Номер 458, страница 150 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

458. 1) $(3x^2 - 2x^2y) : x^2 - (2xy^2 + x^2y) : \left(\frac{1}{3}xy\right);$

2) $(a^2b - 3ab^2) : \left(\frac{1}{2}ab\right) + (6b^3 - 5ab^2) : b^2;$

3) $(3a^3x - 2ax^3) : \left(\frac{1}{4}ax\right) - (a^4x^2 - a^2x^4) : \left(\frac{1}{8}a^2x^2\right);$

4) $\left(\frac{2}{3}by^3 + \frac{1}{3}b^2y^2\right) : \left(\frac{3}{4}by^2\right) - (8b^3y - 2b^2y^2) : (2b^2y).$

1) Для решения данного выражения выполним действия по порядку. Сначала выполним деление в каждой из скобок, а затем вычтем полученные результаты.

Первое действие (деление): $(3x^2 - 2x^2y) : x^2$.
Разделим каждый член многочлена $3x^2 - 2x^2y$ на одночлен $x^2$:
$\frac{3x^2}{x^2} - \frac{2x^2y}{x^2} = 3 - 2y$.

Второе действие (деление): $(2xy^2 + x^2y) : (\frac{1}{3}xy)$.
Разделим каждый член многочлена $2xy^2 + x^2y$ на одночлен $\frac{1}{3}xy$. Деление на дробь $\frac{1}{3}$ равносильно умножению на 3.
$\frac{2xy^2}{\frac{1}{3}xy} + \frac{x^2y}{\frac{1}{3}xy} = (2xy^2 \cdot \frac{3}{xy}) + (x^2y \cdot \frac{3}{xy}) = 6y + 3x$.

Третье действие (вычитание): вычтем результат второго действия из результата первого действия.
$(3 - 2y) - (6y + 3x) = 3 - 2y - 6y - 3x = 3 - 3x - 8y$.

Ответ: $3 - 3x - 8y$.

2) Решим выражение, выполнив сначала деление в каждой части, а затем сложение результатов.

Первое действие (деление): $(a^2b - 3ab^2) : (\frac{1}{2}ab)$.
Разделим каждый член многочлена на одночлен $\frac{1}{2}ab$. Деление на $\frac{1}{2}$ равносильно умножению на 2.
$\frac{a^2b}{\frac{1}{2}ab} - \frac{3ab^2}{\frac{1}{2}ab} = (a^2b \cdot \frac{2}{ab}) - (3ab^2 \cdot \frac{2}{ab}) = 2a - 6b$.

Второе действие (деление): $(6b^3 - 5ab^2) : b^2$.
Разделим каждый член многочлена на одночлен $b^2$:
$\frac{6b^3}{b^2} - \frac{5ab^2}{b^2} = 6b - 5a$.

Третье действие (сложение): сложим полученные результаты.
$(2a - 6b) + (6b - 5a) = 2a - 6b + 6b - 5a = -3a$.

Ответ: $-3a$.

3) Решим выражение, выполнив сначала деление в каждой части, а затем вычитание результатов.

Первое действие (деление): $(3a^3x - 2ax^3) : (\frac{1}{4}ax)$.
Разделим каждый член многочлена на одночлен $\frac{1}{4}ax$. Деление на $\frac{1}{4}$ равносильно умножению на 4.
$\frac{3a^3x}{\frac{1}{4}ax} - \frac{2ax^3}{\frac{1}{4}ax} = (3a^3x \cdot \frac{4}{ax}) - (2ax^3 \cdot \frac{4}{ax}) = 12a^2 - 8x^2$.

Второе действие (деление): $(a^4x^2 - a^2x^4) : (\frac{1}{8}a^2x^2)$.
Разделим каждый член многочлена на одночлен $\frac{1}{8}a^2x^2$. Деление на $\frac{1}{8}$ равносильно умножению на 8.
$\frac{a^4x^2}{\frac{1}{8}a^2x^2} - \frac{a^2x^4}{\frac{1}{8}a^2x^2} = (a^4x^2 \cdot \frac{8}{a^2x^2}) - (a^2x^4 \cdot \frac{8}{a^2x^2}) = 8a^2 - 8x^2$.

Третье действие (вычитание): вычтем результат второго действия из результата первого.
$(12a^2 - 8x^2) - (8a^2 - 8x^2) = 12a^2 - 8x^2 - 8a^2 + 8x^2 = 4a^2$.

Ответ: $4a^2$.

4) Решим выражение, выполнив деление в каждой части, а затем вычитание.

Первое действие (деление): $(\frac{2}{3}by^3 + \frac{1}{3}b^2y^2) : (\frac{3}{4}by^2)$.
Разделим каждый член многочлена на одночлен $\frac{3}{4}by^2$. Деление на $\frac{3}{4}$ равносильно умножению на $\frac{4}{3}$.
$(\frac{2}{3}by^3 \cdot \frac{4}{3by^2}) + (\frac{1}{3}b^2y^2 \cdot \frac{4}{3by^2}) = \frac{8}{9}y + \frac{4}{9}b$.

Второе действие (деление): $(8b^3y - 2b^2y^2) : (2b^2y)$.
Разделим каждый член многочлена на одночлен $2b^2y$:
$\frac{8b^3y}{2b^2y} - \frac{2b^2y^2}{2b^2y} = 4b - y$.

Третье действие (вычитание): вычтем результат второго действия из результата первого.
$(\frac{8}{9}y + \frac{4}{9}b) - (4b - y) = \frac{8}{9}y + \frac{4}{9}b - 4b + y$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(\frac{8}{9}y + y) + (\frac{4}{9}b - 4b) = (\frac{8}{9}y + \frac{9}{9}y) + (\frac{4}{9}b - \frac{36}{9}b) = \frac{17}{9}y - \frac{32}{9}b$.

Ответ: $\frac{17}{9}y - \frac{32}{9}b$.