Номер 6, страница 129 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

6. Что называют степенью многочлена?

Степенью многочлена называют наибольшую из степеней одночленов, из которых он состоит, после того как многочлен приведен к стандартному виду. Чтобы полностью понять это определение, разберем его по частям.

1. Одночлен и его степень
Одночлен (или моном) — это выражение, которое является произведением чисел, переменных и их натуральных степеней. Например: $7x^3$, $-5a^2b$, $y$, $10$.
Степень одночлена — это сумма показателей степеней всех переменных, входящих в него. Если в одночлене нет переменных (это просто число), его степень считается равной нулю. Например, степень одночлена $-5a^2b$ (что эквивалентно $-5a^2b^1$) равна $2+1=3$. Степень одночлена $y$ (то есть $y^1$) равна $1$. Степень числа $10$ равна $0$.

2. Стандартный вид многочлена
Многочлен (или полином) — это сумма одночленов. Перед тем как определить степень, многочлен необходимо привести к стандартному виду. Это значит, что нужно сложить все подобные слагаемые (одночлены с одинаковой буквенной частью). Например, многочлен $4x^2y + 2x - x^2y + 5$ после приведения подобных слагаемых ($4x^2y - x^2y = 3x^2y$) принимает стандартный вид: $3x^2y + 2x + 5$.

3. Определение степени многочлена
Когда многочлен приведен к стандартному виду, необходимо найти степень каждого входящего в него одночлена. Самая большая из этих степеней и будет являться степенью всего многочлена.

Пример 1: Найдем степень многочлена $P(x) = 8x^4 - 3x^7 + 2x - 1$.
Этот многочлен уже записан в стандартном виде. Его члены: $8x^4$, $-3x^7$, $2x$, $-1$.
Степени этих членов соответственно равны: $4$, $7$, $1$, $0$.
Наибольшая из этих степеней — $7$. Следовательно, степень данного многочлена равна $7$.

Пример 2: Найдем степень многочлена $Q(a, b) = a^3b^4 - 9a^5b^2 + 2ab$.
Сначала найдем степень каждого одночлена:
- степень $a^3b^4$ равна $3+4=7$.
- степень $-9a^5b^2$ равна $5+2=7$.
- степень $2ab$ равна $1+1=2$.
Сравниваем полученные степени: $7$, $7$, $2$. Наибольшая из них — $7$. Следовательно, степень многочлена $Q(a, b)$ равна $7$.

Важно отметить, что у нулевого многочлена (то есть многочлена, равного $0$) степень не определена.

Ответ: Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов.