Номер 433, страница 144 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

433. 1) $(a^2 + b)(a + b^2)$;

2) $(5x^2 - 6y^2)(6x^2 - 5y^2)$;

3) $(a^2 + 2b)(2a + b^2)$;

4) $(x^2 + 2x + 1)(x + 3)$.

1)

Чтобы перемножить многочлены $(a^2 + b)$ и $(a + b^2)$, мы применяем правило распределения (или "фонтанчика"): каждый член первого многочлена умножается на каждый член второго.

$(a^2 + b)(a + b^2) = a^2 \cdot a + a^2 \cdot b^2 + b \cdot a + b \cdot b^2$

Выполняем умножение:

$a^3 + a^2b^2 + ab + b^3$

В полученном выражении нет подобных слагаемых, поэтому это и есть окончательный ответ.

Ответ: $a^3 + a^2b^2 + ab + b^3$.

2)

Умножим многочлен $(5x^2 - 6y^2)$ на $(6x^2 - 5y^2)$. Для этого каждый член первой скобки умножим на каждый член второй скобки.

$(5x^2 - 6y^2)(6x^2 - 5y^2) = 5x^2 \cdot 6x^2 + 5x^2 \cdot (-5y^2) - 6y^2 \cdot 6x^2 - 6y^2 \cdot (-5y^2)$

Вычисляем произведения:

$30x^4 - 25x^2y^2 - 36x^2y^2 + 30y^4$

Теперь приведем подобные слагаемые (члены с $x^2y^2$):

$-25x^2y^2 - 36x^2y^2 = -61x^2y^2$

Подставляем обратно в выражение:

$30x^4 - 61x^2y^2 + 30y^4$

Ответ: $30x^4 - 61x^2y^2 + 30y^4$.

3)

Для умножения $(a^2 + 2b)$ на $(2a + b^2)$ снова используем распределительное свойство.

$(a^2 + 2b)(2a + b^2) = a^2 \cdot 2a + a^2 \cdot b^2 + 2b \cdot 2a + 2b \cdot b^2$

Выполняем умножение для каждого члена:

$2a^3 + a^2b^2 + 4ab + 2b^3$

Подобных слагаемых в полученном многочлене нет, поэтому это окончательный результат.

Ответ: $2a^3 + a^2b^2 + 4ab + 2b^3$.

4)

Чтобы умножить трехчлен $(x^2 + 2x + 1)$ на двучлен $(x + 3)$, нужно каждый член трехчлена последовательно умножить на каждый член двучлена.

$(x^2 + 2x + 1)(x + 3) = x^2(x+3) + 2x(x+3) + 1(x+3)$

Раскрываем скобки:

$(x^3 + 3x^2) + (2x^2 + 6x) + (x + 3)$

Убираем скобки и получаем сумму всех членов:

$x^3 + 3x^2 + 2x^2 + 6x + x + 3$

Группируем и складываем подобные слагаемые:

$x^3 + (3x^2 + 2x^2) + (6x + x) + 3 = x^3 + 5x^2 + 7x + 3$

Ответ: $x^3 + 5x^2 + 7x + 3$.