Номер 6, страница 129 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 20. Многочлены. Глава 4. Одночлены и многочлены - номер 6, страница 129.

Условие.

6. Что называют степенью многочлена?

Решение 1.

Решение 5.

Степенью многочлена называют наибольшую из степеней одночленов, из которых он состоит, после того как многочлен приведен к стандартному виду. Чтобы полностью понять это определение, разберем его по частям.

1. Одночлен и его степень
Одночлен (или моном) — это выражение, которое является произведением чисел, переменных и их натуральных степеней. Например: `$7x^3$`, `$-5a^2b$`, `$y$`, `$10$`.
Степень одночлена — это сумма показателей степеней всех переменных, входящих в него. Если в одночлене нет переменных (это просто число), его степень считается равной нулю. Например, степень одночлена `$-5a^2b$` (что эквивалентно `$-5a^2b^1$`) равна `$2+1=3$`. Степень одночлена `$y$` (то есть `$y^1$`) равна `$1$`. Степень числа `$10$` равна `$0$`.

2. Стандартный вид многочлена
Многочлен (или полином) — это сумма одночленов. Перед тем как определить степень, многочлен необходимо привести к стандартному виду. Это значит, что нужно сложить все подобные слагаемые (одночлены с одинаковой буквенной частью). Например, многочлен `$4x^2y + 2x - x^2y + 5$` после приведения подобных слагаемых (`$4x^2y - x^2y = 3x^2y$`) принимает стандартный вид: `$3x^2y + 2x + 5$`.

3. Определение степени многочлена
Когда многочлен приведен к стандартному виду, необходимо найти степень каждого входящего в него одночлена. Самая большая из этих степеней и будет являться степенью всего многочлена.

Пример 1: Найдем степень многочлена `$P(x) = 8x^4 - 3x^7 + 2x - 1$`.
Этот многочлен уже записан в стандартном виде. Его члены: `$8x^4$`, `$-3x^7$`, `$2x$`, `$-1$`.
Степени этих членов соответственно равны: `$4$`, `$7$`, `$1$`, `$0$`.
Наибольшая из этих степеней — `$7$`. Следовательно, степень данного многочлена равна `$7$`.

Пример 2: Найдем степень многочлена `$Q(a, b) = a^3b^4 - 9a^5b^2 + 2ab$`.
Сначала найдем степень каждого одночлена:
- степень `$a^3b^4$` равна `$3+4=7$`.
- степень `$-9a^5b^2$` равна `$5+2=7$`.
- степень `$2ab$` равна `$1+1=2$`.
Сравниваем полученные степени: `$7$`, `$7$`, `$2$`. Наибольшая из них — `$7$`. Следовательно, степень многочлена `$Q(a, b)$` равна `$7$`.

Важно отметить, что у нулевого многочлена (то есть многочлена, равного `$0$`) степень не определена.

Ответ: Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов.