Номер 476, страница 153 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

476. При каком значении $n$ верно равенство:

1) $(4^4)^n = 4^{12}$;

2) $(5^n)^2 = 5^{14}$;

3) $2^{2n} = 4^5$;

4) $3(3^2)^n = 3^{11}$?

1) Чтобы найти значение $n$ в равенстве $(4^4)^n = 4^{12}$, необходимо использовать свойство возведения степени в степень. Согласно этому свойству, $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Применим это правило к левой части уравнения:

$(4^4)^n = 4^{4 \cdot n} = 4^{4n}$

Теперь наше уравнение выглядит так:

$4^{4n} = 4^{12}$

Поскольку основания степеней в обеих частях равенства одинаковы (равны 4), мы можем приравнять их показатели:

$4n = 12$

Чтобы найти $n$, разделим обе части уравнения на 4:

$n = \frac{12}{4}$

$n = 3$

Ответ: $n=3$.

2) Для решения уравнения $(5^n)^2 = 5^{14}$ воспользуемся тем же свойством степеней: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Преобразуем левую часть равенства:

$(5^n)^2 = 5^{n \cdot 2} = 5^{2n}$

Теперь уравнение можно записать в виде:

$5^{2n} = 5^{14}$

Основания степеней равны (равны 5), значит, показатели степеней также должны быть равны:

$2n = 14$

Разделим обе части уравнения на 2:

$n = \frac{14}{2}$

$n = 7$

Ответ: $n=7$.

3) В уравнении $2^{2n} = 4^5$ основания степеней (2 и 4) различны. Чтобы решить уравнение, приведем их к одному основанию. Мы знаем, что $4 = 2^2$.

Заменим 4 в правой части уравнения на $2^2$:

$4^5 = (2^2)^5$

Теперь применим свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(2^2)^5 = 2^{2 \cdot 5} = 2^{10}$

Исходное уравнение принимает вид:

$2^{2n} = 2^{10}$

Основания степеней равны, поэтому приравниваем показатели:

$2n = 10$

Разделим обе части на 2:

$n = \frac{10}{2}$

$n = 5$

Ответ: $n=5$.

4) Рассмотрим уравнение $3(3^2)^n = 3^{11}$.

Сначала упростим левую часть. Множитель 3 можно представить как $3^1$. К выражению $(3^2)^n$ применим свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(3^2)^n = 3^{2 \cdot n} = 3^{2n}$

Теперь левая часть уравнения выглядит как $3^1 \cdot 3^{2n}$.

Далее используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^k = a^{m+k}$.

$3^1 \cdot 3^{2n} = 3^{1+2n}$

Таким образом, мы получили уравнение:

$3^{1+2n} = 3^{11}$

Так как основания степеней равны (равны 3), приравниваем их показатели:

$1 + 2n = 11$

Перенесем 1 в правую часть уравнения, изменив знак:

$2n = 11 - 1$

$2n = 10$

Разделим обе части на 2, чтобы найти $n$:

$n = \frac{10}{2}$

$n = 5$

Ответ: $n=5$.