Страница 133 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Какие одночлены называют подобными?

1.

Подобными одночленами называют одночлены, которые имеют одинаковую буквенную часть. Также подобными являются одночлены, не имеющие буквенной части (то есть числа). Другими словами, одночлены подобны, если они либо полностью совпадают, либо отличаются только своими числовыми коэффициентами.

Чтобы точно определить, подобны ли одночлены, их следует сначала привести к стандартному виду. Стандартный вид одночлена — это произведение числового множителя (коэффициента), записанного на первом месте, и степеней различных переменных. Буквенная часть — это произведение всех переменных и их степеней.

Примеры подобных одночленов:
• Одночлены $5a^2b$ и $-3a^2b$ подобны, так как у них одинаковая буквенная часть $a^2b$.
• Одночлены $7xyz$ и $xyz$ подобны. Их общая буквенная часть — $xyz$, а коэффициенты — $7$ и $1$ (коэффициент $1$ обычно опускается).
• Числа $12$ и $-4$ являются подобными одночленами, так как у них нет буквенной части.

Примеры одночленов, которые не являются подобными:
• $4x^2y$ и $4xy^2$. Буквенные части ($x^2y$ и $xy^2$) различны, так как степени у переменных $x$ и $y$ не совпадают.
• $6ab$ и $6ac$. Буквенные части ($ab$ и $ac$) различны, так как содержат разные переменные ($b$ и $c$).

С подобными одночленами можно выполнять операцию сложения и вычитания. Этот процесс называется приведением подобных слагаемых. Для этого нужно сложить или вычесть их коэффициенты, а буквенную часть оставить без изменений. Например: $5a^2b - 3a^2b = (5 - 3)a^2b = 2a^2b$.

Ответ: Подобные одночлены — это одночлены, которые после приведения к стандартному виду имеют одинаковую буквенную часть (или не имеют буквенной части вовсе).

2. Что называют приведением подобных членов?

Приведение подобных членов — это процесс упрощения алгебраических выражений (например, многочленов) путем сложения или вычитания слагаемых, которые имеют одинаковую буквенную часть. В результате этого действия выражение становится короче и проще для дальнейших вычислений.

Основой этого процесса является понятие подобных членов. Подобными членами (или подобными слагаемыми) называют слагаемые, у которых буквенная часть полностью совпадает. Их числовые коэффициенты при этом могут быть разными.

Например:

• В выражении $5a + 2b - 8a$ подобными являются члены $5a$ и $-8a$, так как у них одинаковая буквенная часть $a$.
• В выражении $10x^2y - 3xy^2 + 2x^2y$ подобными являются $10x^2y$ и $2x^2y$, так как их буквенная часть $x^2y$ идентична. Член $-3xy^2$ им не подобен, поскольку степени у переменных $x$ и $y$ другие.

Алгоритм приведения подобных членов заключается в следующем:

1. Найти в выражении все группы подобных членов.
2. В каждой группе сложить числовые коэффициенты.
3. Записать результат в виде нового члена, который состоит из полученной суммы коэффициентов и общей для группы буквенной части.

Математически это правило основывается на распределительном свойстве умножения: $k \cdot a + m \cdot a = (k+m) \cdot a$.

Пример 1: Упростить выражение $7x + 2y - 4x + 3y$.

1. Сгруппируем подобные члены: $(7x - 4x) + (2y + 3y)$.
2. Сложим коэффициенты в каждой группе:
Для группы с $x$: $7 - 4 = 3$. Получаем $3x$.
Для группы с $y$: $2 + 3 = 5$. Получаем $5y$.
3. Запишем итоговое упрощенное выражение: $3x + 5y$.

$7x + 2y - 4x + 3y = (7-4)x + (2+3)y = 3x + 5y$

Пример 2: Упростить выражение $a^3 + 5ab - 10 - 3a^3 + 2ab + 7$.

1. Группируем подобные члены:
$(a^3 - 3a^3) + (5ab + 2ab) + (-10 + 7)$
2. Приводим подобные в каждой группе:
$(1-3)a^3 + (5+2)ab + (-10+7) = -2a^3 + 7ab - 3$

Ответ: Приведение подобных членов – это упрощение выражения, при котором складываются коэффициенты слагаемых с одинаковой буквенной частью, а сама буквенная часть остается неизменной.

3. Как привести многочлен к стандартному виду?

Чтобы привести многочлен к стандартному виду, необходимо выполнить последовательность действий. Стандартный вид многочлена — это такая его форма, в которой все его члены являются одночленами стандартного вида, среди них нет подобных, и они записаны в порядке убывания их степеней.

Алгоритм приведения многочлена к стандартному виду состоит из трех шагов.

Шаг 1. Приведение каждого члена многочлена к стандартному виду

Каждый член многочлена (одночлен) нужно представить в стандартном виде. Это означает, что числовой множитель (коэффициент) должен стоять на первом месте, а за ним — переменные, расположенные в алфавитном порядке, каждая в соответствующей степени.
Например, член многочлена $3a \cdot 5b^2a^3$ приводится к стандартному виду следующим образом:
- Перемножаются числовые коэффициенты: $3 \cdot 5 = 15$.
- Перемножаются степени с одинаковыми основаниями: $a \cdot a^3 = a^{1+3} = a^4$.
- Результат записывается в виде одночлена стандартного вида: $15a^4b^2$.

Шаг 2. Приведение подобных членов

Подобные члены — это одночлены, которые имеют одинаковую буквенную часть (например, $7x^2y$ и $-3x^2y$). Чтобы привести подобные члены, нужно сложить их числовые коэффициенты, а буквенную часть оставить без изменений.
Например, в многочлене $7x^2y + 2xy - 3x^2y$ приведем подобные члены:
- Находим подобные члены: $7x^2y$ и $-3x^2y$.
- Складываем их коэффициенты: $7 - 3 = 4$.
- Получаем результат: $4x^2y$.
- Многочлен после приведения подобных членов: $4x^2y + 2xy$.

Шаг 3. Расположение членов в порядке убывания степеней

После того как все подобные члены приведены, оставшиеся члены многочлена нужно расположить в порядке убывания их степеней. Степень одночлена — это сумма показателей степеней всех входящих в него переменных.
Например, многочлен $6b^3 + 2a^4b^2 - 9$ нужно упорядочить.
- Определяем степень каждого члена: степень $2a^4b^2$ равна $4+2=6$; степень $6b^3$ равна $3$; степень $-9$ равна $0$.
- Располагаем члены в порядке убывания степеней (от $6$ к $0$): $2a^4b^2 + 6b^3 - 9$.

Общий пример

Приведем к стандартному виду многочлен $P(x, y) = 2x(3xy) - 5y^2 + 4x^2y - 7xy^2 + 3y^2 - x^2y$.

1. Приводим члены к стандартному виду:
$2x(3xy) = (2 \cdot 3) \cdot (x \cdot x) \cdot y = 6x^2y$.
Многочлен принимает вид: $6x^2y - 5y^2 + 4x^2y - 7xy^2 + 3y^2 - x^2y$.

2. Приводим подобные члены:
Группируем подобные: $(6x^2y + 4x^2y - x^2y) + (-5y^2 + 3y^2) - 7xy^2$.
Складываем коэффициенты:
$x^2y: 6 + 4 - 1 = 9 \implies 9x^2y$.
$y^2: -5 + 3 = -2 \implies -2y^2$.
Получаем: $9x^2y - 2y^2 - 7xy^2$.

3. Располагаем члены по убыванию степеней:
Степень $9x^2y$ равна $2+1=3$.
Степень $-7xy^2$ равна $1+2=3$.
Степень $-2y^2$ равна $2$.
Члены с одинаковой степенью $3$ ($9x^2y$ и $-7xy^2$) располагаем в лексикографическом порядке (по убыванию степени переменной $x$).
Итоговый стандартный вид: $9x^2y - 7xy^2 - 2y^2$.

Ответ: Чтобы привести многочлен к стандартному виду, нужно выполнить три шага:
1. Привести все его члены (одночлены) к стандартному виду.
2. Привести подобные члены (сложить или вычесть одночлены с одинаковой буквенной частью).
3. Расположить полученные члены в порядке убывания их степеней.

4. Найти в словаре (или в Интернете) трактовку понятия коэффициент. Кто ввёл это понятие в курс алгебры?

Трактовка понятия коэффициент

Коэффициент (от латинского coefficiens — «содействующий») — это числовой или буквенный множитель, который стоит при буквенном выражении (переменной). В более строгом определении, коэффициент — это постоянный множитель при переменной или степени переменной в одночлене.

Рассмотрим несколько примеров:

• В выражении $5x^2$ число $5$ является коэффициентом при $x^2$.
• В многочлене $7a - 2b + c$ числа $7$ и $-2$ являются коэффициентами при переменных $a$ и $b$ соответственно. Коэффициент при переменной $c$ равен $1$, хотя он явно и не записывается.
• В общем виде квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, буквы $a$, $b$ и $c$ называются коэффициентами (или параметрами), где $a$ — старший коэффициент, $b$ — второй коэффициент, а $c$ — свободный член (коэффициент при $x^0$).

Таким образом, коэффициент показывает, во сколько раз нужно взять переменную или ее степень в данном выражении.

Ответ: Коэффициент — это постоянный (числовой или буквенный) множитель при переменной в алгебраическом выражении.

Кто ввёл это понятие в курс алгебры?

Термин «коэффициент» и активное использование буквенных коэффициентов ввёл в научный оборот выдающийся французский математик Франсуа Виет (1540–1603).

В своём знаменитом труде «Введение в аналитическое искусство», опубликованном в 1591 году, Виет впервые предложил использовать буквы не только для обозначения неизвестных величин (например, $x, y, z$), но и для обозначения известных параметров в уравнениях — коэффициентов. Он использовал для них прописные согласные буквы латинского алфавита ($B, C, D, \dots$).

Это нововведение стало революционным, так как позволило перейти от решения частных арифметических задач к общему анализу уравнений и их свойств. Благодаря Виету стало возможным записать и исследовать формулы для решения уравнений в общем виде, что заложило основы современной символической алгебры.

Ответ: Понятие «коэффициент» ввёл в курс алгебры французский математик Франсуа Виет в конце XVI века.

1. Привести к стандартному виду одночлен:

1) $15a^2(-3)ab^3\frac{1}{5}ca;$

2) $0,6x^3y^6(-5)z^3y \cdot 0,1x.$

1) Чтобы привести одночлен $15a^2(-3)ab^3\frac{1}{5}ca$ к стандартному виду, необходимо перемножить все числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями (переменными).

Сначала найдем произведение числовых коэффициентов: $15$, $-3$ и $\frac{1}{5}$.

$15 \cdot (-3) \cdot \frac{1}{5} = \frac{15 \cdot (-3)}{5} = 3 \cdot (-3) = -9$.

Далее сгруппируем и перемножим переменные. Для этого сложим показатели степеней у одинаковых оснований, помня, что $a = a^1$ и $c = c^1$.

Для переменной $a$: $a^2 \cdot a \cdot a = a^{2+1+1} = a^4$.

Для переменной $b$: $b^3$.

Для переменной $c$: $c$.

Теперь запишем стандартный вид одночлена: на первом месте числовой коэффициент, за ним — переменные в алфавитном порядке с их итоговыми степенями.

Ответ: $-9a^4b^3c$.

2) Аналогично приведем к стандартному виду одночлен $0,6x^3y^6(-5)z^3y \cdot 0,1x$.

Вычислим произведение числовых коэффициентов: $0,6$, $-5$ и $0,1$.

$0,6 \cdot (-5) \cdot 0,1 = -3 \cdot 0,1 = -0,3$.

Теперь перемножим степени с одинаковыми основаниями, помня, что $x = x^1$ и $y = y^1$.

Для переменной $x$: $x^3 \cdot x = x^{3+1} = x^4$.

Для переменной $y$: $y^6 \cdot y = y^{6+1} = y^7$.

Для переменной $z$: $z^3$.

Запишем результат, поставив на первое место числовой коэффициент, а затем переменные в алфавитном порядке $x, y, z$.

Ответ: $-0,3x^4y^7z^3$.

2. Подчеркнуть одночлены, отличающиеся только коэффициентами:

1) $\frac{1}{2}xy^2 - 7x^2y^2 + 3xy^2 - xy + x^2y^2$;

2) $-8a^3b + 2ab^2 + \frac{1}{2}b^2a + 3a^2b^2 + 0,3ba^3.$

1) Одночлены, которые отличаются только коэффициентами, называются подобными одночленами. Чтобы их найти в выражении $\frac{1}{2}xy^2 - 7x^2y^2 + 3xy^2 - xy + x^2y^2$, нужно сравнить их буквенные части.

Проанализируем каждый одночлен:

Одночлен $\frac{1}{2}xy^2$ имеет буквенную часть $xy^2$.

Одночлен $-7x^2y^2$ имеет буквенную часть $x^2y^2$.

Одночлен $3xy^2$ имеет буквенную часть $xy^2$.

Одночлен $-xy$ (его коэффициент равен $-1$) имеет буквенную часть $xy$.

Одночлен $x^2y^2$ (его коэффициент равен $1$) имеет буквенную часть $x^2y^2$.

Теперь найдем одночлены с одинаковой буквенной частью:

Первая пара подобных одночленов: $\frac{1}{2}xy^2$ и $3xy^2$. Их буквенная часть $xy^2$, а коэффициенты $\frac{1}{2}$ и $3$.

Вторая пара подобных одночленов: $-7x^2y^2$ и $x^2y^2$. Их буквенная часть $x^2y^2$, а коэффициенты $-7$ и $1$.

Одночлен $-xy$ не имеет подобных в данном выражении.

Ответ: первая пара: $\frac{1}{2}xy^2$ и $3xy^2$; вторая пара: $-7x^2y^2$ и $x^2y^2$.

2) В выражении $-8a^3b + 2ab^2 + \frac{1}{2}b^2a + 3a^2b^2 + 0,3ba^3$ для нахождения подобных одночленов необходимо сначала привести каждый из них к стандартному виду. Стандартный вид одночлена — это произведение числового коэффициента и степеней переменных, расположенных в алфавитном порядке.

Приведем одночлены к стандартному виду:

$-8a^3b$ — уже в стандартном виде. Буквенная часть $a^3b$.

$2ab^2$ — уже в стандартном виде. Буквенная часть $ab^2$.

$\frac{1}{2}b^2a$ = $\frac{1}{2}ab^2$. Буквенная часть $ab^2$.

$3a^2b^2$ — уже в стандартном виде. Буквенная часть $a^2b^2$.

$0,3ba^3$ = $0,3a^3b$. Буквенная часть $a^3b$.

Теперь сгруппируем одночлены с одинаковой буквенной частью:

Первая пара подобных одночленов: $-8a^3b$ и $0,3ba^3$. Их общая буквенная часть в стандартном виде $a^3b$, а коэффициенты $-8$ и $0,3$.

Вторая пара подобных одночленов: $2ab^2$ и $\frac{1}{2}b^2a$. Их общая буквенная часть в стандартном виде $ab^2$, а коэффициенты $2$ и $\frac{1}{2}$.

Одночлен $3a^2b^2$ не имеет подобных в данном выражении.

Ответ: первая пара: $-8a^3b$ и $0,3ba^3$; вторая пара: $2ab^2$ и $\frac{1}{2}b^2a$.

3. В яблочном джеме масса яблок в 2 раза больше, чем масса сахара. Какова масса сахара и какова масса яблок в 1,5 кг джема?

Для решения этой задачи обозначим массу сахара через переменную. Пусть масса сахара, необходимая для приготовления джема, равна $x$ кг.

Из условия известно, что масса яблок в 2 раза больше массы сахара. Следовательно, масса яблок будет равна $2x$ кг.

Джем состоит из яблок и сахара, поэтому его общая масса равна сумме масс яблок и сахара. Общая масса джема по условию составляет 1,5 кг. На основе этих данных мы можем составить уравнение:

Масса сахара + Масса яблок = Общая масса джема

$x + 2x = 1,5$

Теперь решим полученное уравнение, чтобы найти значение $x$:

Сначала сложим слагаемые с переменной $x$:

$3x = 1,5$

Теперь найдем $x$, разделив обе части уравнения на 3:

$x = 1,5 / 3$

$x = 0,5$

Таким образом, масса сахара в джеме составляет 0,5 кг.

Теперь, зная массу сахара, мы можем найти массу яблок:

Масса яблок = $2x = 2 \cdot 0,5 = 1$ кг.

Проверим результат: 0,5 кг (сахар) + 1 кг (яблоки) = 1,5 кг (общая масса джема). Все верно.

Ответ: масса сахара в 1,5 кг джема составляет 0,5 кг, а масса яблок — 1 кг.

4. Масштаб карты 1 : 100 000. Каково расстояние между двумя населёнными пунктами, если на карте это расстояние равно 2 см?

Масштаб карты 1:100 000 показывает, во сколько раз расстояние на местности больше, чем соответствующее расстояние на карте. В данном случае, 1 сантиметр на карте соответствует 100 000 сантиметрам в реальности.

Дано, что расстояние между двумя населёнными пунктами на карте составляет 2 см. Чтобы найти реальное расстояние, необходимо умножить расстояние на карте на значение масштаба.

1. Найдём реальное расстояние в сантиметрах:
$2 \text{ см} \times 100\,000 = 200\,000 \text{ см}$

2. Для удобства восприятия переведём сантиметры в метры, а затем в километры.
В одном метре 100 сантиметров. Чтобы перевести сантиметры в метры, разделим полученное значение на 100.
$200\,000 \text{ см} \div 100 = 2\,000 \text{ м}$

В одном километре 1000 метров. Чтобы перевести метры в километры, разделим полученное значение на 1000.
$2\,000 \text{ м} \div 1000 = 2 \text{ км}$

Следовательно, реальное расстояние между двумя населёнными пунктами составляет 2 километра.

Ответ: 2 км.