Номер 441, страница 145 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 24. Умножение многочлена на многочлен. Глава 4. Одночлены и многочлены - номер 441, страница 145.

Условие.

441. Доказать, что если $a(b+1)+b(a+1)=(a+1)(b+1)$, то $ab=1$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для доказательства утверждения необходимо преобразовать данное в условии равенство.

Исходное равенство: $a(b+1) + b(a+1) = (a+1)(b+1)$

Сначала раскроем скобки в левой части уравнения: $a(b+1) + b(a+1) = ab + a \cdot 1 + b \cdot a + b \cdot 1 = ab + a + ab + b$

Приведем подобные слагаемые в левой части: $ab + a + ab + b = 2ab + a + b$

Теперь раскроем скобки в правой части уравнения, используя правило умножения многочленов (каждый член первого многочлена умножается на каждый член второго): $(a+1)(b+1) = a \cdot b + a \cdot 1 + 1 \cdot b + 1 \cdot 1 = ab + a + b + 1$

Теперь приравняем преобразованные левую и правую части: $2ab + a + b = ab + a + b + 1$

Для дальнейшего упрощения вычтем из обеих частей равенства выражение $(a+b)$: $2ab + a + b - (a+b) = ab + a + b + 1 - (a+b)$ $2ab = ab + 1$

Наконец, вычтем $ab$ из обеих частей: $2ab - ab = 1$ $ab = 1$

Таким образом, мы пришли к выводу, что $ab = 1$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.