Страница 136 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Что нужно сделать, чтобы записать алгебраическую сумму нескольких многочленов в виде многочлена стандартного вида?

Чтобы записать алгебраическую сумму нескольких многочленов в виде многочлена стандартного вида, необходимо выполнить следующую последовательность действий:

1. Раскрыть все скобки.
Если многочлены заключены в скобки, их необходимо раскрыть. При этом нужно следовать правилу знаков:

• Если перед скобкой стоит знак «+», то скобки просто опускаются, а знаки всех слагаемых внутри скобок сохраняются.
• Если перед скобкой стоит знак «–», то скобки опускаются, а знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные.

Пример: Найти алгебраическую сумму многочленов $(2a^2 - 3ab)$ и $(5ab - b^2)$, то есть $(2a^2 - 3ab) + (5ab - b^2)$, и разность $(2a^2 - 3ab) - (5ab - b^2)$.
Сумма: $(2a^2 - 3ab) + (5ab - b^2) = 2a^2 - 3ab + 5ab - b^2$.
Разность: $(2a^2 - 3ab) - (5ab - b^2) = 2a^2 - 3ab - 5ab + b^2$.

2. Привести подобные члены.
После раскрытия скобок в полученном выражении нужно найти и сгруппировать подобные члены. Подобными членами (или слагаемыми) называются одночлены, имеющие одинаковую буквенную часть (то есть одни и те же переменные с одинаковыми показателями степеней). Чтобы привести подобные члены, нужно сложить их числовые коэффициенты, а буквенную часть оставить без изменений.

Пример (продолжение):

• Для суммы $2a^2 - 3ab + 5ab - b^2$:
  Подобные члены здесь $-3ab$ и $5ab$. Приводим их: $-3ab + 5ab = (-3 + 5)ab = 2ab$.
  Результат: $2a^2 + 2ab - b^2$.
• Для разности $2a^2 - 3ab - 5ab + b^2$:
  Подобные члены здесь $-3ab$ и $-5ab$. Приводим их: $-3ab - 5ab = (-3 - 5)ab = -8ab$.
  Результат: $2a^2 - 8ab + b^2$.

3. Записать полученный многочлен в стандартном виде.
Многочлен стандартного вида — это многочлен, в котором все члены записаны в стандартном виде (т.е. числовой коэффициент стоит на первом месте, а переменные в алфавитном порядке) и приведены все подобные члены. Кроме того, принято располагать члены многочлена в порядке убывания их степеней. Степень члена — это сумма показателей степеней всех входящих в него переменных.

Пример (продолжение):
Полученные многочлены $2a^2 + 2ab - b^2$ и $2a^2 - 8ab + b^2$ уже записаны в стандартном виде. Члены расположены в порядке убывания степеней (степень $2a^2$ равна 2, степень $2ab$ равна $1+1=2$, степень $-b^2$ равна 2; при одинаковых степенях порядок может определяться лексикографически).

Ответ: Чтобы записать алгебраическую сумму нескольких многочленов в виде многочлена стандартного вида, необходимо раскрыть скобки в соответствии с правилами знаков, а затем в полученном многочлене привести подобные члены и расположить их в порядке убывания степеней.

2. Убедиться в том, что число -1 является корнем уравнения:

1) $7x+9=2$;

2) $2x^2-3x-5=0$.

Чтобы убедиться, что число является корнем уравнения, необходимо подставить это число в уравнение вместо переменной. Если в результате получится верное числовое равенство, то число является корнем уравнения.

1) Проверим для уравнения $7x + 9 = 2$ и числа $-1$.

Подставим $x = -1$ в левую часть уравнения:

$7 \cdot (-1) + 9 = -7 + 9 = 2$

Сравним результат с правой частью уравнения:

$2 = 2$

Равенство верное, следовательно, число $-1$ является корнем данного уравнения.

Ответ: число $-1$ является корнем уравнения $7x+9=2$.

2) Проверим для уравнения $2x^2 - 3x - 5 = 0$ и числа $-1$.

Подставим $x = -1$ в левую часть уравнения:

$2 \cdot (-1)^2 - 3 \cdot (-1) - 5 = 2 \cdot 1 - (-3) - 5$

Выполним вычисления:

$2 + 3 - 5 = 5 - 5 = 0$

Сравним результат с правой частью уравнения:

$0 = 0$

Равенство верное, следовательно, число $-1$ является корнем данного уравнения.

Ответ: число $-1$ является корнем уравнения $2x^2 - 3x - 5 = 0$.