была на счете в конце первого года.
Сумма на счете $S_2$ будет равна:
$S_2 = S_1 + S_1 \cdot \frac{p}{100} = S_1 \left(1 + \frac{p}{100}\right)$.
Подставим выражение для $S_1$ в эту формулу:
$S_2 = \left(a \left(1 + \frac{p}{100}\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right) = a \left(1 + \frac{p}{100}\right)^2$.

Сумма через 3 года:
На третий год проценты начисляются на сумму $S_2$, которая была на счете в конце второго года.
Сумма на счете $S_3$ будет равна:
$S_3 = S_2 + S_2 \cdot \frac{p}{100} = S_2 \left(1 + \frac{p}{100}\right)$.
Подставим выражение для $S_2$:
$S_3 = \left(a \left(1 + \frac{p}{100}\right)^2\right) \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right) = a \left(1 + \frac{p}{100}\right)^3$.

Таким образом, доказано, что вложив в банк $a$ рублей, через три года вкладчик будет иметь на счету $a \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^3$ рублей.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма вклада через три года действительно составит $a \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^3$ рублей.

482. Вычислить с помощью калькулятора значение выражения $a \cdot (1,02)^n$ при $a=1000$ и $n=3$; 5; 10. Результат округлить до сотых.

При n = 3
Для вычисления значения выражения $a \cdot (1,02)^n$ подставим заданные значения $a = 1000$ и $n = 3$:
$1000 \cdot (1,02)^3$
Сначала вычислим $(1,02)^3$:
$(1,02)^3 = 1,02 \cdot 1,02 \cdot 1,02 = 1,061208$
Теперь умножим результат на $a = 1000$:
$1000 \cdot 1,061208 = 1061,208$
Округлим полученное значение до сотых. Так как третья цифра после запятой (8) больше или равна 5, увеличиваем вторую цифру на единицу:
$1061,208 \approx 1061,21$
Ответ: 1061,21

При n = 5
Подставим значения $a = 1000$ и $n = 5$ в выражение:
$1000 \cdot (1,02)^5$
Вычислим $(1,02)^5$:
$(1,02)^5 \approx 1,1040808032$
Умножим результат на 1000:
$1000 \cdot 1,1040808032 = 1104,0808032$
Округлим до сотых. Третья цифра после запятой (0) меньше 5, поэтому вторая цифра после запятой остается без изменений:
$1104,0808032 \approx 1104,08$
Ответ: 1104,08

При n = 10
Подставим значения $a = 1000$ и $n = 10$ в выражение:
$1000 \cdot (1,02)^{10}$
Вычислим $(1,02)^{10}$:
$(1,02)^{10} \approx 1,21899442$
Умножим результат на 1000:
$1000 \cdot 1,21899442 = 1218,99442$
Округлим до сотых. Третья цифра после запятой (4) меньше 5, поэтому вторая цифра после запятой остается без изменений:
$1218,99442 \approx 1218,99$
Ответ: 1218,99

483. Трое хотят купить дом за $N$ ливров. Они условились, что первый даст половину суммы, второй — одну треть, а третий — оставшуюся часть. Сколько даст третий?

Обозначим общую стоимость дома как $N$ ливров. Эта сумма представляет собой целое, или 1.

Первый человек вносит половину суммы, то есть его доля составляет $\frac{1}{2}$ от общей стоимости. В денежном выражении это равно $\frac{1}{2}N$ ливров.

Второй человек вносит одну треть суммы, то есть его доля составляет $\frac{1}{3}$ от общей стоимости. В денежном выражении это равно $\frac{1}{3}N$ ливров.

Чтобы найти, какую часть суммы внесли первые два человека вместе, необходимо сложить их доли. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 2 и 3 это 6.

$ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6} $

Следовательно, первые два человека вместе вносят $\frac{5}{6}$ от общей стоимости дома.

Третий человек вносит оставшуюся часть. Чтобы найти его долю, нужно из полной стоимости дома (1) вычесть долю, внесенную первыми двумя:

$ 1 - \frac{5}{6} = \frac{6}{6} - \frac{5}{6} = \frac{1}{6} $

Это означает, что третий человек должен внести $\frac{1}{6}$ от общей стоимости дома.

В денежном выражении вклад третьего человека составит:

$ \frac{1}{6} \cdot N = \frac{N}{6} $ ливров.

Ответ: третий даст $\frac{1}{6}$ от стоимости дома, то есть $\frac{N}{6}$ ливров.

484. — Хроноса* вестник, скажи, какая часть дня миновала?

— Дважды две трети того, что прошло, остаётся.

Для решения этой задачи-загадки обозначим всю длительность дня за 1 (единицу). Пусть $x$ — это та часть дня, которая уже прошла. Тогда оставшаяся часть дня будет равна $(1 - x)$.

В условии сказано, что оставшаяся часть дня равна «дважды две трети того, что прошло». Запишем это в виде математического выражения. «Две трети того, что прошло» — это $\frac{2}{3}x$. Соответственно, «дважды две трети» — это $2 \cdot \frac{2}{3}x = \frac{4}{3}x$.

Теперь мы можем составить уравнение, приравняв выражение для оставшейся части дня $(1 - x)$ к полученному выражению из условия:

$1 - x = \frac{4}{3}x$

Решим это уравнение. Перенесём все слагаемые с переменной $x$ в правую часть:

$1 = \frac{4}{3}x + x$

Чтобы сложить слагаемые в правой части, представим $x$ как $\frac{3}{3}x$:

$1 = \frac{4}{3}x + \frac{3}{3}x$

$1 = \frac{7}{3}x$

Теперь выразим $x$:

$x = 1 \div \frac{7}{3} = 1 \cdot \frac{3}{7} = \frac{3}{7}$

Таким образом, миновало $\frac{3}{7}$ дня.

Проведем проверку. Если прошло $\frac{3}{7}$ дня, то осталось $1 - \frac{3}{7} = \frac{4}{7}$ дня. Дважды две трети от прошедшего времени составляют $2 \cdot (\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{7}) = \frac{4}{7}$. Это совпадает с оставшейся частью дня. Решение верное.

Ответ: Миновала $\frac{3}{7}$ часть дня.

1. Записать в стандартном виде:

1) число километров, выражающее расстояние от Земли до Солнца и равное $1.5 \times 10^8$ км;

2) число метров, выражающее радиус Земли и равное $6.37 \times 10^6$ м.

Стандартный вид числа — это его запись в виде $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$ и $n$ — целое число. Число $n$ называется порядком числа.

1) число километров, выражающее расстояние от Земли до Солнца и равное 150 млн км;

Сначала запишем данное число в обычном виде. 150 миллионов километров — это 150 000 000 км.

Чтобы представить число 150 000 000 в стандартном виде, нам нужно получить множитель $a$, который находится в диапазоне от 1 (включительно) до 10 (не включительно). Для этого мы должны поставить запятую после первой значащей цифры, то есть после 1. Получаем 1,5.

Теперь посчитаем, на сколько разрядов мы сдвинули запятую влево от ее первоначального положения (в конце числа). Запятая сдвинулась на 8 разрядов. Это и будет наш показатель степени $n$.

Таким образом, получаем: $150\;000\;000 = 1,5 \cdot 10^8$.

Ответ: $1,5 \cdot 10^8$ км.

2) число метров, выражающее радиус Земли и равное 6 370 000 м.

Радиус Земли равен 6 370 000 м.

Чтобы записать это число в стандартном виде, поставим запятую после первой цифры, 6. Получим число 6,37.

Посчитаем количество разрядов, на которое мы сдвинули запятую влево. Запятая переместилась на 6 позиций.

Следовательно, стандартный вид этого числа: $6\;370\;000 = 6,37 \cdot 10^6$.

Ответ: $6,37 \cdot 10^6$ м.