Страница 140 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Сформулировать алгоритм умножения многочлена на одночлен.

1.

Алгоритм умножения многочлена на одночлен основан на распределительном (дистрибутивном) свойстве умножения относительно сложения и вычитания. Это свойство можно записать в виде формулы: $a(b + c) = ab + ac$.
Чтобы умножить многочлен на одночлен, необходимо выполнить следующие действия:

1. Умножить данный одночлен на каждый член многочлена.

2. При умножении каждого члена многочлена на одночлен (что является умножением двух одночленов) следует:
а) Перемножить их числовые коэффициенты.
б) Перемножить их переменные части, используя правило умножения степеней с одинаковыми основаниями: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.

3. Полученные произведения сложить алгебраически (то есть, записывая их друг за другом с их знаками).

4. Если в полученном многочлене есть подобные слагаемые, привести их (то есть сложить коэффициенты у членов с одинаковой буквенной частью). Как правило, если исходный многочлен был в стандартном виде, подобных слагаемых в результате не будет.

Пример:
Умножим многочлен $(5x^3 - 2xy + 4y^2)$ на одночлен $(-3x^2y)$.

$(-3x^2y) \cdot (5x^3 - 2xy + 4y^2)$

Шаг 1 и 2: Умножаем одночлен $(-3x^2y)$ на каждый член многочлена.
- Первое произведение: $(-3x^2y) \cdot (5x^3) = (-3 \cdot 5) \cdot (x^2 \cdot x^3) \cdot y = -15x^{2+3}y = -15x^5y$
- Второе произведение: $(-3x^2y) \cdot (-2xy) = (-3 \cdot -2) \cdot (x^2 \cdot x) \cdot (y \cdot y) = 6x^{2+1}y^{1+1} = 6x^3y^2$
- Третье произведение: $(-3x^2y) \cdot (4y^2) = (-3 \cdot 4) \cdot x^2 \cdot (y \cdot y^2) = -12x^2y^{1+2} = -12x^2y^3$

Шаг 3: Складываем полученные произведения.
$-15x^5y + 6x^3y^2 - 12x^2y^3$

Шаг 4: Проверяем на наличие подобных слагаемых. В данном многочлене их нет, поэтому выражение является окончательным результатом.

Ответ: Чтобы умножить многочлен на одночлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения алгебраически сложить.

2. Сформулировать переместительный и распределительный законы умножения.

Переместительный закон умножения (коммутативный закон)

Этот закон утверждает, что при перестановке множителей их произведение не изменяется. Это один из фундаментальных законов арифметики, который значительно упрощает вычисления.

Словесная формулировка: От перемены мест множителей произведение не меняется.

В виде формулы для любых чисел $a$ и $b$ это записывается так:

$a \cdot b = b \cdot a$

Пример:

Вычисление $5 \cdot 12$ дает тот же результат, что и вычисление $12 \cdot 5$.

$5 \cdot 12 = 60$

$12 \cdot 5 = 60$

Как видно, результат одинаков. Этот закон позволяет выбирать более удобный порядок умножения чисел.

Ответ: Переместительный закон умножения гласит, что произведение не меняется от перестановки его множителей, то есть $a \cdot b = b \cdot a$.

Распределительный закон умножения (дистрибутивный закон)

Этот закон связывает две арифметические операции: умножение и сложение (или вычитание). Он показывает, как раскрывать скобки, в которых находится сумма или разность.

Словесная формулировка относительно сложения: Чтобы умножить число на сумму, можно умножить это число на каждое слагаемое в отдельности и затем сложить полученные произведения.

В виде формулы для любых чисел $a$, $b$ и $c$ это записывается так:

$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

Словесная формулировка относительно вычитания: Чтобы умножить число на разность, можно умножить это число на уменьшаемое и на вычитаемое, а затем из первого произведения вычесть второе.

В виде формулы:

$a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c$

Пример:

Рассчитаем значение выражения $7 \cdot (10 + 3)$ двумя способами:

1. Сначала выполним сложение в скобках: $7 \cdot (13) = 91$.

2. Применим распределительный закон: $7 \cdot 10 + 7 \cdot 3 = 70 + 21 = 91$.

Результаты совпадают. Этот закон также используется в обратном порядке для вынесения общего множителя за скобки, что является ключевым приемом в алгебраических преобразованиях.

Ответ: Распределительный закон умножения гласит, что для умножения числа на сумму (разность) нужно это число умножить на каждое слагаемое (уменьшаемое и вычитаемое) и результаты сложить (вычесть): $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$ и $a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c$.

3. Записать:

1) произведение числа $c$ и разности чисел $a$ и $b$;

2) сумму числа $a$ и произведения чисел $c$ и $d$.

1) Чтобы записать произведение числа $c$ и разности чисел $a$ и $b$, необходимо сначала представить разность чисел $a$ и $b$ в виде математического выражения. Разность — это результат вычитания, поэтому разность чисел $a$ и $b$ записывается как $(a - b)$. Затем, чтобы найти произведение, нужно умножить число $c$ на полученную разность. Произведение — это результат умножения. Таким образом, искомое выражение будет $c \cdot (a - b)$. Скобки в данном случае обязательны, так как они указывают на то, что число $c$ умножается на результат разности, а не только на число $a$. В алгебраической записи знак умножения часто опускают, если это не приводит к двусмысленности.
Ответ: $c(a - b)$

2) Чтобы записать сумму числа $a$ и произведения чисел $c$ и $d$, нужно выполнить два действия. Сначала находим произведение чисел $c$ и $d$. Это записывается как $c \cdot d$ или просто $cd$. Затем к полученному произведению нужно прибавить число $a$. Сумма — это результат сложения. Таким образом, искомое выражение записывается как $a + cd$. Согласно правилам порядка выполнения арифметических действий, умножение выполняется раньше сложения, поэтому скобки в данном выражении не требуются.
Ответ: $a + cd$

4. Прочитать запись:

1) $(x+y)z$; 2) $x^2(y+2)$; 3) $x^2+y^2$; 4) $(x+y)^2$; 5) $a^3-b^3$; 6) $(a-b)^3$.

1) Данное выражение $(x+y)z$ является произведением. Первый множитель — это выражение в скобках, представляющее собой сумму переменных $x$ и $y$. Второй множитель — переменная $z$. Таким образом, вся запись читается как произведение суммы $x$ и $y$ на $z$.
Ответ: Произведение суммы икс и игрек на зет.

2) Запись $x^2(y+2)$ также представляет собой произведение. Первый множитель — $x^2$ (икс в квадрате), а второй — $(y+2)$ (сумма $y$ и числа 2). Следовательно, это выражение читается как произведение квадрата $x$ на сумму $y$ и 2.
Ответ: Произведение квадрата икс на сумму игрек и двух.

3) Выражение $x^2+y^2$ — это алгебраическая сумма. Первое слагаемое — $x^2$ (квадрат $x$), а второе слагаемое — $y^2$ (квадрат $y$). Запись читается как сумма квадратов $x$ и $y$.
Ответ: Сумма квадратов икс и игрек.

4) Выражение $(x+y)^2$ — это степень, где в основание возводится сумма $x$ и $y$, а показатель степени равен 2. Это выражение, известное как формула сокращенного умножения, читается как квадрат суммы $x$ и $y$. Важно отличать его от "суммы квадратов".
Ответ: Квадрат суммы икс и игрек.

5) В выражении $a^3-b^3$ мы видим операцию вычитания. Уменьшаемое — $a^3$ (куб $a$), а вычитаемое — $b^3$ (куб $b$). Эта формула сокращенного умножения читается как разность кубов $a$ и $b$.
Ответ: Разность кубов а и бэ.

6) Выражение $(a-b)^3$ — это степень, в основание которой возводится разность $a$ и $b$, а показатель степени равен 3. Данное выражение читается как куб разности $a$ и $b$. Следует отличать его от "разности кубов".
Ответ: Куб разности а и бэ.

1. Записать в виде одночлена стандартного вида:

1) $5a^2 \cdot 6a^3b$;

2) $-0,8x^2y \cdot 5xy^4$.

1) Чтобы привести одночлен $5a^2 \cdot 6a^3b$ к стандартному виду, необходимо перемножить числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями. Стандартный вид одночлена — это произведение числового множителя, стоящего на первом месте, и степеней различных переменных.

Сгруппируем и перемножим числовые коэффициенты: $5 \cdot 6 = 30$.

Теперь сгруппируем и перемножим переменные. При умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):

$a^2 \cdot a^3 = a^{2+3} = a^5$

Переменная $b$ остается без изменений, так как она встречается только один раз.

Собираем все вместе, чтобы получить одночлен стандартного вида:

$30a^5b$

Ответ: $30a^5b$.

2) Для приведения одночлена $-0,8x^2y \cdot 5xy^4$ к стандартному виду выполним аналогичные действия.

Перемножим числовые коэффициенты:

$-0,8 \cdot 5 = -4$

Перемножим степени с одинаковыми основаниями, помня, что $x = x^1$ и $y = y^1$:

$x^2 \cdot x = x^2 \cdot x^1 = x^{2+1} = x^3$

$y \cdot y^4 = y^1 \cdot y^4 = y^{1+4} = y^5$

Объединяем полученные результаты в один одночлен стандартного вида:

$-4x^3y^5$

Ответ: $-4x^3y^5$.