Номер 3, страница 148 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

3. Привести пример:

1) одночлена, который делится на одночлен $x^2y^3$;

2) многочлена, который не делится на одночлен $ac^3$.

1) Чтобы один одночлен делился на другой, необходимо, чтобы степени всех переменных в делимом были не меньше соответствующих степеней переменных в делителе. В нашем случае делитель — это одночлен $x^2y^3$. Это значит, что мы должны составить такой одночлен, в котором переменная $x$ будет в степени не меньше 2, а переменная $y$ — в степени не меньше 3. Коэффициент может быть любым.
Возьмем в качестве примера одночлен $5x^4y^5$.
Проверим деление:
$\frac{5x^4y^5}{x^2y^3} = 5 \cdot x^{4-2} \cdot y^{5-3} = 5x^2y^2$
Поскольку в результате деления получился новый одночлен, исходный одночлен $5x^4y^5$ делится на $x^2y^3$.
Ответ: $5x^4y^5$.

2) Чтобы многочлен не делился на одночлен, достаточно, чтобы хотя бы один из его членов (одночленов, из которых он состоит) не делился на этот одночлен. Делитель в данном случае — это $ac^3$.
Составим многочлен, в котором один член будет делиться на $ac^3$, а другой — нет. Например, член $2a^2c^5$ делится на $ac^3$. Член $b$ или, например, $ac^2$ не делится на $ac^3$, так как в первом случае отсутствуют переменные $a$ и $c$, а во втором степень переменной $c$ (равная 2) меньше, чем требуемая степень 3.
Рассмотрим многочлен $2a^2c^5 + ac^2$.
Первый член $2a^2c^5$ делится на $ac^3$: $\frac{2a^2c^5}{ac^3} = 2ac^2$.
Второй член $ac^2$ не делится нацело на $ac^3$, так как степень переменной $c$ у него меньше, чем у делителя.
Поскольку не все члены многочлена делятся на $ac^3$, то и весь многочлен не делится на $ac^3$.
Ответ: $2a^2c^5 + ac^2$.