Страница 146 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

442. Ширина прямоугольника на 15 м меньше его длины. Если ширину увеличить на 8 м, а длину уменьшить на 6 м, то площадь нового прямоугольника будет на $80 \text{ м}^2$ больше площади данного. Найти площадь данного прямоугольника.

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ м — это длина исходного прямоугольника.

Согласно условию, ширина прямоугольника на 15 м меньше его длины, следовательно, ширина равна $(x - 15)$ м.

Площадь исходного прямоугольника $S_1$ вычисляется как произведение длины на ширину:

$S_1 = x \cdot (x - 15)$ м².

Далее, ширину увеличили на 8 м, а длину уменьшили на 6 м. Найдем новые размеры:

Новая ширина: $(x - 15) + 8 = (x - 7)$ м.

Новая длина: $(x - 6)$ м.

Площадь нового прямоугольника $S_2$ равна произведению новых длины и ширины:

$S_2 = (x - 6) \cdot (x - 7)$ м².

Из условия известно, что площадь нового прямоугольника на 80 м² больше площади данного. Это можно записать в виде уравнения:

$S_2 = S_1 + 80$

Подставим выражения для площадей в это уравнение:

$(x - 6)(x - 7) = x(x - 15) + 80$

Теперь решим полученное уравнение. Раскроем скобки в обеих частях:

$x^2 - 7x - 6x + 42 = x^2 - 15x + 80$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$x^2 - 13x + 42 = x^2 - 15x + 80$

Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые значения — в правую:

$x^2 - x^2 - 13x + 15x = 80 - 42$

$2x = 38$

Найдем $x$:

$x = \frac{38}{2}$

$x = 19$

Таким образом, длина данного (исходного) прямоугольника равна 19 м.

Найдем ширину данного прямоугольника:

$19 - 15 = 4$ м.

Теперь можем найти площадь данного прямоугольника:

$S_1 = 19 \text{ м} \times 4 \text{ м} = 76$ м².

Ответ: 76 м².

443. Периметр прямоугольника 60 см. Если длину этого прямоугольника увеличить на 10 см, а ширину уменьшить на 6 см, то площадь нового прямоугольника будет на $32 \text{ см}^2$ меньше площади данного. Найти площадь данного прямоугольника.

Обозначим длину исходного прямоугольника как $L$ (в см), а ширину как $W$ (в см).

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(L + W)$. По условию задачи, периметр равен 60 см. Составим первое уравнение:$2(L + W) = 60$Разделив обе части на 2, получим сумму длины и ширины:$L + W = 30$Из этого уравнения можно выразить одну переменную через другую, например, $L = 30 - W$.

Площадь исходного прямоугольника $S_{исх}$ равна произведению его сторон:$S_{исх} = L \cdot W$

Далее, длину прямоугольника увеличили на 10 см, а ширину уменьшили на 6 см. Новая длина прямоугольника стала $L + 10$, а новая ширина $W - 6$.Площадь нового прямоугольника $S_{нов}$ равна:$S_{нов} = (L + 10)(W - 6)$

Известно, что площадь нового прямоугольника на 32 см² меньше площади исходного. Это можно записать в виде уравнения:$S_{нов} = S_{исх} - 32$$(L + 10)(W - 6) = L \cdot W - 32$

Раскроем скобки в левой части уравнения:$LW - 6L + 10W - 60 = LW - 32$

Сократим одинаковые слагаемые $LW$ в обеих частях уравнения и перенесем числовые значения в правую часть:$-6L + 10W = 60 - 32$$10W - 6L = 28$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными:$\begin{cases} L + W = 30 \\ 10W - 6L = 28 \end{cases}$

Подставим выражение $L = 30 - W$ из первого уравнения во второе:$10W - 6(30 - W) = 28$$10W - 180 + 6W = 28$$16W = 28 + 180$$16W = 208$$W = \frac{208}{16} = 13$

Итак, ширина исходного прямоугольника равна $13$ см. Теперь найдем его длину:$L = 30 - W = 30 - 13 = 17$ см.

Основной вопрос задачи — найти площадь данного (исходного) прямоугольника.$S_{исх} = L \cdot W = 17 \cdot 13 = 221$Таким образом, площадь исходного прямоугольника равна $221$ см².

Ответ: Площадь данного прямоугольника равна $221$ см².

444. Доказать равенство:

1) $(n-2)(n-1)n(n+1)+1 = (n^2-n-1)^2$

2) $n(n+1)(n+2)(n+3)+1 = (n^2+3n+1)^2$

3) $(n-3)(n-2)(n-1)n+1 = (n^2-3n+1)^2$

4) $(n^2-2n+1)(n^2+2n+1) = (n^2-1)^2$

1)

Для доказательства равенства $(n-2)(n-1)n(n+1)+1 = (n^2 - n - 1)^2$ преобразуем его левую часть. Сгруппируем множители следующим образом: $((n-2)(n+1)) \cdot ((n-1)n) + 1$.

Раскроем скобки в каждой группе: $(n^2 + n - 2n - 2)(n^2 - n) + 1 = (n^2 - n - 2)(n^2 - n) + 1$.

Для удобства введем замену переменной. Пусть $a = n^2 - n$. Тогда выражение примет вид: $(a - 2)a + 1 = a^2 - 2a + 1$.

Полученное выражение является формулой квадрата разности: $(a - 1)^2$.

Теперь выполним обратную замену, подставив $a = n^2 - n$: $(n^2 - n - 1)^2$.

Таким образом, левая часть исходного равенства после преобразований стала равна $(n^2 - n - 1)^2$, что совпадает с правой частью. Равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.

2)

Для доказательства равенства $n(n+1)(n+2)(n+3)+1 = (n^2+3n+1)^2$ преобразуем его левую часть. Сгруппируем множители: $(n(n+3)) \cdot ((n+1)(n+2)) + 1$.

Раскроем скобки в каждой группе: $(n^2 + 3n)(n^2 + 2n + n + 2) + 1 = (n^2 + 3n)(n^2 + 3n + 2) + 1$.

Введем замену переменной. Пусть $a = n^2 + 3n$. Выражение примет вид: $a(a + 2) + 1 = a^2 + 2a + 1$.

Это формула квадрата суммы: $(a + 1)^2$.

Выполним обратную замену $a = n^2 + 3n$: $(n^2 + 3n + 1)^2$.

Левая часть равенства преобразована к виду $(n^2 + 3n + 1)^2$, что совпадает с правой частью. Равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.

3)

Для доказательства равенства $(n-3)(n-2)(n-1)n+1 = (n^2-3n+1)^2$ преобразуем его левую часть. Сгруппируем множители: $((n-3)n) \cdot ((n-2)(n-1)) + 1$.

Раскроем скобки в каждой группе: $(n^2 - 3n)(n^2 - n - 2n + 2) + 1 = (n^2 - 3n)(n^2 - 3n + 2) + 1$.

Введем замену переменной. Пусть $a = n^2 - 3n$. Выражение примет вид: $a(a + 2) + 1 = a^2 + 2a + 1$.

Это формула квадрата суммы: $(a + 1)^2$.

Выполним обратную замену $a = n^2 - 3n$: $(n^2 - 3n + 1)^2$.

Левая часть преобразована к виду $(n^2 - 3n + 1)^2$, что совпадает с правой частью. Равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.

4)

Для доказательства равенства $(n^2-2n+1)(n^2+2n+1) = (n^2-1)^2$ преобразуем его левую часть. Заметим, что выражения в скобках являются полными квадратами:

$n^2 - 2n + 1 = (n - 1)^2$

$n^2 + 2n + 1 = (n + 1)^2$

Подставим эти выражения в левую часть равенства: $(n - 1)^2 (n + 1)^2$.

Используя свойство степеней $(ab)^k = a^k b^k$, перепишем выражение: $((n - 1)(n + 1))^2$.

Выражение в скобках является формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$: $(n^2 - 1^2)^2 = (n^2 - 1)^2$.

Левая часть преобразована к виду $(n^2 - 1)^2$, что совпадает с правой частью. Равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.