Номер 452, страница 149 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

452. Упростить выражение:

1) $(4a^3b^2)^3 : (2a^2b)^2;$

2) $(9x^2y)^3 : (3xy)^2;$

3) $(-abc^2)^5 : (-a^2bc^3)^2;$

4) $(-x^2y^3z)^4 : (xyz).$

1)

Для упрощения выражения $(4a^3b^2)^3 : (2a^2b)^2$ необходимо последовательно выполнить действия. Сначала возведем каждый одночлен в соответствующую степень, используя правила возведения в степень: $(xyz)^n = x^n y^n z^n$ и $(x^m)^n = x^{mn}$.
Возводим в степень первый одночлен:
$(4a^3b^2)^3 = 4^3 \cdot (a^3)^3 \cdot (b^2)^3 = 64 \cdot a^{3 \cdot 3} \cdot b^{2 \cdot 3} = 64a^9b^6$.
Возводим в степень второй одночлен:
$(2a^2b)^2 = 2^2 \cdot (a^2)^2 \cdot b^2 = 4 \cdot a^{2 \cdot 2} \cdot b^2 = 4a^4b^2$.
Теперь разделим первое полученное выражение на второе, используя правило деления степеней с одинаковым основанием $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:
$64a^9b^6 : 4a^4b^2 = \frac{64a^9b^6}{4a^4b^2} = \frac{64}{4} \cdot a^{9-4} \cdot b^{6-2} = 16a^5b^4$.

Ответ: $16a^5b^4$

2)

Упростим выражение $(9x^2y)^3 : (3xy)^2$.
Возводим в степень первый одночлен:
$(9x^2y)^3 = 9^3 \cdot (x^2)^3 \cdot y^3 = 729x^{2 \cdot 3}y^3 = 729x^6y^3$.
Возводим в степень второй одночлен:
$(3xy)^2 = 3^2 \cdot x^2 \cdot y^2 = 9x^2y^2$.
Выполняем деление полученных выражений:
$729x^6y^3 : 9x^2y^2 = \frac{729x^6y^3}{9x^2y^2} = \frac{729}{9} \cdot x^{6-2} \cdot y^{3-2} = 81x^4y^1 = 81x^4y$.

Ответ: $81x^4y$

3)

Упростим выражение $(-abc^2)^5 : (-a^2bc^3)^2$.
При возведении отрицательного основания в нечетную степень (5), результат будет отрицательным:
$(-abc^2)^5 = (-1)^5 \cdot a^5 \cdot b^5 \cdot (c^2)^5 = -1 \cdot a^5b^5c^{2 \cdot 5} = -a^5b^5c^{10}$.
При возведении отрицательного основания в четную степень (2), результат будет положительным:
$(-a^2bc^3)^2 = (-1)^2 \cdot (a^2)^2 \cdot b^2 \cdot (c^3)^2 = 1 \cdot a^{2 \cdot 2}b^2c^{3 \cdot 2} = a^4b^2c^6$.
Выполняем деление:
$(-a^5b^5c^{10}) : (a^4b^2c^6) = \frac{-a^5b^5c^{10}}{a^4b^2c^6} = - a^{5-4}b^{5-2}c^{10-6} = -a^1b^3c^4 = -ab^3c^4$.

Ответ: $-ab^3c^4$

4)

Упростим выражение $(-x^2y^3z)^4 : (xyz)$.
При возведении отрицательного основания в четную степень (4), результат будет положительным:
$(-x^2y^3z)^4 = (-1)^4 \cdot (x^2)^4 \cdot (y^3)^4 \cdot z^4 = 1 \cdot x^{2 \cdot 4}y^{3 \cdot 4}z^4 = x^8y^{12}z^4$.
Второй одночлен $(xyz)$ можно записать как $x^1y^1z^1$.
Выполняем деление:
$x^8y^{12}z^4 : (xyz) = \frac{x^8y^{12}z^4}{x^1y^1z^1} = x^{8-1}y^{12-1}z^{4-1} = x^7y^{11}z^3$.

Ответ: $x^7y^{11}z^3$