Номер 438, страница 145 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

438. Вычислить значение выражения:

1) $(n + \frac{1}{2})(n^2 - \frac{1}{2}n + \frac{1}{4})$ при $n = -2\frac{1}{2}$;

2) $(n - \frac{1}{3})(n^2 + \frac{1}{3}n + \frac{1}{9})$ при $n = \frac{7}{3}$.

1) Чтобы вычислить значение выражения $(n+\frac{1}{2})(n^2 - \frac{1}{2}n + \frac{1}{4})$ при $n = -2\frac{1}{2}$, сперва упростим его.
Данное выражение является формулой сокращенного умножения, а именно суммой кубов: $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$.
В нашем случае $a=n$ и $b=\frac{1}{2}$.
Следовательно, выражение можно переписать в виде:
$(n+\frac{1}{2})(n^2 - n \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2) = n^3 + (\frac{1}{2})^3 = n^3 + \frac{1}{8}$.
Теперь подставим значение $n = -2\frac{1}{2}$ в упрощенное выражение.
Переведем смешанное число в неправильную дробь: $n = -2\frac{1}{2} = -\frac{2 \cdot 2 + 1}{2} = -\frac{5}{2}$.
Выполним вычисление:
$n^3 + \frac{1}{8} = (-\frac{5}{2})^3 + \frac{1}{8} = -\frac{5^3}{2^3} + \frac{1}{8} = -\frac{125}{8} + \frac{1}{8} = \frac{-125+1}{8} = -\frac{124}{8}$.
Сократим полученную дробь:
$-\frac{124}{8} = -\frac{31 \cdot 4}{2 \cdot 4} = -\frac{31}{2}$.
Переведем неправильную дробь обратно в смешанное число:
$-\frac{31}{2} = -15\frac{1}{2}$.
Ответ: $-15\frac{1}{2}$.

2) Чтобы вычислить значение выражения $(n-\frac{1}{3})(n^2 + \frac{1}{3}n + \frac{1}{9})$ при $n = \frac{7}{3}$, также сначала упростим его.
Это выражение является формулой разности кубов: $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3$.
В данном случае $a=n$ и $b=\frac{1}{3}$.
Упростим выражение:
$(n-\frac{1}{3})(n^2 + n \cdot \frac{1}{3} + (\frac{1}{3})^2) = n^3 - (\frac{1}{3})^3 = n^3 - \frac{1}{27}$.
Теперь подставим в упрощенное выражение значение $n = \frac{7}{3}$.
Выполним вычисление:
$n^3 - \frac{1}{27} = (\frac{7}{3})^3 - \frac{1}{27} = \frac{7^3}{3^3} - \frac{1}{27} = \frac{343}{27} - \frac{1}{27} = \frac{343-1}{27} = \frac{342}{27}$.
Сократим полученную дробь. Сумма цифр числителя $3+4+2=9$, значит, числитель делится на 9. Знаменатель $27$ также делится на 9.
$\frac{342 \div 9}{27 \div 9} = \frac{38}{3}$.
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$\frac{38}{3} = 12\frac{2}{3}$.
Ответ: $12\frac{2}{3}$.