Номер 2, страница 144 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

2. Записать в стандартном виде многочлен:

1) $13m^{12}n - 6mn^6 + 8m^{12}n^6 - 7mn^6;$

2) $-28p^7k^3 + 18p^7k - 10k^3p^7 - 8kp^7 + 4.$

1) Чтобы записать многочлен в стандартном виде, необходимо привести подобные члены. Подобными членами называются слагаемые, у которых одинаковая буквенная часть.

Исходный многочлен: $13m^{12}n - 6mn^6 + 8m^{12}n^6 - 7mn^6$.

Найдем в нем подобные члены. Это $-6mn^6$ и $-7mn^6$, так как у них одинаковая буквенная часть $mn^6$.

Сложим их коэффициенты:

$-6mn^6 - 7mn^6 = (-6 - 7)mn^6 = -13mn^6$.

Остальные члены, $13m^{12}n$ и $8m^{12}n^6$, не имеют подобных, так как их буквенные части ($m^{12}n$ и $m^{12}n^6$) различны.

Теперь запишем новый многочлен, подставив результат сложения подобных членов:

$13m^{12}n - 13mn^6 + 8m^{12}n^6$.

Стандартный вид многочлена предполагает запись его членов в порядке убывания их степеней. Степень одночлена — это сумма показателей степеней всех входящих в него переменных.

• Степень члена $8m^{12}n^6$ равна $12 + 6 = 18$.
• Степень члена $13m^{12}n$ (или $13m^{12}n^1$) равна $12 + 1 = 13$.
• Степень члена $-13mn^6$ (или $-13m^1n^6$) равна $1 + 6 = 7$.

Расположим члены в порядке убывания их степеней: $8m^{12}n^6 + 13m^{12}n - 13mn^6$.

Ответ: $8m^{12}n^6 + 13m^{12}n - 13mn^6$

2) Для приведения многочлена к стандартному виду сначала приведем каждый его член к стандартному виду (переменные в алфавитном порядке), а затем приведем подобные члены.

Исходный многочлен: $-28p^7k^3 + 18p^7k - 10k^3p^7 - 8kp^7 + 4$.

Запишем переменные в каждом члене в алфавитном порядке (k, p):

$-28p^7k^3$ становится $-28k^3p^7$.
$18p^7k$ становится $18kp^7$.
Остальные члены уже записаны в стандартном виде.

Получаем выражение: $-28k^3p^7 + 18kp^7 - 10k^3p^7 - 8kp^7 + 4$.

Теперь найдем и сгруппируем подобные члены:

Первая группа: $-28k^3p^7$ и $-10k^3p^7$. Их сумма: $(-28 - 10)k^3p^7 = -38k^3p^7$.

Вторая группа: $18kp^7$ и $-8kp^7$. Их сумма: $(18 - 8)kp^7 = 10kp^7$.

Константа $4$ не имеет подобных членов.

Теперь запишем итоговый многочлен, собрав все полученные члены:

$-38k^3p^7 + 10kp^7 + 4$.

Члены уже расположены в порядке убывания степеней (степень $k^3p^7$ равна $3+7=10$, степень $kp^7$ равна $1+7=8$, степень константы $4$ равна $0$), поэтому это и есть окончательный стандартный вид.

Ответ: $-38k^3p^7 + 10kp^7 + 4$