Номер 400, страница 130 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

400. Может ли при $a > 0$ и $b > 0$ значение многочлена:

1) $2ab + 3b^2 + 1$, $a^2 - b^2$ быть числом отрицательным;

2) $b^2 - 4a^2$, $ab - a^2b^2$ быть числом положительным?

1)

Рассмотрим каждый многочлен отдельно при заданных условиях $a > 0$ и $b > 0$.

Многочлен $2ab + 3b^2 + 1$
Поскольку $a > 0$ и $b > 0$, то каждый член этого многочлена является положительным числом:

• $2ab > 0$ (произведение положительных чисел)
• $3b^2 > 0$ (так как $b^2 > 0$)
• $1 > 0$

Сумма трех положительных слагаемых всегда будет положительным числом. Следовательно, $2ab + 3b^2 + 1 > 0$ при любых $a > 0$ и $b > 0$. Таким образом, значение этого многочлена не может быть отрицательным.

Многочлен $a^2 - b^2$
Чтобы значение этого многочлена было отрицательным, должно выполняться неравенство $a^2 - b^2 < 0$.
Это неравенство равносильно неравенству $a^2 < b^2$.
Так как $a$ и $b$ — положительные числа, то извлекая квадратный корень из обеих частей, мы получаем $a < b$.
Мы можем подобрать такие положительные значения $a$ и $b$, которые удовлетворяют этому условию. Например, пусть $a = 1$ и $b = 2$.
При этих значениях многочлен равен: $1^2 - 2^2 = 1 - 4 = -3$.
Значение $-3$ является отрицательным. Таким образом, значение этого многочлена может быть отрицательным.

Ответ: значение многочлена $2ab+3b^2+1$ не может быть отрицательным; значение многочлена $a^2-b^2$ может быть отрицательным.

2)

Рассмотрим каждый многочлен отдельно при заданных условиях $a > 0$ и $b > 0$.

Многочлен $b^2 - 4a^2$
Чтобы значение этого многочлена было положительным, должно выполняться неравенство $b^2 - 4a^2 > 0$.
Это неравенство можно переписать как $b^2 > 4a^2$.
Так как $a$ и $b$ — положительные числа, то извлекая квадратный корень из обеих частей, мы получаем $b > 2a$.
Мы можем подобрать такие положительные значения $a$ и $b$, которые удовлетворяют этому условию. Например, пусть $a = 1$ и $b = 3$.
При этих значениях многочлен равен: $3^2 - 4 \cdot 1^2 = 9 - 4 = 5$.
Значение $5$ является положительным. Таким образом, значение этого многочлена может быть положительным.

Многочлен $ab - a^2b^2$
Чтобы значение этого многочлена было положительным, должно выполняться неравенство $ab - a^2b^2 > 0$.
Вынесем общий множитель $ab$ за скобки: $ab(1 - ab) > 0$.
Поскольку $a > 0$ и $b > 0$, их произведение $ab$ также положительно. Чтобы всё выражение было положительным, второй множитель $(1 - ab)$ также должен быть положительным.
$1 - ab > 0$, что равносильно $ab < 1$.
Мы можем подобрать такие положительные значения $a$ и $b$, которые удовлетворяют этому условию. Например, пусть $a = 0.5$ и $b = 1$.
При этих значениях многочлен равен: $(0.5)(1) - (0.5)^2(1)^2 = 0.5 - 0.25 = 0.25$.
Значение $0.25$ является положительным. Таким образом, значение этого многочлена может быть положительным.

Ответ: значение многочлена $b^2-4a^2$ может быть положительным; значение многочлена $ab-a^2b^2$ может быть положительным.