Номер 434, страница 144 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

434. 1) $(2a-b)(4a^2+2ab+b^2)$;

2) $(3a-2b)(9a^2+6ab+4b^2)$;

3) $(5x+3y)(25x^2-15xy+9y^2)$;

4) $(3a+2b)(9a^2-6ab+4b^2)$.

1) Для решения данного примера воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.

В нашем выражении $(2a - b)(4a^2 + 2ab + b^2)$ первый член $x$ из формулы равен $2a$, а второй член $y$ из формулы равен $b$.

Проверим, соответствует ли вторая скобка $(4a^2 + 2ab + b^2)$ части формулы $(x^2 + xy + y^2)$:

• Квадрат первого члена: $x^2 = (2a)^2 = 4a^2$.
• Произведение первого и второго членов: $xy = (2a)(b) = 2ab$.
• Квадрат второго члена: $y^2 = b^2$.

Все члены совпадают, следовательно, выражение является разностью кубов. Применяем формулу:

$(2a - b)(4a^2 + 2ab + b^2) = (2a)^3 - b^3 = 8a^3 - b^3$.

Ответ: $8a^3 - b^3$.

2) Данный пример также решается с помощью формулы разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.

В выражении $(3a - 2b)(9a^2 + 6ab + 4b^2)$ заменим $x$ на $3a$ и $y$ на $2b$.

Проверим, соответствует ли вторая скобка $(9a^2 + 6ab + 4b^2)$ части формулы $(x^2 + xy + y^2)$:

• Квадрат первого члена: $x^2 = (3a)^2 = 9a^2$.
• Произведение первого и второго членов: $xy = (3a)(2b) = 6ab$.
• Квадрат второго члена: $y^2 = (2b)^2 = 4b^2$.

Поскольку вторая скобка является неполным квадратом суммы, мы можем применить формулу разности кубов:

$(3a - 2b)(9a^2 + 6ab + 4b^2) = (3a)^3 - (2b)^3 = 27a^3 - 8b^3$.

Ответ: $27a^3 - 8b^3$.

3) Для решения этого примера воспользуемся формулой сокращенного умножения для суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + b^2)$.

В нашем выражении $(5x + 3y)(25x^2 - 15xy + 9y^2)$ первый член $x$ из формулы равен $5x$, а второй член $y$ из формулы равен $3y$.

Проверим, соответствует ли вторая скобка $(25x^2 - 15xy + 9y^2)$ части формулы $(x^2 - xy + y^2)$:

• Квадрат первого члена: $x^2 = (5x)^2 = 25x^2$.
• Произведение первого и второго членов со знаком минус: $-xy = -(5x)(3y) = -15xy$.
• Квадрат второго члена: $y^2 = (3y)^2 = 9y^2$.

Вторая скобка представляет собой неполный квадрат разности, что соответствует формуле. Применяем формулу суммы кубов:

$(5x + 3y)(25x^2 - 15xy + 9y^2) = (5x)^3 + (3y)^3 = 125x^3 + 27y^3$.

Ответ: $125x^3 + 27y^3$.

4) Этот пример также решается с помощью формулы суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.

В выражении $(3a + 2b)(9a^2 - 6ab + 4b^2)$ заменим $x$ на $3a$ и $y$ на $2b$.

Проверим, соответствует ли вторая скобка $(9a^2 - 6ab + 4b^2)$ части формулы $(x^2 - xy + y^2)$:

• Квадрат первого члена: $x^2 = (3a)^2 = 9a^2$.
• Произведение первого и второго членов со знаком минус: $-xy = -(3a)(2b) = -6ab$.
• Квадрат второго члена: $y^2 = (2b)^2 = 4b^2$.

Вторая скобка соответствует формуле неполного квадрата разности, поэтому мы можем применить формулу суммы кубов:

$(3a + 2b)(9a^2 - 6ab + 4b^2) = (3a)^3 + (2b)^3 = 27a^3 + 8b^3$.

Ответ: $27a^3 + 8b^3$.