Номер 444, страница 146 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

444. Доказать равенство:

1) $(n-2)(n-1)n(n+1)+1 = (n^2-n-1)^2$

2) $n(n+1)(n+2)(n+3)+1 = (n^2+3n+1)^2$

3) $(n-3)(n-2)(n-1)n+1 = (n^2-3n+1)^2$

4) $(n^2-2n+1)(n^2+2n+1) = (n^2-1)^2$

1)

Для доказательства равенства $(n-2)(n-1)n(n+1)+1 = (n^2 - n - 1)^2$ преобразуем его левую часть. Сгруппируем множители следующим образом: $((n-2)(n+1)) \cdot ((n-1)n) + 1$.

Раскроем скобки в каждой группе: $(n^2 + n - 2n - 2)(n^2 - n) + 1 = (n^2 - n - 2)(n^2 - n) + 1$.

Для удобства введем замену переменной. Пусть $a = n^2 - n$. Тогда выражение примет вид: $(a - 2)a + 1 = a^2 - 2a + 1$.

Полученное выражение является формулой квадрата разности: $(a - 1)^2$.

Теперь выполним обратную замену, подставив $a = n^2 - n$: $(n^2 - n - 1)^2$.

Таким образом, левая часть исходного равенства после преобразований стала равна $(n^2 - n - 1)^2$, что совпадает с правой частью. Равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.

2)

Для доказательства равенства $n(n+1)(n+2)(n+3)+1 = (n^2+3n+1)^2$ преобразуем его левую часть. Сгруппируем множители: $(n(n+3)) \cdot ((n+1)(n+2)) + 1$.

Раскроем скобки в каждой группе: $(n^2 + 3n)(n^2 + 2n + n + 2) + 1 = (n^2 + 3n)(n^2 + 3n + 2) + 1$.

Введем замену переменной. Пусть $a = n^2 + 3n$. Выражение примет вид: $a(a + 2) + 1 = a^2 + 2a + 1$.

Это формула квадрата суммы: $(a + 1)^2$.

Выполним обратную замену $a = n^2 + 3n$: $(n^2 + 3n + 1)^2$.

Левая часть равенства преобразована к виду $(n^2 + 3n + 1)^2$, что совпадает с правой частью. Равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.

3)

Для доказательства равенства $(n-3)(n-2)(n-1)n+1 = (n^2-3n+1)^2$ преобразуем его левую часть. Сгруппируем множители: $((n-3)n) \cdot ((n-2)(n-1)) + 1$.

Раскроем скобки в каждой группе: $(n^2 - 3n)(n^2 - n - 2n + 2) + 1 = (n^2 - 3n)(n^2 - 3n + 2) + 1$.

Введем замену переменной. Пусть $a = n^2 - 3n$. Выражение примет вид: $a(a + 2) + 1 = a^2 + 2a + 1$.

Это формула квадрата суммы: $(a + 1)^2$.

Выполним обратную замену $a = n^2 - 3n$: $(n^2 - 3n + 1)^2$.

Левая часть преобразована к виду $(n^2 - 3n + 1)^2$, что совпадает с правой частью. Равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.

4)

Для доказательства равенства $(n^2-2n+1)(n^2+2n+1) = (n^2-1)^2$ преобразуем его левую часть. Заметим, что выражения в скобках являются полными квадратами:

$n^2 - 2n + 1 = (n - 1)^2$

$n^2 + 2n + 1 = (n + 1)^2$

Подставим эти выражения в левую часть равенства: $(n - 1)^2 (n + 1)^2$.

Используя свойство степеней $(ab)^k = a^k b^k$, перепишем выражение: $((n - 1)(n + 1))^2$.

Выражение в скобках является формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$: $(n^2 - 1^2)^2 = (n^2 - 1)^2$.

Левая часть преобразована к виду $(n^2 - 1)^2$, что совпадает с правой частью. Равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.