Номер 463, страница 151 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

463. 1) $(\frac{3}{5})^4 \cdot \frac{5^3}{3^2};$

2) $\frac{7^5}{5^7} \cdot (\frac{5}{7})^6;$

3) $(\frac{2}{3})^3 \cdot (\frac{3}{2})^5;$

4) $(\frac{3}{4})^6 \cdot (\frac{4}{3})^8.$

1) Чтобы вычислить значение выражения $(\frac{3}{5})^4 \cdot \frac{5^3}{3^2}$, воспользуемся свойствами степеней.
Сначала применим свойство возведения дроби в степень $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$:
$(\frac{3}{5})^4 = \frac{3^4}{5^4}$
Теперь подставим это в исходное выражение:
$\frac{3^4}{5^4} \cdot \frac{5^3}{3^2}$
Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями и применим правило деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{3^4}{3^2} \cdot \frac{5^3}{5^4} = 3^{4-2} \cdot 5^{3-4} = 3^2 \cdot 5^{-1} = 9 \cdot \frac{1}{5} = \frac{9}{5}$.
Ответ: $\frac{9}{5}$.

2) Для вычисления выражения $\frac{7^5}{5^7} \cdot (\frac{5}{7})^6$ раскроем скобки, используя свойство $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$:
$(\frac{5}{7})^6 = \frac{5^6}{7^6}$
Выражение примет вид:
$\frac{7^5}{5^7} \cdot \frac{5^6}{7^6}$
Перегруппируем дроби, чтобы основания степеней совпадали в числителе и знаменателе, и воспользуемся свойством $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{7^5}{7^6} \cdot \frac{5^6}{5^7} = 7^{5-6} \cdot 5^{6-7} = 7^{-1} \cdot 5^{-1} = \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{35}$.
Ответ: $\frac{1}{35}$.

3) В выражении $(\frac{2}{3})^3 \cdot (\frac{3}{2})^5$ основания являются взаимно обратными числами. Воспользуемся свойством $(\frac{a}{b})^n = (\frac{b}{a})^{-n}$. Представим первый множитель в другом виде:
$(\frac{2}{3})^3 = (\frac{3}{2})^{-3}$
Теперь выражение выглядит так:
$(\frac{3}{2})^{-3} \cdot (\frac{3}{2})^5$
Применяя правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, сложим показатели:
$(\frac{3}{2})^{-3+5} = (\frac{3}{2})^2 = \frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4}$.
Ответ: $\frac{9}{4}$.

4) Решим пример $(\frac{3}{4})^6 \cdot (\frac{4}{3})^8$ аналогично предыдущему. Основания дробей взаимно обратные. Используем свойство $(\frac{a}{b})^n = (\frac{b}{a})^{-n}$ для первого множителя:
$(\frac{3}{4})^6 = (\frac{4}{3})^{-6}$
Подставим это в выражение:
$(\frac{4}{3})^{-6} \cdot (\frac{4}{3})^8$
Теперь воспользуемся правилом умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$(\frac{4}{3})^{-6+8} = (\frac{4}{3})^2 = \frac{4^2}{3^2} = \frac{16}{9}$.
Ответ: $\frac{16}{9}$.