Номер 442, страница 146 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

442. Ширина прямоугольника на 15 м меньше его длины. Если ширину увеличить на 8 м, а длину уменьшить на 6 м, то площадь нового прямоугольника будет на $80 \text{ м}^2$ больше площади данного. Найти площадь данного прямоугольника.

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ м — это длина исходного прямоугольника.

Согласно условию, ширина прямоугольника на 15 м меньше его длины, следовательно, ширина равна $(x - 15)$ м.

Площадь исходного прямоугольника $S_1$ вычисляется как произведение длины на ширину:

$S_1 = x \cdot (x - 15)$ м².

Далее, ширину увеличили на 8 м, а длину уменьшили на 6 м. Найдем новые размеры:

Новая ширина: $(x - 15) + 8 = (x - 7)$ м.

Новая длина: $(x - 6)$ м.

Площадь нового прямоугольника $S_2$ равна произведению новых длины и ширины:

$S_2 = (x - 6) \cdot (x - 7)$ м².

Из условия известно, что площадь нового прямоугольника на 80 м² больше площади данного. Это можно записать в виде уравнения:

$S_2 = S_1 + 80$

Подставим выражения для площадей в это уравнение:

$(x - 6)(x - 7) = x(x - 15) + 80$

Теперь решим полученное уравнение. Раскроем скобки в обеих частях:

$x^2 - 7x - 6x + 42 = x^2 - 15x + 80$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$x^2 - 13x + 42 = x^2 - 15x + 80$

Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые значения — в правую:

$x^2 - x^2 - 13x + 15x = 80 - 42$

$2x = 38$

Найдем $x$:

$x = \frac{38}{2}$

$x = 19$

Таким образом, длина данного (исходного) прямоугольника равна 19 м.

Найдем ширину данного прямоугольника:

$19 - 15 = 4$ м.

Теперь можем найти площадь данного прямоугольника:

$S_1 = 19 \text{ м} \times 4 \text{ м} = 76$ м².

Ответ: 76 м².