Номер 1, страница 148 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Что нужно сделать, чтобы разделить многочлен на одночлен?

1.

Чтобы разделить многочлен на одночлен, который не равен нулю, нужно применить распределительный закон деления. Правило заключается в следующем: каждый член многочлена необходимо разделить на этот одночлен, а полученные результаты сложить.

Рассмотрим это правило в общем виде. Пусть нам нужно разделить многочлен $A + B - C$ на одночлен $M$ (где $M \neq 0$). Операцию можно записать так:

$\frac{A + B - C}{M} = \frac{A}{M} + \frac{B}{M} - \frac{C}{M}$

Для выполнения деления каждого члена многочлена на одночлен нужно:

• Разделить числовой коэффициент члена многочлена на числовой коэффициент одночлена.
• Разделить переменные. При делении степеней с одинаковыми основаниями их показатели вычитаются: $\frac{a^n}{a^k} = a^{n-k}$.

Пример:

Разделим многочлен $(12a^4b^3 - 8a^3b^2 + 16a^2b)$ на одночлен $(4a^2b)$.

Шаг 1: Запишем деление в виде дроби.

$\frac{12a^4b^3 - 8a^3b^2 + 16a^2b}{4a^2b}$

Шаг 2: Разделим дробь на сумму дробей, где числитель каждой — это член многочлена.

$\frac{12a^4b^3}{4a^2b} - \frac{8a^3b^2}{4a^2b} + \frac{16a^2b}{4a^2b}$

Шаг 3: Выполним деление в каждой дроби.

• Первый член: $\frac{12a^4b^3}{4a^2b} = (\frac{12}{4}) \cdot a^{4-2} \cdot b^{3-1} = 3a^2b^2$

• Второй член: $\frac{8a^3b^2}{4a^2b} = (\frac{8}{4}) \cdot a^{3-2} \cdot b^{2-1} = 2a^1b^1 = 2ab$

• Третий член: $\frac{16a^2b}{4a^2b} = (\frac{16}{4}) \cdot a^{2-2} \cdot b^{1-1} = 4a^0b^0 = 4 \cdot 1 \cdot 1 = 4$

Шаг 4: Сложим полученные результаты, сохраняя знаки.

$3a^2b^2 - 2ab + 4$

Таким образом, $(12a^4b^3 - 8a^3b^2 + 16a^2b) : (4a^2b) = 3a^2b^2 - 2ab + 4$.

Ответ: Чтобы разделить многочлен на одночлен, нужно каждый член многочлена разделить на этот одночлен и полученные частные сложить.