Страница 129 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Что называют многочленом?

Многочленом (или полиномом) называют алгебраическую сумму одночленов. Одночлены, из которых состоит многочлен, называют его членами.

Чтобы полностью понять это определение, необходимо сначала разобраться с понятием одночлена. Одночлен — это выражение, которое является произведением чисел, переменных и их степеней с натуральными (или нулевым) показателями. Например, выражения $7$, $x$, $-3a^2b$, $0.5y^5$ являются одночленами.

Когда мы складываем или вычитаем несколько таких одночленов, мы получаем многочлен.

Вот несколько примеров многочленов:
- $5x^2 + 2x - 7$. Это многочлен, состоящий из трех членов (его также называют трёхчленом): $5x^2$, $2x$ и $-7$.
- $a^3 - b^3$. Это многочлен, состоящий из двух членов (двучлен): $a^3$ и $-b^3$.
- $12xy - 3x + 5y - 1$. Это многочлен от двух переменных $x$ и $y$, который состоит из четырех членов.
- $8z^4$. Это выражение тоже является многочленом, хотя и состоит всего из одного члена (то есть является одночленом).

В общем виде многочлен стандартного вида от одной переменной $x$ записывается так:
$P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$
где $a_n, a_{n-1}, \dots, a_0$ — это числовые коэффициенты, а $n$ — наивысшая степень переменной, которая называется степенью многочлена (является целым неотрицательным числом).

Ответ: Многочленом называют алгебраическую сумму одночленов.

2. Что называют членами многочлена?

Многочлен — это выражение, которое является алгебраической суммой нескольких одночленов. Одночлен — это произведение чисел, переменных и их натуральных степеней.

Членами многочлена называют те самые одночлены (слагаемые), из которых он состоит. Чтобы определить члены многочлена, его нужно представить в виде суммы, при этом знак, стоящий перед одночленом, является неотъемлемой частью этого члена.

Рассмотрим пример. Пусть дан многочлен:

$5a^3 - 2a^2b + ab^2 - 9$

Этот многочлен можно представить в виде суммы следующих одночленов:

$5a^3 + (-2a^2b) + ab^2 + (-9)$

Таким образом, членами данного многочлена являются одночлены:

• $5a^3$
• $-2a^2b$
• $ab^2$
• $-9$ (свободный член многочлена)

Ответ: Членами многочлена называют одночлены, из алгебраической суммы которых состоит этот многочлен.

3. Как называют многочлен, состоящий из двух членов; трёх членов?

состоящий из двух членов
Многочлен, который представляет собой алгебраическую сумму двух одночленов (членов), называется двучленом. Также используется синонимичный термин бином, происходящий из латинского языка. Название «двучлен» прямо указывает на количество членов — два.
Примерами двучленов являются выражения: $x+y$, $5a^2 - 9b$, $c^3 + 1$. Каждое из них содержит ровно два члена.
Ответ: двучлен (или бином).

трёх членов
Многочлен, состоящий из трёх членов, называется трёхчленом. Аналогично, существует и термин трином. Название «трёхчлен» указывает на то, что в многочлене ровно три члена.
Примерами трёхчленов являются выражения: $x^2 + 2x + 1$, $a+b-c$, $4m^2 - n - 6k^3$.
Ответ: трёхчлен (или трином).

4. Как называют многочлен, состоящий из одного члена?

В алгебре многочленом (или полиномом) называют сумму одночленов. Одночлен (или моном) — это, в свою очередь, выражение, которое является произведением чисел, переменных и их натуральных степеней.

Например, выражения $15$, $y$, $8x^2$, и $-4a^2b^5$ являются одночленами.

Поскольку многочлен — это сумма одночленов, то выражение, состоящее из одного-единственного члена, по определению и будет являться одночленом. Таким образом, любой одночлен — это частный случай многочлена.

Для сравнения, многочлены, состоящие из двух или трех членов, также имеют специальные названия:

• многочлен из двух членов — двучлен (бином), например, $a+b$;
• многочлен из трех членов — трехчлен (трином), например, $x^2 + 2x + 1$.

Ответ: Одночлен (или моном).

называют многочлен, состоящий из одного члена.

5. Перечислить все члены многочлена $3xy^2 - 2x^2y - \frac{1}{2}$.

5.

Многочлен — это алгебраическая сумма одночленов. Эти одночлены и называются членами многочлена. Чтобы перечислить все члены многочлена $3xy^2 - 2x^2y - \frac{1}{2}$, мы можем представить его как сумму, где каждый член отделен знаком сложения.

Исходный многочлен: $3xy^2 - 2x^2y - \frac{1}{2}$

Представим его в виде суммы: $3xy^2 + (-2x^2y) + (-\frac{1}{2})$

Из этой записи видно, что членами многочлена являются следующие одночлены:

• Первый член: $3xy^2$
• Второй член: $-2x^2y$
• Третий член: $-\frac{1}{2}$

Ответ: Члены многочлена: $3xy^2$, $-2x^2y$, $-\frac{1}{2}$.

6.

Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней одночленов, входящих в его состав. Многочлен считается стандартного вида, если все его члены являются одночленами стандартного вида и среди них нет подобных.

Чтобы определить степень многочлена, необходимо:

1. Определить степень каждого члена (одночлена) многочлена. Степень одночлена — это сумма показателей степеней всех переменных, которые в него входят. Степень числового члена (константы) равна нулю.
2. Найти наибольшее значение среди всех полученных степеней. Это значение и будет являться степенью всего многочлена.

Пример: Определим степень многочлена $3xy^2 - 2x^2y - \frac{1}{2}$.

• Степень одночлена $3xy^2$ (т.е. $3x^1y^2$) равна сумме показателей степеней переменных $x$ и $y$: $1 + 2 = 3$.
• Степень одночлена $-2x^2y$ (т.е. $-2x^2y^1$) равна $2 + 1 = 3$.
• Степень члена $-\frac{1}{2}$ (свободный член, константа) равна $0$.

Сравниваем полученные степени: $3$, $3$ и $0$. Наибольшая из них равна $3$. Следовательно, степень многочлена $3xy^2 - 2x^2y - \frac{1}{2}$ равна $3$.

Ответ: Степенью многочлена стандартного вида называется наибольшая из степеней одночленов, из которых этот многочлен состоит.

6. Что называют степенью многочлена?

Степенью многочлена называют наибольшую из степеней одночленов, из которых он состоит, после того как многочлен приведен к стандартному виду. Чтобы полностью понять это определение, разберем его по частям.

1. Одночлен и его степень
Одночлен (или моном) — это выражение, которое является произведением чисел, переменных и их натуральных степеней. Например: `$7x^3$`, `$-5a^2b$`, `$y$`, `$10$`.
Степень одночлена — это сумма показателей степеней всех переменных, входящих в него. Если в одночлене нет переменных (это просто число), его степень считается равной нулю. Например, степень одночлена `$-5a^2b$` (что эквивалентно `$-5a^2b^1$`) равна `$2+1=3$`. Степень одночлена `$y$` (то есть `$y^1$`) равна `$1$`. Степень числа `$10$` равна `$0$`.

2. Стандартный вид многочлена
Многочлен (или полином) — это сумма одночленов. Перед тем как определить степень, многочлен необходимо привести к стандартному виду. Это значит, что нужно сложить все подобные слагаемые (одночлены с одинаковой буквенной частью). Например, многочлен `$4x^2y + 2x - x^2y + 5$` после приведения подобных слагаемых (`$4x^2y - x^2y = 3x^2y$`) принимает стандартный вид: `$3x^2y + 2x + 5$`.

3. Определение степени многочлена
Когда многочлен приведен к стандартному виду, необходимо найти степень каждого входящего в него одночлена. Самая большая из этих степеней и будет являться степенью всего многочлена.

Пример 1: Найдем степень многочлена `$P(x) = 8x^4 - 3x^7 + 2x - 1$`.
Этот многочлен уже записан в стандартном виде. Его члены: `$8x^4$`, `$-3x^7$`, `$2x$`, `$-1$`.
Степени этих членов соответственно равны: `$4$`, `$7$`, `$1$`, `$0$`.
Наибольшая из этих степеней — `$7$`. Следовательно, степень данного многочлена равна `$7$`.

Пример 2: Найдем степень многочлена `$Q(a, b) = a^3b^4 - 9a^5b^2 + 2ab$`.
Сначала найдем степень каждого одночлена:
- степень `$a^3b^4$` равна `$3+4=7$`.
- степень `$-9a^5b^2$` равна `$5+2=7$`.
- степень `$2ab$` равна `$1+1=2$`.
Сравниваем полученные степени: `$7$`, `$7$`, `$2$`. Наибольшая из них — `$7$`. Следовательно, степень многочлена `$Q(a, b)$` равна `$7$`.

Важно отметить, что у нулевого многочлена (то есть многочлена, равного `$0$`) степень не определена.

Ответ: Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов.

1. Записать в стандартном виде одночлен:

1) $2.5a^3b(-2)a^2b^7$;

2) $-\frac{2}{3}x^6yz^5\frac{6}{7}yz^4$.

Чтобы привести одночлен к стандартному виду, необходимо перемножить все числовые множители и поставить их на первое место, а затем перемножить степени с одинаковыми буквенными основаниями.

1) Дано выражение $2,5a^3b(-2)a^2b^7$.

Сначала сгруппируем и перемножим числовые коэффициенты:

$2,5 \cdot (-2) = -5$

Теперь сгруппируем и перемножим степени с одинаковыми основаниями. При умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются ($x^m \cdot x^n = x^{m+n}$):

$a^3 \cdot a^2 = a^{3+2} = a^5$

$b \cdot b^7 = b^1 \cdot b^7 = b^{1+7} = b^8$

Запишем полученный одночлен в стандартном виде, поставив числовой коэффициент на первое место, а переменные в алфавитном порядке:

$-5a^5b^8$

Ответ: $-5a^5b^8$

2) Дано выражение $-\frac{2}{3}x^6yz^5 \frac{6}{7}yz^4$.

Сначала сгруппируем и перемножим числовые коэффициенты:

$-\frac{2}{3} \cdot \frac{6}{7} = -\frac{2 \cdot 6}{3 \cdot 7} = -\frac{12}{21}$

Сократим полученную дробь на 3:

$-\frac{12 \div 3}{21 \div 3} = -\frac{4}{7}$

Теперь сгруппируем и перемножим степени с одинаковыми буквенными основаниями:

Степень с основанием $x$ только одна: $x^6$.

$y \cdot y = y^1 \cdot y^1 = y^{1+1} = y^2$

$z^5 \cdot z^4 = z^{5+4} = z^9$

Запишем полученный одночлен в стандартном виде, поставив числовой коэффициент на первое место, а переменные в алфавитном порядке:

$-\frac{4}{7}x^6y^2z^9$

Ответ: $-\frac{4}{7}x^6y^2z^9$

2. Записать алгебраическую сумму чисел:

1) $-21$, $36$ и $-4$;

2) $47$, $-3$ и $15$.

1) Алгебраическая сумма чисел — это результат их сложения с учётом знаков. Чтобы записать алгебраическую сумму чисел -21, 36 и -4, мы должны их сложить.

Запись суммы выглядит следующим образом:

$(-21) + 36 + (-4)$

Для упрощения это выражение обычно записывают без скобок. Так как прибавление отрицательного числа равносильно вычитанию, мы получаем:

$-21 + 36 - 4$

Теперь вычислим значение этого выражения, выполняя действия по порядку слева направо:

1. Сначала сложим первые два числа: $-21 + 36 = 15$

2. Затем из полученного результата вычтем третье число: $15 - 4 = 11$

Таким образом, значение алгебраической суммы равно 11.

Ответ: $-21 + 36 - 4 = 11$

2) Аналогично, чтобы записать алгебраическую сумму чисел 47, -3 и 15, мы сложим их вместе:

$47 + (-3) + 15$

Упростим выражение, убрав скобки:

$47 - 3 + 15$

Теперь вычислим значение, выполняя действия по порядку:

1. Сначала выполним вычитание: $47 - 3 = 44$

2. Затем к результату прибавим 15: $44 + 15 = 59$

Таким образом, значение алгебраической суммы равно 59.

Ответ: $47 - 3 + 15 = 59$

3. Решить уравнение:

1) $ - \frac{1}{2}x + 3 = 1; $

2) $ 3x - 5 = 5x + 3. $

1) Решим уравнение $ -\frac{1}{2}x+3=1 $.

Это линейное уравнение. Для его решения необходимо изолировать переменную $x$. Сначала перенесем свободный член (число 3) из левой части уравнения в правую, изменив его знак на противоположный.

$ -\frac{1}{2}x = 1 - 3 $

Выполним вычитание в правой части:

$ -\frac{1}{2}x = -2 $

Теперь, чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на -2 (число, обратное коэффициенту $ -\frac{1}{2} $).

$ x = (-2) \cdot (-2) $

$ x = 4 $

Ответ: $x=4$.

2) Решим уравнение $ 3x-5=5x+3 $.

Это также линейное уравнение. Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части уравнения, а числовые (свободные) члены — в правой. При переносе слагаемых из одной части в другую их знаки меняются на противоположные.

$ 3x - 5x = 3 + 5 $

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

$ -2x = 8 $

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на -2.

$ x = \frac{8}{-2} $

$ x = -4 $

Ответ: $x=-4$.

394. Составить многочлен из одночленов:

1) $6x^2$, $7x$ и $9$;

2) $2x^2$, $-11x$ и $3$;

3) $-x^4$, $x^3$ и $-x$;

4) $a^5$, $-a^4$ и $a$;

5) $8a^3$, $4a^2b$, $-2ab^3$ и $b^3$;

6) $4a^3b$, $-2a^2b^2$, $-5ab^3$.

Чтобы составить многочлен из одночленов, необходимо записать их алгебраическую сумму. Алгебраическая сумма — это последовательность слагаемых, соединенных знаками «плюс» или «минус».

1) Даны одночлены $6x^2$, $7x$ и $9$.

Составим их сумму:

$6x^2 + 7x + 9$

Все одночлены в данном выражении имеют разные степени переменной $x$, поэтому подобных членов нет. Многочлен уже записан в стандартном виде, так как его члены расположены в порядке убывания степеней переменной.

Ответ: $6x^2 + 7x + 9$

2) Даны одночлены $2x^2$, $-11x$ и $3$.

Запишем их алгебраическую сумму:

$2x^2 + (-11x) + 3$

Упростим выражение, убрав скобки:

$2x^2 - 11x + 3$

Подобных членов нет, многочлен представлен в стандартном виде.

Ответ: $2x^2 - 11x + 3$

3) Даны одночлены $-x^4$, $x^3$ и $-x$.

Составим их алгебраическую сумму:

$(-x^4) + x^3 + (-x)$

Упростим, раскрыв скобки:

$-x^4 + x^3 - x$

В многочлене нет подобных членов, и он уже записан в стандартном виде (в порядке убывания степеней $x$).

Ответ: $-x^4 + x^3 - x$

4) Даны одночлены $a^5$, $-a^4$ и $a$.

Запишем их сумму:

$a^5 + (-a^4) + a$

Раскроем скобки:

$a^5 - a^4 + a$

Это многочлен в стандартном виде, так как подобных членов нет, и они упорядочены по убыванию степеней переменной $a$.

Ответ: $a^5 - a^4 + a$

5) Даны одночлены $8a^3$, $4a^2b$, $-2ab^3$ и $b^3$.

Составим их алгебраическую сумму:

$8a^3 + 4a^2b + (-2ab^3) + b^3$

Упростим запись:

$8a^3 + 4a^2b - 2ab^3 + b^3$

Подобные члены — это одночлены с одинаковой буквенной частью. В данном случае буквенные части ($a^3$, $a^2b$, $ab^3$, $b^3$) у всех членов разные. Следовательно, подобных членов нет, и дальнейшее упрощение невозможно. Полученное выражение и есть искомый многочлен.

Ответ: $8a^3 + 4a^2b - 2ab^3 + b^3$

6) Даны одночлены $4a^3b$, $-2a^2b^2$ и $-5ab^3$.

Запишем их сумму:

$4a^3b + (-2a^2b^2) + (-5ab^3)$

Раскрыв скобки, получим:

$4a^3b - 2a^2b^2 - 5ab^3$

Буквенные части одночленов ($a^3b$, $a^2b^2$, $ab^3$) различны, поэтому подобных членов нет. Многочлен уже представлен в стандартном виде (члены упорядочены по убыванию степеней переменной $a$).

Ответ: $4a^3b - 2a^2b^2 - 5ab^3$

395. Упростить многочлен, записав каждый его член в стандартном виде, и определить степень многочлена:

1) $12a^2ba - 2abab^2 + 11aba;$

2) $2ab^2 \cdot 4ab - 3a^2 \cdot 8aba - 2abab^2;$

3) $1,5xy^2(-4)xyz - 4mnkm^2nk;$

4) $4cc^2c(-\frac{1}{4})bc + 5xy^2x^2y^2.$

Для каждого многочлена сначала упростим каждый его член, приведя его к стандартному виду, затем приведем подобные члены и определим степень полученного многочлена.

Приведем каждый член многочлена к стандартному виду. Стандартный вид одночлена — это произведение числового коэффициента, стоящего на первом месте, и степеней различных переменных.

• Первый член: $12a^2ba = 12 \cdot (a^2 \cdot a) \cdot b = 12a^3b$. Степень этого члена равна сумме показателей степеней переменных: $3+1=4$.
• Второй член: $-2abab^2 = -2 \cdot (a \cdot a) \cdot (b \cdot b^2) = -2a^2b^3$. Степень этого члена: $2+3=5$.
• Третий член: $11aba = 11 \cdot (a \cdot a) \cdot b = 11a^2b$. Степень этого члена: $2+1=3$.

Запишем многочлен, подставив члены в стандартном виде: $12a^3b - 2a^2b^3 + 11a^2b$. Подобных членов (членов с одинаковой буквенной частью) в этом многочлене нет.

Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов. Степени членов равны 4, 5 и 3. Наибольшая из них — 5.

Ответ: Упрощенный многочлен: $12a^3b - 2a^2b^3 + 11a^2b$. Степень многочлена: 5.

Приведем каждый член к стандартному виду.

• Первый член: $2ab^2 \cdot 4ab = (2 \cdot 4) \cdot (a \cdot a) \cdot (b^2 \cdot b) = 8a^2b^3$. Степень члена: $2+3=5$.
• Второй член: $-3a^2 \cdot 8aba = -(3 \cdot 8) \cdot (a^2 \cdot a \cdot a) \cdot b = -24a^4b$. Степень члена: $4+1=5$.
• Третий член: $-2abab^2 = -2 \cdot (a \cdot a) \cdot (b \cdot b^2) = -2a^2b^3$. Степень члена: $2+3=5$.

Многочлен после приведения членов к стандартному виду: $8a^2b^3 - 24a^4b - 2a^2b^3$. Теперь приведем подобные члены. Члены $8a^2b^3$ и $-2a^2b^3$ являются подобными, так как имеют одинаковую буквенную часть $a^2b^3$.

$8a^2b^3 - 2a^2b^3 = (8-2)a^2b^3 = 6a^2b^3$.

Таким образом, упрощенный многочлен имеет вид: $6a^2b^3 - 24a^4b$. Степени членов упрощенного многочлена ($6a^2b^3$ и $-24a^4b$) равны 5. Следовательно, степень всего многочлена — 5.

Ответ: Упрощенный многочлен: $6a^2b^3 - 24a^4b$. Степень многочлена: 5.

Приведем каждый член к стандартному виду.

• Первый член: $1,5xy^2(-4)xyz = (1,5 \cdot (-4)) \cdot (x \cdot x) \cdot (y^2 \cdot y) \cdot z = -6x^2y^3z$. Степень члена: $2+3+1=6$.
• Второй член: $-4mnkm^2nk = -4 \cdot (m \cdot m^2) \cdot (n \cdot n) \cdot (k \cdot k) = -4m^3n^2k^2$. Степень члена: $3+2+2=7$.

Многочлен в стандартном виде: $-6x^2y^3z - 4m^3n^2k^2$. Подобных членов нет, так как буквенные части одночленов различны.

Определим степень многочлена. Степени его членов равны 6 и 7. Наибольшая степень — 7.

Ответ: Упрощенный многочлен: $-6x^2y^3z - 4m^3n^2k^2$. Степень многочлена: 7.

Приведем каждый член к стандартному виду.

• Первый член: $4cc^2c(-\frac{1}{4})bc = (4 \cdot (-\frac{1}{4})) \cdot b \cdot (c \cdot c^2 \cdot c \cdot c) = -1 \cdot b \cdot c^{1+2+1+1} = -bc^5$. Степень члена: $1+5=6$.
• Второй член: $5xy^2xy^2 = 5 \cdot (x \cdot x) \cdot (y^2 \cdot y^2) = 5x^{1+1}y^{2+2} = 5x^2y^4$. Степень члена: $2+4=6$.

Многочлен в стандартном виде: $-bc^5 + 5x^2y^4$. Подобных членов нет, так как буквенные части различны. Для удобства можно записать многочлен, начиная с положительного члена: $5x^2y^4 - bc^5$.

Определим степень многочлена. Степени обоих его членов ($5x^2y^4$ и $-bc^5$) равны 6. Следовательно, степень многочлена — 6.

Ответ: Упрощенный многочлен: $5x^2y^4 - bc^5$. Степень многочлена: 6.