Номер 471, страница 152 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

471. Упростить выражение:

1) $5x^3 / x - (2x)^2 + x^4 / (2x^2)$;

2) $6x^4 / x - 5x^5 / x^2 + (2x)^3$;

3) $(3x^4 + \frac{1}{3}x^2) / x - x^3 / (3x^2) + (3x)^3$;

4) $(12x^3 - 8x^2) / (4x) - 4x(3x + 0.25)$.

1) $5x^3 : x - (2x)^2 + x^4 : (2x^2)$

Для упрощения выражения выполним действия в соответствии с их приоритетом: сначала возведение в степень и деление, затем сложение и вычитание. Упростим каждый член выражения по отдельности:

Первый член: $5x^3 : x = 5x^{3-1} = 5x^2$

Второй член: $(2x)^2 = 2^2 \cdot x^2 = 4x^2$

Третий член: $x^4 : (2x^2) = \frac{1}{2}x^{4-2} = \frac{1}{2}x^2 = 0,5x^2$

Теперь подставим упрощенные члены в исходное выражение и приведем подобные слагаемые:

$5x^2 - 4x^2 + 0,5x^2 = (5 - 4 + 0,5)x^2 = 1,5x^2$

Ответ: $1,5x^2$

2) $6x^4 : x - 5x^5 : x^2 + (2x)^3$

Упростим каждый член выражения, выполняя действия в правильном порядке:

Первый член: $6x^4 : x = 6x^{4-1} = 6x^3$

Второй член: $5x^5 : x^2 = 5x^{5-2} = 5x^3$

Третий член: $(2x)^3 = 2^3 \cdot x^3 = 8x^3$

Подставим полученные значения в выражение и выполним сложение и вычитание:

$6x^3 - 5x^3 + 8x^3 = (6 - 5 + 8)x^3 = 9x^3$

Ответ: $9x^3$

3) $\left(3x^4 + \frac{1}{3}x^2\right) : x - x^3 : (3x^2) + (3x)^3$

Упростим выражение по частям:

1. Разделим многочлен в скобках на одночлен $x$:

$\left(3x^4 + \frac{1}{3}x^2\right) : x = (3x^4 : x) + \left(\frac{1}{3}x^2 : x\right) = 3x^{3} + \frac{1}{3}x$

2. Выполним второе деление:

$x^3 : (3x^2) = \frac{1}{3}x^{3-2} = \frac{1}{3}x$

3. Возведем одночлен в куб:

$(3x)^3 = 3^3 \cdot x^3 = 27x^3$

Теперь соберем все части вместе и приведем подобные слагаемые:

$\left(3x^3 + \frac{1}{3}x\right) - \frac{1}{3}x + 27x^3 = 3x^3 + \frac{1}{3}x - \frac{1}{3}x + 27x^3 = (3x^3 + 27x^3) + \left(\frac{1}{3}x - \frac{1}{3}x\right) = 30x^3$

Ответ: $30x^3$

4) $(12x^3 - 8x^2) : 4x - 4x(3x + 0,25)$

Упростим выражение по частям, выполняя сначала деление и умножение, а затем вычитание.

1. Выполним деление многочлена на одночлен:

$(12x^3 - 8x^2) : 4x = (12x^3 : 4x) - (8x^2 : 4x) = 3x^{3-1} - 2x^{2-1} = 3x^2 - 2x$

2. Раскроем скобки во второй части выражения, умножив одночлен на многочлен:

$-4x(3x + 0,25) = -(4x \cdot 3x + 4x \cdot 0,25) = -(12x^2 + x) = -12x^2 - x$

Теперь объединим полученные результаты:

$(3x^2 - 2x) + (-12x^2 - x) = 3x^2 - 2x - 12x^2 - x$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(3x^2 - 12x^2) + (-2x - x) = -9x^2 - 3x$

Ответ: $-9x^2 - 3x$