Номер 479, страница 153 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

479. Упростить ($n$ — натуральное число, $n>4$):

1) $(12 \cdot 5^{2n+1} - 8 \cdot 5^{2n} + 4 \cdot 5^{2n-1}) : (4 \cdot 5^{2n-2});$

2) $(36 \cdot 18^n - 8 \cdot 2^{n-4} \cdot 9^n - 3^{n+1} \cdot 6^{n+1}) : 18^{n-1}.$

1) $(12 \cdot 5^{2n+1} - 8 \cdot 5^{2n} + 4 \cdot 5^{2n-1}) : (4 \cdot 5^{2n-2})$

Для упрощения данного выражения представим деление в виде дроби и разделим каждый член числителя на знаменатель. Это возможно, так как в знаменателе находится одночлен.

$\frac{12 \cdot 5^{2n+1} - 8 \cdot 5^{2n} + 4 \cdot 5^{2n-1}}{4 \cdot 5^{2n-2}} = \frac{12 \cdot 5^{2n+1}}{4 \cdot 5^{2n-2}} - \frac{8 \cdot 5^{2n}}{4 \cdot 5^{2n-2}} + \frac{4 \cdot 5^{2n-1}}{4 \cdot 5^{2n-2}}$

Теперь упростим каждое получившееся слагаемое, используя правило деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$:

Первое слагаемое: $\frac{12}{4} \cdot 5^{(2n+1) - (2n-2)} = 3 \cdot 5^{2n+1-2n+2} = 3 \cdot 5^3 = 3 \cdot 125 = 375$.

Второе слагаемое: $\frac{8}{4} \cdot 5^{2n - (2n-2)} = 2 \cdot 5^{2n-2n+2} = 2 \cdot 5^2 = 2 \cdot 25 = 50$.

Третье слагаемое: $\frac{4}{4} \cdot 5^{(2n-1) - (2n-2)} = 1 \cdot 5^{2n-1-2n+2} = 1 \cdot 5^1 = 5$.

Соберем все вместе, учитывая знаки:

$375 - 50 + 5 = 325 + 5 = 330$.

Выражение не зависит от $n$, поэтому условие $n>4$ не влияет на конечный результат.

Ответ: 330

2) $(36 \cdot 18^n - 8 \cdot 2^{n-4} \cdot 9^n - 3^{n+1} \cdot 6^{n+1}) : 18^{n-1}$

Для упрощения выражения в скобках приведем все его члены к общему степенному множителю. Заметим, что $18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3^2$. Попробуем выразить каждый член через $18^n$.

Первый член уже имеет нужный вид: $36 \cdot 18^n$.

Преобразуем второй член:

$8 \cdot 2^{n-4} \cdot 9^n = 2^3 \cdot 2^{n-4} \cdot (3^2)^n = 2^{3+n-4} \cdot 3^{2n} = 2^{n-1} \cdot 3^{2n}$

Чтобы получить $18^n = 2^n \cdot 3^{2n}$, вынесем $\frac{1}{2}$:

$2^{n-1} \cdot 3^{2n} = \frac{1}{2} \cdot 2^n \cdot 3^{2n} = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 3^2)^n = \frac{1}{2} \cdot 18^n$.

Преобразуем третий член, используя свойство $(a \cdot b)^m = a^m \cdot b^m$:

$3^{n+1} \cdot 6^{n+1} = (3 \cdot 6)^{n+1} = 18^{n+1} = 18 \cdot 18^n$.

Теперь подставим преобразованные члены обратно в выражение в скобках:

$(36 \cdot 18^n - \frac{1}{2} \cdot 18^n - 18 \cdot 18^n)$

Вынесем общий множитель $18^n$ за скобки:

$(36 - \frac{1}{2} - 18) \cdot 18^n = (18 - \frac{1}{2}) \cdot 18^n = \frac{35}{2} \cdot 18^n$.

Осталось выполнить деление на $18^{n-1}$:

$(\frac{35}{2} \cdot 18^n) : 18^{n-1} = \frac{35}{2} \cdot \frac{18^n}{18^{n-1}} = \frac{35}{2} \cdot 18^{n-(n-1)} = \frac{35}{2} \cdot 18^1 = 35 \cdot 9 = 315$.

Ответ: 315