Страница 149 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Записать в виде степени:

1) $y^6 \cdot y^3$;

2) $x^{12} : x$;

3) $a^{21} : a^7$.

1) Чтобы умножить степени с одинаковым основанием, необходимо основание оставить без изменений, а показатели степеней сложить. Это свойство выражается формулой: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Применяя данное правило к выражению $y^6 \cdot y^3$, получим:

$y^6 \cdot y^3 = y^{6+3} = y^9$

Ответ: $y^9$

2) При делении степеней с одинаковым основанием, основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя. Это свойство можно записать в виде формулы: $a^m : a^n = a^{m-n}$.

Следует помнить, что переменная без явного показателя степени находится в первой степени, то есть $x = x^1$.

Таким образом, для выражения $x^{12} : x$ получаем:

$x^{12} : x = x^{12} : x^1 = x^{12-1} = x^{11}$

Ответ: $x^{11}$

3) Здесь мы используем то же правило деления степеней с одинаковым основанием, что и в предыдущем пункте: $a^m : a^n = a^{m-n}$.

В данном случае основание равно $a$, показатель степени делимого — 21, а показатель степени делителя — 7.

Выполним вычитание показателей:

$a^{21} : a^7 = a^{21-7} = a^{14}$

Ответ: $a^{14}$

2. Вычислить:

1) $-1 : \frac{2}{3}$;

2) $\frac{3}{4} : \frac{1}{12}$;

3) $1 : 0,01$;

4) $-0,06 : 0,1$;

5) $3\frac{1}{3} : \frac{5}{9}$;

6) $\frac{4}{7} : 2\frac{1}{14}$;

7) $(3-0,03) : 3$;

8) $(4+\frac{8}{11}) : 2$.

1) Чтобы разделить число на дробь, нужно это число умножить на дробь, обратную данной (перевернутую).

$-1 : \frac{2}{3} = -1 \times \frac{3}{2} = -\frac{3}{2}$

Переведем неправильную дробь в смешанное число:

$-\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2}$

Ответ: $-1\frac{1}{2}$

2) Чтобы разделить одну обыкновенную дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

$\frac{3}{4} : \frac{1}{12} = \frac{3}{4} \times \frac{12}{1} = \frac{3 \times 12}{4 \times 1}$

Сократим 12 и 4 на 4:

$\frac{3 \times 3}{1 \times 1} = 9$

Ответ: 9

3) Чтобы разделить число на десятичную дробь, нужно в делимом и делителе перенести запятую вправо на столько цифр, сколько их после запятой в делителе, а затем выполнить деление на натуральное число. В делителе 0,01 две цифры после запятой, значит переносим запятую на 2 знака вправо.

$1 : 0,01 = 100 : 1 = 100$

Ответ: 100

4) При делении отрицательного числа на положительное, результат будет отрицательным. Перенесем запятую в делимом и делителе на один знак вправо.

$-0,06 : 0,1 = -0,6 : 1 = -0,6$

Ответ: -0,6

5) Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь.

$3\frac{1}{3} = \frac{3 \times 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}$

Теперь выполним деление:

$\frac{10}{3} : \frac{5}{9} = \frac{10}{3} \times \frac{9}{5} = \frac{10 \times 9}{3 \times 5}$

Сократим 10 и 5 на 5, а 9 и 3 на 3:

$\frac{2 \times 3}{1 \times 1} = 6$

Ответ: 6

6) Преобразуем смешанное число $2\frac{1}{14}$ в неправильную дробь.

$2\frac{1}{14} = \frac{2 \times 14 + 1}{14} = \frac{29}{14}$

Теперь выполним деление дробей:

$\frac{4}{7} : \frac{29}{14} = \frac{4}{7} \times \frac{14}{29} = \frac{4 \times 14}{7 \times 29}$

Сократим 14 и 7 на 7:

$\frac{4 \times 2}{1 \times 29} = \frac{8}{29}$

Ответ: $\frac{8}{29}$

7) Сначала выполним действие в скобках.

$3 - 0,03 = 2,97$

Теперь разделим результат на 3:

$2,97 : 3 = 0,99$

Ответ: 0,99

8) Сначала выполним действие в скобках.

$4 + \frac{8}{11} = 4\frac{8}{11}$

Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$4\frac{8}{11} = \frac{4 \times 11 + 8}{11} = \frac{52}{11}$

Теперь разделим на 2:

$\frac{52}{11} : 2 = \frac{52}{11} \times \frac{1}{2} = \frac{52}{11 \times 2} = \frac{26}{11}$

Преобразуем неправильную дробь обратно в смешанное число:

$\frac{26}{11} = 2\frac{4}{11}$

Ответ: $2\frac{4}{11}$

Выполнить деление (445–451).

445. 1) $b^5 : b^2$;

2) $y^{11} : y^7$;

3) $a^7 : a^7$;

4) $b^9 : b^9$.

Для решения данных примеров используется свойство деления степеней с одинаковым основанием, которое гласит: чтобы разделить степени с одинаковым основанием, нужно основание оставить прежним, а из показателя степени делимого вычесть показатель степени делителя. Математически это записывается так: $a^m : a^n = a^{m-n}$ (при условии, что $a \neq 0$).

1) Применим указанное правило к выражению $b^5 : b^2$.
Основание степени — $b$. Показатель делимого — 5, показатель делителя — 2.
$b^5 : b^2 = b^{5-2} = b^3$.
Ответ: $b^3$.

2) Аналогично решим пример $y^{11} : y^7$.
Основание степени — $y$. Показатель делимого — 11, показатель делителя — 7.
$y^{11} : y^7 = y^{11-7} = y^4$.
Ответ: $y^4$.

3) Теперь рассмотрим выражение $a^7 : a^7$.
Основание степени — $a$. Показатели степеней делимого и делителя равны 7.
$a^7 : a^7 = a^{7-7} = a^0$.
По определению, любое число (кроме нуля), возведенное в нулевую степень, равно единице. То есть, $x^0 = 1$ при $x \neq 0$.
Следовательно, $a^0 = 1$.
Ответ: 1.

4) Решим последний пример $b^9 : b^9$ по тому же принципу.
Основание степени — $b$. Показатели степеней равны 9.
$b^9 : b^9 = b^{9-9} = b^0$.
Как и в предыдущем пункте, степень с нулевым показателем равна единице (при условии, что основание не равно нулю).
$b^0 = 1$.
Ответ: 1.

446. 1) $\frac{2}{5}x : (-2);$

2) $-7m : (-\frac{7}{9});$

3) $-\frac{3}{4}a : (-\frac{8}{9});$

4) $\frac{16}{25}b : \frac{4}{5}.$

1) Чтобы разделить выражение $\frac{2}{5}x$ на число $(-2)$, нужно коэффициент при переменной разделить на это число. Деление на число равносильно умножению на обратное ему число. Обратное число для $(-2)$ это $(-\frac{1}{2})$.

$\frac{2}{5}x : (-2) = \frac{2}{5}x \cdot (-\frac{1}{2})$

Теперь перемножим коэффициенты:

$\frac{2}{5} \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{2 \cdot 1}{5 \cdot 2} = -\frac{2}{10} = -\frac{1}{5}$

Таким образом, получаем:

$\frac{2}{5}x : (-2) = -\frac{1}{5}x$

Ответ: $-\frac{1}{5}x$

2) Чтобы разделить выражение $-7m$ на дробь $(-\frac{7}{9})$, нужно умножить это выражение на дробь, обратную делителю. Обратная дробь для $(-\frac{7}{9})$ это $(-\frac{9}{7})$.

$-7m : (-\frac{7}{9}) = -7m \cdot (-\frac{9}{7})$

Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом. Перемножим коэффициенты:

$-7 \cdot (-\frac{9}{7}) = 7 \cdot \frac{9}{7} = \frac{7 \cdot 9}{7}$

Сокращаем 7 в числителе и знаменателе:

$\frac{7 \cdot 9}{7} = 9$

Следовательно, результат:

$-7m \cdot (-\frac{9}{7}) = 9m$

Ответ: $9m$

3) Деление выражения $-\frac{3}{4}a$ на дробь $(-\frac{8}{9})$ заменяем на умножение на обратную дробь. Обратная дробь для $(-\frac{8}{9})$ это $(-\frac{9}{8})$.

$-\frac{3}{4}a : (-\frac{8}{9}) = -\frac{3}{4}a \cdot (-\frac{9}{8})$

Произведение двух отрицательных коэффициентов будет положительным:

$-\frac{3}{4} \cdot (-\frac{9}{8}) = \frac{3}{4} \cdot \frac{9}{8} = \frac{3 \cdot 9}{4 \cdot 8} = \frac{27}{32}$

Дробь $\frac{27}{32}$ несократимая. Таким образом, получаем:

$-\frac{3}{4}a \cdot (-\frac{9}{8}) = \frac{27}{32}a$

Ответ: $\frac{27}{32}a$

4) Чтобы разделить выражение $\frac{16}{25}b$ на дробь $\frac{4}{5}$, нужно умножить его на обратную дробь. Обратная дробь для $\frac{4}{5}$ это $\frac{5}{4}$.

$\frac{16}{25}b : \frac{4}{5} = \frac{16}{25}b \cdot \frac{5}{4}$

Перемножим коэффициенты и сократим дробь:

$\frac{16}{25} \cdot \frac{5}{4} = \frac{16 \cdot 5}{25 \cdot 4}$

Сокращаем 16 и 4 на 4, а 25 и 5 на 5:

$\frac{16 \cdot 5}{25 \cdot 4} = \frac{(4 \cdot 4) \cdot 5}{(5 \cdot 5) \cdot 4} = \frac{4 \cdot 1}{5 \cdot 1} = \frac{4}{5}$

В итоге получаем:

$\frac{16}{25}b \cdot \frac{5}{4} = \frac{4}{5}b$

Ответ: $\frac{4}{5}b$

447. 1) $5a : a;$

2) $8x : x;$

3) $5a : (-a);$

4) $(-7y) : (-y).$

1) Чтобы выполнить деление одночлена $5a$ на одночлен $a$, представим это действие в виде дроби. При этом предполагается, что делитель не равен нулю, то есть $a \neq 0$.

$5a : a = \frac{5a}{a}$

В данном выражении мы можем сократить переменную $a$ в числителе и знаменателе:

$\frac{5 \cdot a}{a} = 5 \cdot \frac{a}{a} = 5 \cdot 1 = 5$

Ответ: $5$

2) Данный пример решается аналогично предыдущему. Делим одночлен $8x$ на одночлен $x$, предполагая, что $x \neq 0$.

$8x : x = \frac{8x}{x}$

Сокращаем переменную $x$ в числителе и знаменателе:

$\frac{8 \cdot x}{x} = 8 \cdot \frac{x}{x} = 8 \cdot 1 = 8$

Ответ: $8$

3) В этом случае мы делим одночлен $5a$ на одночлен $(-a)$. При делении положительного выражения на отрицательное результат будет отрицательным.

$5a : (-a) = \frac{5a}{-a}$

Можно вынести знак минус за дробь, а затем сократить переменную $a$ (при условии, что $a \neq 0$):

$\frac{5a}{-a} = - \frac{5a}{a} = - (5 \cdot \frac{a}{a}) = - (5 \cdot 1) = -5$

Ответ: $-5$

4) Здесь необходимо разделить одночлен $(-7y)$ на одночлен $(-y)$. Согласно правилу знаков, частное двух отрицательных выражений является положительным.

$(-7y) : (-y) = \frac{-7y}{-y}$

Знаки минус в числителе и знаменателе взаимно уничтожаются. Также сокращается переменная $y$ (при условии, что $y \neq 0$):

$\frac{-7y}{-y} = \frac{7y}{y} = 7 \cdot \frac{y}{y} = 7 \cdot 1 = 7$

Ответ: $7$

448. 1) $(-6x) : (2x);$

2) $15z : (5z);$

3) $(-6xy) : (-3xy);$

4) $12ab : (-4ab).$

1) Чтобы разделить одночлен $(-6x)$ на одночлен $(2x)$, необходимо разделить коэффициент первого одночлена на коэффициент второго, а затем разделить их переменные части.
Деление коэффициентов: $(-6) : 2 = -3$.
Деление переменных: $x : x = 1$.
Результат равен произведению этих частных: $-3 \cdot 1 = -3$.
Запись в виде дроби выглядит так: $$(-6x) : (2x) = \frac{-6x}{2x} = -3$$ Ответ: $-3$.

2) Чтобы разделить $15z$ на $(5z)$, выполним аналогичные действия.
Деление коэффициентов: $15 : 5 = 3$.
Деление переменных: $z : z = 1$.
Результат: $3 \cdot 1 = 3$.
Запись в виде дроби: $$15z : (5z) = \frac{15z}{5z} = 3$$ Ответ: $3$.

3) Найдем частное от деления $(-6xy)$ на $(-3xy)$.
Деление коэффициентов: $(-6) : (-3) = 2$. При делении двух отрицательных чисел результат будет положительным.
Деление переменных: $xy : xy = 1$.
Результат: $2 \cdot 1 = 2$.
Запись в виде дроби: $$(-6xy) : (-3xy) = \frac{-6xy}{-3xy} = 2$$ Ответ: $2$.

4) Выполним деление одночлена $12ab$ на одночлен $(-4ab)$.
Деление коэффициентов: $12 : (-4) = -3$.
Деление переменных: $ab : ab = 1$.
Результат: $-3 \cdot 1 = -3$.
Запись в виде дроби: $$12ab : (-4ab) = \frac{12ab}{-4ab} = -3$$ Ответ: $-3$.

449. 1) $8abc : (-4a);$

2) $(-10pq) : (6q);$

3) $-6,4xy : (-4x);$

4) $(-0,24abc) : (-0,6ab).$

1) Чтобы выполнить деление одночлена $8abc$ на одночлен $(-4a)$, нужно разделить коэффициент делимого на коэффициент делителя и отдельно разделить переменные.

Представим деление в виде дроби:

$8abc : (-4a) = \frac{8abc}{-4a}$

Сначала разделим числовые коэффициенты:

$\frac{8}{-4} = -2$

Затем разделим буквенную часть. Сократим одинаковые множители (в данном случае $a$):

$\frac{abc}{a} = bc$

Объединим полученные результаты:

$-2 \cdot bc = -2bc$

Ответ: $-2bc$.

2) Чтобы разделить одночлен $(-10pq)$ на $(6q)$, выполним деление коэффициентов и переменных по отдельности.

Запишем операцию в виде дроби:

$(-10pq) : (6q) = \frac{-10pq}{6q}$

Разделим коэффициенты и сократим полученную дробь:

$\frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$

Теперь разделим переменные, сократив $q$:

$\frac{pq}{q} = p$

Соединим результат деления коэффициентов и переменных:

$-\frac{5}{3} \cdot p = -\frac{5}{3}p$

Ответ: $-\frac{5}{3}p$.

3) Выполним деление одночлена $-6,4xy$ на одночлен $(-4x)$.

Представим деление в виде дроби:

$-6,4xy : (-4x) = \frac{-6,4xy}{-4x}$

При делении отрицательного числа на отрицательное результат будет положительным. Разделим коэффициенты:

$\frac{-6,4}{-4} = 1,6$

Разделим переменные, сократив $x$:

$\frac{xy}{x} = y$

Перемножим полученные результаты:

$1,6 \cdot y = 1,6y$

Ответ: $1,6y$.

4) Разделим одночлен $(-0,24abc)$ на $(-0,6ab)$.

Запишем операцию деления в виде дроби:

$(-0,24abc) : (-0,6ab) = \frac{-0,24abc}{-0,6ab}$

Результат деления коэффициентов будет положительным. Выполним деление:

$\frac{-0,24}{-0,6} = \frac{0,24}{0,6} = \frac{2,4}{6} = 0,4$

Теперь разделим буквенную часть, сократив одинаковые переменные $a$ и $b$:

$\frac{abc}{ab} = c$

Объединим результаты:

$0,4 \cdot c = 0,4c$

Ответ: $0,4c$.

450. 1) $14a^5 : (7a^2);$

2) $(-42m^7) : (-6m);$

3) $-0,2a^{10} : (-a^{10});$

4) $(-2\frac{1}{3}a^{17}) : (-2a^{17}).$

1) $14a^5 : (7a^2)$

Чтобы разделить один одночлен на другой, нужно разделить коэффициент делимого на коэффициент делителя, а затем разделить степени с одинаковыми основаниями. При делении степеней с одинаковым основанием, их показатели вычитаются ($a^m : a^n = a^{m-n}$).

Делим коэффициенты: $14 : 7 = 2$.

Делим степени: $a^5 : a^2 = a^{5-2} = a^3$.

Соединяем результаты: $(14:7) \cdot (a^5:a^2) = 2a^3$.

Ответ: $2a^3$

2) $(-42m^7) : (-6m)$

Действуем по тому же правилу. Делим коэффициенты и переменные отдельно.

Деление коэффициентов (частное двух отрицательных чисел положительно): $(-42) : (-6) = 7$.

Деление степеней (учитываем, что $m$ это $m^1$): $m^7 : m^1 = m^{7-1} = m^6$.

Объединяем результаты: $((-42):(-6)) \cdot (m^7:m^1) = 7m^6$.

Ответ: $7m^6$

3) $-0,2a^{10} : (-a^{10})$

Здесь коэффициент второго одночлена $(-a^{10})$ равен $-1$.

Делим коэффициенты: $-0,2 : (-1) = 0,2$.

Делим степени: $a^{10} : a^{10} = a^{10-10} = a^0 = 1$ (при условии, что $a \neq 0$).

Получаем результат: $0,2 \cdot 1 = 0,2$.

Ответ: $0,2$

4) $(-2\frac{1}{3}a^{17}) : (-2a^{17})$

Сначала представим смешанное число в виде неправильной дроби для удобства вычислений.

$-2\frac{1}{3} = -\frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = -\frac{7}{3}$.

Теперь наше выражение выглядит так: $(-\frac{7}{3}a^{17}) : (-2a^{17})$.

Делим коэффициенты: $(-\frac{7}{3}) : (-2) = (-\frac{7}{3}) \cdot (-\frac{1}{2}) = \frac{7}{6}$.

Делим степени: $a^{17} : a^{17} = a^{17-17} = a^0 = 1$ (при $a \neq 0$).

Результат: $\frac{7}{6} \cdot 1 = \frac{7}{6}$.

Преобразуем неправильную дробь обратно в смешанное число: $\frac{7}{6} = 1\frac{1}{6}$.

Ответ: $1\frac{1}{6}$

451. 1) $\frac{1}{3}m^3n^2p^2 : (-\frac{2}{3}m^2n^2p^2)$;

2) $(-1\frac{1}{2}a^4b^3c^2) : (-\frac{2}{3}a^3bc^2);$

3) $-1,7p^2q^2y^3 : (28,9p^2y^3);$

4) $-6a^3b^2c : (-2a^2bc).$

1) Чтобы разделить один одночлен на другой, необходимо разделить их коэффициенты, а затем для каждой переменной, входящей в оба одночлена, вычесть из показателя степени делимого показатель степени делителя.
$\frac{1}{3}m^3n^2p^2 : (-\frac{2}{3}m^2n^2p^2) = (\frac{1}{3} : (-\frac{2}{3})) \cdot (m^3 : m^2) \cdot (n^2 : n^2) \cdot (p^2 : p^2)$
Выполним деление коэффициентов:
$\frac{1}{3} : (-\frac{2}{3}) = \frac{1}{3} \cdot (-\frac{3}{2}) = -\frac{1 \cdot 3}{3 \cdot 2} = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}$
Теперь выполним деление переменных, вычитая показатели степеней:
$m^3 : m^2 = m^{3-2} = m^1 = m$
$n^2 : n^2 = n^{2-2} = n^0 = 1$
$p^2 : p^2 = p^{2-2} = p^0 = 1$
Объединим полученные результаты:
$-\frac{1}{2} \cdot m \cdot 1 \cdot 1 = -\frac{1}{2}m$
Ответ: $-\frac{1}{2}m$

2) Для начала преобразуем смешанную дробь $-1\frac{1}{2}$ в неправильную: $-1\frac{1}{2} = -\frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = -\frac{3}{2}$.
Теперь выражение для деления выглядит так: $(-\frac{3}{2}a^4b^3c^2) : (-\frac{2}{3}a^3bc^2)$.
Выполним деление по частям:
$(- \frac{3}{2} : (-\frac{2}{3})) \cdot (a^4 : a^3) \cdot (b^3 : b^1) \cdot (c^2 : c^2)$
Деление коэффициентов:
$-\frac{3}{2} : (-\frac{2}{3}) = \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{4}$
Деление переменных:
$a^4 : a^3 = a^{4-3} = a^1 = a$
$b^3 : b = b^{3-1} = b^2$
$c^2 : c^2 = c^{2-2} = c^0 = 1$
Собираем все вместе:
$\frac{9}{4} \cdot a \cdot b^2 \cdot 1 = \frac{9}{4}ab^2$
Ответ: $\frac{9}{4}ab^2$

3) Выполним деление одночлена $-1,7p^2q^2y^3$ на одночлен $28,9p^2y^3$.
$-1,7p^2q^2y^3 : (28,9p^2y^3) = (-1,7 : 28,9) \cdot (p^2 : p^2) \cdot q^2 \cdot (y^3 : y^3)$
Разделим числовые коэффициенты:
$-1,7 : 28,9 = -\frac{1,7}{28,9} = -\frac{1,7 \cdot 10}{28,9 \cdot 10} = -\frac{17}{289}$
Заметим, что $289 = 17 \cdot 17 = 17^2$. Поэтому:
$-\frac{17}{289} = -\frac{17}{17 \cdot 17} = -\frac{1}{17}$
Разделим переменные:
$p^2 : p^2 = p^{2-2} = p^0 = 1$
$y^3 : y^3 = y^{3-3} = y^0 = 1$
Переменная $q^2$ присутствует только в делимом, поэтому она остается в результате.
Собираем результат:
$-\frac{1}{17} \cdot 1 \cdot q^2 \cdot 1 = -\frac{1}{17}q^2$
Ответ: $-\frac{1}{17}q^2$

4) Выполним деление одночленов $-6a^3b^2c$ на $-2a^2bc$.
$-6a^3b^2c : (-2a^2bc) = (-6 : (-2)) \cdot (a^3 : a^2) \cdot (b^2 : b) \cdot (c : c)$
Делим коэффициенты:
$-6 : (-2) = 3$
Делим переменные:
$a^3 : a^2 = a^{3-2} = a^1 = a$
$b^2 : b = b^{2-1} = b^1 = b$
$c : c = c^{1-1} = c^0 = 1$
Объединяем результаты:
$3 \cdot a \cdot b \cdot 1 = 3ab$
Ответ: $3ab$

452. Упростить выражение:

1) $(4a^3b^2)^3 : (2a^2b)^2;$

2) $(9x^2y)^3 : (3xy)^2;$

3) $(-abc^2)^5 : (-a^2bc^3)^2;$

4) $(-x^2y^3z)^4 : (xyz).$

1)

Для упрощения выражения $(4a^3b^2)^3 : (2a^2b)^2$ необходимо последовательно выполнить действия. Сначала возведем каждый одночлен в соответствующую степень, используя правила возведения в степень: $(xyz)^n = x^n y^n z^n$ и $(x^m)^n = x^{mn}$.
Возводим в степень первый одночлен:
$(4a^3b^2)^3 = 4^3 \cdot (a^3)^3 \cdot (b^2)^3 = 64 \cdot a^{3 \cdot 3} \cdot b^{2 \cdot 3} = 64a^9b^6$.
Возводим в степень второй одночлен:
$(2a^2b)^2 = 2^2 \cdot (a^2)^2 \cdot b^2 = 4 \cdot a^{2 \cdot 2} \cdot b^2 = 4a^4b^2$.
Теперь разделим первое полученное выражение на второе, используя правило деления степеней с одинаковым основанием $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:
$64a^9b^6 : 4a^4b^2 = \frac{64a^9b^6}{4a^4b^2} = \frac{64}{4} \cdot a^{9-4} \cdot b^{6-2} = 16a^5b^4$.

Ответ: $16a^5b^4$

2)

Упростим выражение $(9x^2y)^3 : (3xy)^2$.
Возводим в степень первый одночлен:
$(9x^2y)^3 = 9^3 \cdot (x^2)^3 \cdot y^3 = 729x^{2 \cdot 3}y^3 = 729x^6y^3$.
Возводим в степень второй одночлен:
$(3xy)^2 = 3^2 \cdot x^2 \cdot y^2 = 9x^2y^2$.
Выполняем деление полученных выражений:
$729x^6y^3 : 9x^2y^2 = \frac{729x^6y^3}{9x^2y^2} = \frac{729}{9} \cdot x^{6-2} \cdot y^{3-2} = 81x^4y^1 = 81x^4y$.

Ответ: $81x^4y$

3)

Упростим выражение $(-abc^2)^5 : (-a^2bc^3)^2$.
При возведении отрицательного основания в нечетную степень (5), результат будет отрицательным:
$(-abc^2)^5 = (-1)^5 \cdot a^5 \cdot b^5 \cdot (c^2)^5 = -1 \cdot a^5b^5c^{2 \cdot 5} = -a^5b^5c^{10}$.
При возведении отрицательного основания в четную степень (2), результат будет положительным:
$(-a^2bc^3)^2 = (-1)^2 \cdot (a^2)^2 \cdot b^2 \cdot (c^3)^2 = 1 \cdot a^{2 \cdot 2}b^2c^{3 \cdot 2} = a^4b^2c^6$.
Выполняем деление:
$(-a^5b^5c^{10}) : (a^4b^2c^6) = \frac{-a^5b^5c^{10}}{a^4b^2c^6} = - a^{5-4}b^{5-2}c^{10-6} = -a^1b^3c^4 = -ab^3c^4$.

Ответ: $-ab^3c^4$

4)

Упростим выражение $(-x^2y^3z)^4 : (xyz)$.
При возведении отрицательного основания в четную степень (4), результат будет положительным:
$(-x^2y^3z)^4 = (-1)^4 \cdot (x^2)^4 \cdot (y^3)^4 \cdot z^4 = 1 \cdot x^{2 \cdot 4}y^{3 \cdot 4}z^4 = x^8y^{12}z^4$.
Второй одночлен $(xyz)$ можно записать как $x^1y^1z^1$.
Выполняем деление:
$x^8y^{12}z^4 : (xyz) = \frac{x^8y^{12}z^4}{x^1y^1z^1} = x^{8-1}y^{12-1}z^{4-1} = x^7y^{11}z^3$.

Ответ: $x^7y^{11}z^3$

Выполнить деление (453-456).

453. 1) $(12a + 6) : 3;$

2) $(10b - 5) : 5;$

3) $(14m - 8) : (-2);$

4) $(-6 + 3x) : (-3).$

1) Чтобы разделить многочлен $(12a + 6)$ на одночлен $3$, необходимо каждый член многочлена разделить на этот одночлен и полученные результаты сложить.

$(12a + 6) : 3 = \frac{12a}{3} + \frac{6}{3} = 4a + 2$

Ответ: $4a + 2$

2) Чтобы разделить многочлен $(10b - 5)$ на одночлен $5$, необходимо каждый член многочлена разделить на этот одночлен и из первого результата вычесть второй.

$(10b - 5) : 5 = \frac{10b}{5} - \frac{5}{5} = 2b - 1$

Ответ: $2b - 1$

3) Чтобы разделить многочлен $(14m - 8)$ на одночлен $(-2)$, необходимо каждый член многочлена разделить на этот одночлен. При делении следует учитывать знаки.

$(14m - 8) : (-2) = \frac{14m}{-2} - \frac{8}{-2} = -7m - (-4) = -7m + 4$

Ответ: $-7m + 4$

4) Чтобы разделить многочлен $(-6 + 3x)$ на одночлен $(-3)$, необходимо каждый член многочлена разделить на этот одночлен, учитывая правила знаков при делении.

$(-6 + 3x) : (-3) = \frac{-6}{-3} + \frac{3x}{-3} = 2 + (-x) = 2 - x$

Ответ: $2 - x$

454. 1) $(5mn - 6np) : n;$

2) $(4a^2 - 3ab) : a;$

3) $(x - xy) : x;$

4) $(cd - d) : (-d).$

1) Чтобы разделить многочлен $(5mn - 6np)$ на одночлен $n$, необходимо каждый член многочлена разделить на этот одночлен, а результаты алгебраически сложить.

Запишем деление в виде дроби:

$(5mn - 6np) : n = \frac{5mn - 6np}{n}$

Разделим дробь на разность двух дробей:

$\frac{5mn}{n} - \frac{6np}{n}$

Теперь сократим переменную $n$ в числителе и знаменателе каждой дроби:

$\frac{5m \cdot n}{n} - \frac{6p \cdot n}{n} = 5m - 6p$

Ответ: $5m - 6p$

2) Чтобы разделить многочлен $(4a^2 - 3ab)$ на одночлен $a$, разделим каждый член многочлена на $a$.

$(4a^2 - 3ab) : a = \frac{4a^2}{a} - \frac{3ab}{a}$

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($a^2 : a = a^{2-1} = a$). Во втором члене переменная $a$ сокращается.

$4a^{2-1} - 3b = 4a - 3b$

Ответ: $4a - 3b$

3) Для выполнения деления $(x - xy) : x$ разделим каждый член многочлена $(x - xy)$ на одночлен $x$.

$(x - xy) : x = \frac{x}{x} - \frac{xy}{x}$

Учитывая, что любое выражение, деленное на само себя, равно 1 (при условии, что $x \neq 0$), получаем:

$1 - y$

Ответ: $1 - y$

4) Чтобы разделить многочлен $(cd - d)$ на одночлен $(-d)$, разделим каждый член многочлена на $(-d)$.

$(cd - d) : (-d) = \frac{cd}{-d} - \frac{d}{-d}$

При делении положительного члена на отрицательный результат будет отрицательным. При делении отрицательного на отрицательный — положительным.

$\frac{cd}{-d} = -c$

$\frac{-d}{-d} = 1$

Складывая результаты, получаем:

$-c + 1$

Для удобства записи можно поменять слагаемые местами: $1 - c$.

Ответ: $1 - c$

455. 1) $(3a^3b - 4ab^3) : (5ab);$

2) $(2c^5d^4 + 3c^4d^3) : (-3c^4d^3);$

3) $(-27k^4l^5 + 21k^3l^2) : (-10k^3l^2);$

4) $(-a^5b^3 + 3a^6b^2) : (4a^4b^2).$

1) Чтобы разделить многочлен $(3a^3b - 4ab^3)$ на одночлен $(5ab)$, нужно каждый член многочлена разделить на этот одночлен и сложить полученные результаты.

Выполним деление почленно:

Первый член: $3a^3b : (5ab) = \frac{3a^3b}{5ab} = \frac{3}{5} \cdot a^{3-1} \cdot b^{1-1} = \frac{3}{5}a^2b^0 = \frac{3}{5}a^2$.

Второй член: $-4ab^3 : (5ab) = \frac{-4ab^3}{5ab} = -\frac{4}{5} \cdot a^{1-1} \cdot b^{3-1} = -\frac{4}{5}a^0b^2 = -\frac{4}{5}b^2$.

Сложим результаты:

$(3a^3b - 4ab^3) : (5ab) = \frac{3}{5}a^2 - \frac{4}{5}b^2$.

Ответ: $\frac{3}{5}a^2 - \frac{4}{5}b^2$

2) Чтобы разделить многочлен $(2c^5d^4 + 3c^4d^3)$ на одночлен $(-3c^4d^3)$, нужно каждый член многочлена разделить на этот одночлен.

Выполним деление почленно:

Первый член: $2c^5d^4 : (-3c^4d^3) = \frac{2c^5d^4}{-3c^4d^3} = -\frac{2}{3} \cdot c^{5-4} \cdot d^{4-3} = -\frac{2}{3}cd$.

Второй член: $3c^4d^3 : (-3c^4d^3) = \frac{3c^4d^3}{-3c^4d^3} = -1$.

Сложим результаты:

$(2c^5d^4 + 3c^4d^3) : (-3c^4d^3) = -\frac{2}{3}cd - 1$.

Ответ: $-\frac{2}{3}cd - 1$

3) Чтобы разделить многочлен $(-27k^4l^5 + 21k^3l^2)$ на одночлен $(-10k^3l^2)$, нужно каждый член многочлена разделить на этот одночлен.

Выполним деление почленно:

Первый член: $-27k^4l^5 : (-10k^3l^2) = \frac{-27k^4l^5}{-10k^3l^2} = \frac{27}{10} \cdot k^{4-3} \cdot l^{5-2} = 2.7kl^3$.

Второй член: $21k^3l^2 : (-10k^3l^2) = \frac{21k^3l^2}{-10k^3l^2} = -\frac{21}{10} = -2.1$.

Сложим результаты:

$(-27k^4l^5 + 21k^3l^2) : (-10k^3l^2) = 2.7kl^3 - 2.1$.

Ответ: $2.7kl^3 - 2.1$

4) Чтобы разделить многочлен $(-a^5b^3 + 3a^6b^2)$ на одночлен $(4a^4b^2)$, нужно каждый член многочлена разделить на этот одночлен.

Выполним деление почленно:

Первый член: $-a^5b^3 : (4a^4b^2) = \frac{-a^5b^3}{4a^4b^2} = -\frac{1}{4} \cdot a^{5-4} \cdot b^{3-2} = -\frac{1}{4}ab$.

Второй член: $3a^6b^2 : (4a^4b^2) = \frac{3a^6b^2}{4a^4b^2} = \frac{3}{4} \cdot a^{6-4} \cdot b^{2-2} = \frac{3}{4}a^2b^0 = \frac{3}{4}a^2$.

Сложим результаты и для удобства расположим члены в порядке убывания степени переменной $a$:

$(-a^5b^3 + 3a^6b^2) : (4a^4b^2) = -\frac{1}{4}ab + \frac{3}{4}a^2 = \frac{3}{4}a^2 - \frac{1}{4}ab$.

Ответ: $\frac{3}{4}a^2 - \frac{1}{4}ab$