Номер 440, страница 145 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

440. 1) Расcматривая площадь прямоугольника ABCD (рис. 12, а), показать, что $(a+b)(c+d)=ac+bc+ad+bd$.

2) Расcматривая площадь прямоугольника ABFE (рис. 12, б), показать, что $(a+b)(c-d)=ac+bc-ad-bd$.

3) Расcматривая площадь прямоугольника BFKМ (рис. 12, б), показать, что $(a+b)d=(a+b)c-(a+b)(c-d)$.

Рис. 12

Рассмотрим большой прямоугольник `ABCD`, изображенный на рисунке 12, а. Его площадь можно вычислить как произведение длин его сторон.

Длина одной стороны прямоугольника `ABCD` равна сумме отрезков $a$ и $b$, то есть $a+b$.

Длина смежной стороны равна сумме отрезков $c$ и $d$, то есть $c+d$.

Таким образом, площадь прямоугольника `ABCD` равна $S_{ABCD} = (a+b)(c+d)$.

С другой стороны, этот прямоугольник разделен на четыре меньших прямоугольника. Их площади равны произведениям их сторон:

• $S_1 = a \cdot c = ac$
• $S_2 = b \cdot c = bc$
• $S_3 = a \cdot d = ad$
• $S_4 = b \cdot d = bd$

Площадь всего прямоугольника `ABCD` также равна сумме площадей этих четырех частей: $S_{ABCD} = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 = ac + bc + ad + bd$.

Приравнивая два полученных выражения для площади прямоугольника `ABCD`, мы доказываем тождество: $(a+b)(c+d) = ac + bc + ad + bd$.

Ответ: Тождество доказано путем представления площади прямоугольника двумя способами.

Рассмотрим прямоугольник `ABFE` на рисунке 12, б. Найдем его площадь.

Длина стороны `AE` этого прямоугольника равна сумме отрезков $a$ и $b$, то есть $a+b$.

Длина стороны `AB` равна разности отрезков `AM` и `BM`, то есть $c-d$.

Следовательно, площадь прямоугольника `ABFE` равна $S_{ABFE} = (a+b)(c-d)$.

Эту же площадь можно вычислить иначе. Площадь `ABFE` равна площади большого прямоугольника `AMKE` за вычетом площади верхнего прямоугольника `BMKF`.

Площадь прямоугольника `AMKE` со сторонами $a+b$ и $c$ равна $S_{AMKE} = (a+b)c = ac+bc$.

Площадь прямоугольника `BMKF` со сторонами $a+b$ и $d$ равна $S_{BMKF} = (a+b)d = ad+bd$.

Тогда площадь `ABFE` равна: $S_{ABFE} = S_{AMKE} - S_{BMKF} = (ac+bc) - (ad+bd) = ac+bc-ad-bd$.

Приравнивая два выражения для площади `ABFE`, получаем требуемое тождество: $(a+b)(c-d) = ac + bc - ad - bd$.

Ответ: Тождество доказано путем представления площади искомого прямоугольника в виде разности площадей двух других прямоугольников.

Рассмотрим прямоугольник `BFKM` на рисунке 12, б. Это верхний "горизонтальный" прямоугольник.

Длина его стороны `MK` равна $a+b$. Длина стороны `BM` равна $d$.

Площадь этого прямоугольника равна $S_{BFKM} = (a+b)d$.

С другой стороны, площадь этого прямоугольника можно получить, если из площади всего большого прямоугольника `AMKE` вычесть площадь нижнего прямоугольника `ABFE`.

Площадь прямоугольника `AMKE` со сторонами $a+b$ и $c$ равна $S_{AMKE} = (a+b)c$.

Площадь прямоугольника `ABFE` со сторонами $a+b$ и $c-d$ равна $S_{ABFE} = (a+b)(c-d)$.

Таким образом, $S_{BFKM} = S_{AMKE} - S_{ABFE}$.

Подставляя выражения для площадей, получаем: $(a+b)d = (a+b)c - (a+b)(c-d)$.

Ответ: Тождество доказано через представление площади прямоугольника `BFKM` как разности площадей прямоугольников `AMKE` и `ABFE`.