Номер 395, страница 129 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

395. Упростить многочлен, записав каждый его член в стандартном виде, и определить степень многочлена:

1) $12a^2ba - 2abab^2 + 11aba;$

2) $2ab^2 \cdot 4ab - 3a^2 \cdot 8aba - 2abab^2;$

3) $1,5xy^2(-4)xyz - 4mnkm^2nk;$

4) $4cc^2c(-\frac{1}{4})bc + 5xy^2x^2y^2.$

Для каждого многочлена сначала упростим каждый его член, приведя его к стандартному виду, затем приведем подобные члены и определим степень полученного многочлена.

Приведем каждый член многочлена к стандартному виду. Стандартный вид одночлена — это произведение числового коэффициента, стоящего на первом месте, и степеней различных переменных.

• Первый член: $12a^2ba = 12 \cdot (a^2 \cdot a) \cdot b = 12a^3b$. Степень этого члена равна сумме показателей степеней переменных: $3+1=4$.
• Второй член: $-2abab^2 = -2 \cdot (a \cdot a) \cdot (b \cdot b^2) = -2a^2b^3$. Степень этого члена: $2+3=5$.
• Третий член: $11aba = 11 \cdot (a \cdot a) \cdot b = 11a^2b$. Степень этого члена: $2+1=3$.

Запишем многочлен, подставив члены в стандартном виде: $12a^3b - 2a^2b^3 + 11a^2b$. Подобных членов (членов с одинаковой буквенной частью) в этом многочлене нет.

Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов. Степени членов равны 4, 5 и 3. Наибольшая из них — 5.

Ответ: Упрощенный многочлен: $12a^3b - 2a^2b^3 + 11a^2b$. Степень многочлена: 5.

Приведем каждый член к стандартному виду.

• Первый член: $2ab^2 \cdot 4ab = (2 \cdot 4) \cdot (a \cdot a) \cdot (b^2 \cdot b) = 8a^2b^3$. Степень члена: $2+3=5$.
• Второй член: $-3a^2 \cdot 8aba = -(3 \cdot 8) \cdot (a^2 \cdot a \cdot a) \cdot b = -24a^4b$. Степень члена: $4+1=5$.
• Третий член: $-2abab^2 = -2 \cdot (a \cdot a) \cdot (b \cdot b^2) = -2a^2b^3$. Степень члена: $2+3=5$.

Многочлен после приведения членов к стандартному виду: $8a^2b^3 - 24a^4b - 2a^2b^3$. Теперь приведем подобные члены. Члены $8a^2b^3$ и $-2a^2b^3$ являются подобными, так как имеют одинаковую буквенную часть $a^2b^3$.

$8a^2b^3 - 2a^2b^3 = (8-2)a^2b^3 = 6a^2b^3$.

Таким образом, упрощенный многочлен имеет вид: $6a^2b^3 - 24a^4b$. Степени членов упрощенного многочлена ($6a^2b^3$ и $-24a^4b$) равны 5. Следовательно, степень всего многочлена — 5.

Ответ: Упрощенный многочлен: $6a^2b^3 - 24a^4b$. Степень многочлена: 5.

Приведем каждый член к стандартному виду.

• Первый член: $1,5xy^2(-4)xyz = (1,5 \cdot (-4)) \cdot (x \cdot x) \cdot (y^2 \cdot y) \cdot z = -6x^2y^3z$. Степень члена: $2+3+1=6$.
• Второй член: $-4mnkm^2nk = -4 \cdot (m \cdot m^2) \cdot (n \cdot n) \cdot (k \cdot k) = -4m^3n^2k^2$. Степень члена: $3+2+2=7$.

Многочлен в стандартном виде: $-6x^2y^3z - 4m^3n^2k^2$. Подобных членов нет, так как буквенные части одночленов различны.

Определим степень многочлена. Степени его членов равны 6 и 7. Наибольшая степень — 7.

Ответ: Упрощенный многочлен: $-6x^2y^3z - 4m^3n^2k^2$. Степень многочлена: 7.

Приведем каждый член к стандартному виду.

• Первый член: $4cc^2c(-\frac{1}{4})bc = (4 \cdot (-\frac{1}{4})) \cdot b \cdot (c \cdot c^2 \cdot c \cdot c) = -1 \cdot b \cdot c^{1+2+1+1} = -bc^5$. Степень члена: $1+5=6$.
• Второй член: $5xy^2xy^2 = 5 \cdot (x \cdot x) \cdot (y^2 \cdot y^2) = 5x^{1+1}y^{2+2} = 5x^2y^4$. Степень члена: $2+4=6$.

Многочлен в стандартном виде: $-bc^5 + 5x^2y^4$. Подобных членов нет, так как буквенные части различны. Для удобства можно записать многочлен, начиная с положительного члена: $5x^2y^4 - bc^5$.

Определим степень многочлена. Степени обоих его членов ($5x^2y^4$ и $-bc^5$) равны 6. Следовательно, степень многочлена — 6.

Ответ: Упрощенный многочлен: $5x^2y^4 - bc^5$. Степень многочлена: 6.