Номер 468, страница 152 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

468. Выполнить умножение многочлена на одночлен:

1) $(\frac{1}{2}a^3b^2 - \frac{3}{4}ab^4)\frac{4}{3}a^3b;$

2) $(\frac{2}{3}a^2b^4 + \frac{1}{2}a^3b)\frac{3}{2}ab^3;$

3) $(1\frac{4}{7}a^3x^3 - 2\frac{3}{4}a^2x^3 - 11ax^4)(-2\frac{6}{11}ax^6);$

4) $(-2\frac{4}{9}b^6y + 2\frac{1}{5}b^3y^2 - 11by^5)(-2\frac{1}{22}b^4y^5).$

Чтобы умножить многочлен на одночлен, необходимо каждый член многочлена умножить на этот одночлен и полученные произведения сложить. Используем распределительное свойство умножения.
$(\frac{1}{2}a^3b^2 - \frac{3}{4}ab^4) \cdot \frac{4}{3}a^3b = (\frac{1}{2}a^3b^2) \cdot (\frac{4}{3}a^3b) - (\frac{3}{4}ab^4) \cdot (\frac{4}{3}a^3b)$.
Выполним умножение для каждого члена, перемножая числовые коэффициенты и складывая показатели степеней у одинаковых оснований:
$ = (\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}) \cdot a^{3+3} \cdot b^{2+1} - (\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}) \cdot a^{1+3} \cdot b^{4+1}$
$ = \frac{4}{6}a^6b^3 - \frac{12}{12}a^4b^5$
Сократим дроби и получим окончательный результат:
$ = \frac{2}{3}a^6b^3 - a^4b^5$.
Ответ: $\frac{2}{3}a^6b^3 - a^4b^5$

Применим распределительное свойство для умножения многочлена $(\frac{2}{3}a^2b^4 + \frac{1}{2}a^3b)$ на одночлен $\frac{3}{2}ab^3$:
$(\frac{2}{3}a^2b^4 + \frac{1}{2}a^3b) \cdot \frac{3}{2}ab^3 = (\frac{2}{3}a^2b^4) \cdot (\frac{3}{2}ab^3) + (\frac{1}{2}a^3b) \cdot (\frac{3}{2}ab^3)$.
Перемножим коэффициенты и соответствующие переменные:
$ = (\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}) \cdot a^{2+1} \cdot b^{4+3} + (\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}) \cdot a^{3+1} \cdot b^{1+3}$
$ = \frac{6}{6}a^3b^7 + \frac{3}{4}a^4b^4$
Упростим коэффициенты:
$ = a^3b^7 + \frac{3}{4}a^4b^4$.
Ответ: $a^3b^7 + \frac{3}{4}a^4b^4$

Для выполнения умножения $(1\frac{4}{7}a^3x^3 - 2\frac{3}{4}a^2x^3 - 11ax^4) \cdot (-2\frac{6}{11}ax^6)$ сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
$1\frac{4}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 4}{7} = \frac{11}{7}$;
$2\frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{11}{4}$;
$-2\frac{6}{11} = -\frac{2 \cdot 11 + 6}{11} = -\frac{28}{11}$.
Теперь выражение имеет вид: $(\frac{11}{7}a^3x^3 - \frac{11}{4}a^2x^3 - 11ax^4) \cdot (-\frac{28}{11}ax^6)$.
Применим распределительный закон, умножая каждый член многочлена на одночлен:
$ = (\frac{11}{7}a^3x^3) \cdot (-\frac{28}{11}ax^6) + (-\frac{11}{4}a^2x^3) \cdot (-\frac{28}{11}ax^6) + (-11ax^4) \cdot (-\frac{28}{11}ax^6)$
$ = -(\frac{11 \cdot 28}{7 \cdot 11})a^{3+1}x^{3+6} + (\frac{11 \cdot 28}{4 \cdot 11})a^{2+1}x^{3+6} + (\frac{11 \cdot 28}{11})a^{1+1}x^{4+6}$
Сократим дроби и вычислим:
$ = -(\frac{28}{7})a^4x^9 + (\frac{28}{4})a^3x^9 + 28a^2x^{10}$
$ = -4a^4x^9 + 7a^3x^9 + 28a^2x^{10}$.
Ответ: $-4a^4x^9 + 7a^3x^9 + 28a^2x^{10}$

Для решения примера $(-2\frac{4}{9}b^6y + 2\frac{1}{5}b^3y^2 - 11by^5) \cdot (-2\frac{1}{22}b^4y^5)$ преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
$-2\frac{4}{9} = -\frac{2 \cdot 9 + 4}{9} = -\frac{22}{9}$;
$2\frac{1}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{11}{5}$;
$-2\frac{1}{22} = -\frac{2 \cdot 22 + 1}{22} = -\frac{45}{22}$.
Подставим дроби в исходное выражение: $(-\frac{22}{9}b^6y + \frac{11}{5}b^3y^2 - 11by^5) \cdot (-\frac{45}{22}b^4y^5)$.
Умножим каждый член многочлена на одночлен:
$ = (-\frac{22}{9}b^6y) \cdot (-\frac{45}{22}b^4y^5) + (\frac{11}{5}b^3y^2) \cdot (-\frac{45}{22}b^4y^5) + (-11by^5) \cdot (-\frac{45}{22}b^4y^5)$
$ = (\frac{22 \cdot 45}{9 \cdot 22})b^{6+4}y^{1+5} - (\frac{11 \cdot 45}{5 \cdot 22})b^{3+4}y^{2+5} + (\frac{11 \cdot 45}{22})b^{1+4}y^{5+5}$
Упростим коэффициенты, сокращая дроби:
$ = (\frac{45}{9})b^{10}y^6 - (\frac{1}{5} \cdot \frac{45}{2})b^7y^7 + (\frac{45}{2})b^5y^{10}$
$ = 5b^{10}y^6 - (\frac{9}{2})b^7y^7 + \frac{45}{2}b^5y^{10}$.
Ответ: $5b^{10}y^6 - \frac{9}{2}b^7y^7 + \frac{45}{2}b^5y^{10}$