Страница 130 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

396. Найти числовое значение многочлена:

1) $2a^4 - ab + 2b^2$ при $a=-1, b=-0,5;

2) $x^2 + 2xy + y^2$ при $x=1,2, y=-1,2.

1) Чтобы найти числовое значение многочлена $2a^4 - ab + 2b^2$ при $a = -1$ и $b = -0,5$, подставим данные значения переменных в выражение:

$2 \cdot (-1)^4 - (-1) \cdot (-0,5) + 2 \cdot (-0,5)^2$

Вычислим значение каждого члена многочлена по порядку, соблюдая порядок действий:

1. Возведение в степень: $(-1)^4 = 1$ (так как отрицательное число в четной степени положительно) и $(-0,5)^2 = 0,25$.

2. Умножение: $2 \cdot 1 = 2$; $(-1) \cdot (-0,5) = 0,5$; $2 \cdot 0,25 = 0,5$.

Теперь подставим вычисленные значения обратно в выражение:

$2 - 0,5 + 0,5$

3. Сложение и вычитание: $2 - 0,5 + 0,5 = 1,5 + 0,5 = 2$.

Ответ: 2

2) Чтобы найти числовое значение многочлена $x^2 + 2xy + y^2$ при $x = 1,2$ и $y = -1,2$, можно заметить, что данное выражение является формулой сокращенного умножения — квадратом суммы: $x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$.

Использование этой формулы значительно упрощает вычисления. Подставим значения $x$ и $y$ в свернутое выражение:

$(x+y)^2 = (1,2 + (-1,2))^2$

Сначала выполним действие в скобках:

$1,2 - 1,2 = 0$

Затем возведем результат в квадрат:

$0^2 = 0$

Таким образом, значение многочлена равно 0.

Для проверки можно выполнить и прямую подстановку в исходное выражение:

$(1,2)^2 + 2 \cdot (1,2) \cdot (-1,2) + (-1,2)^2 = 1,44 - 2,88 + 1,44 = 2,88 - 2,88 = 0$.

Результаты совпадают.

Ответ: 0

Упростить многочлен и найти его значение (397–398):

397. 1) $-aba + a^2b \cdot 2ab + 4$ при $a=2, b=\frac{1}{2};$

2) $b^2 \cdot 5ab - 5a \cdot 5a^2b$ при $a=\frac{1}{5}, b=-2.$

1) Сначала упростим данный многочлен. Для этого приведем каждый его член к стандартному виду.

Исходное выражение: $ -aba + a^2b \cdot 2ab + 4 $.

Упростим первый член: $ -aba = -a^{1+1}b = -a^2b $.

Упростим второй член: $ a^2b \cdot 2ab = 2 \cdot a^{2+1} \cdot b^{1+1} = 2a^3b^2 $.

Третий член — это число 4, он уже в стандартном виде.

Таким образом, упрощенный многочлен имеет вид: $ -a^2b + 2a^3b^2 + 4 $.

Теперь подставим в него заданные значения $ a = 2 $ и $ b = \frac{1}{2} $.

Вычисляем значение выражения:

$ -a^2b + 2a^3b^2 + 4 = -(2)^2 \cdot (\frac{1}{2}) + 2 \cdot (2)^3 \cdot (\frac{1}{2})^2 + 4 $

$ = -4 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot 8 \cdot \frac{1}{4} + 4 $

$ = -2 + \frac{16}{4} + 4 $

$ = -2 + 4 + 4 = 6 $

Ответ: 6

2) Сначала упростим данный многочлен, приведя его члены к стандартному виду.

Исходное выражение: $ b^2 \cdot 5ab - 5a \cdot 5a^2b $.

Упростим первый член: $ b^2 \cdot 5ab = 5 \cdot a \cdot b^{2+1} = 5ab^3 $.

Упростим второй член: $ 5a \cdot 5a^2b = (5 \cdot 5) \cdot a^{1+2} \cdot b = 25a^3b $.

Таким образом, упрощенный многочлен имеет вид: $ 5ab^3 - 25a^3b $.

Теперь подставим в него заданные значения $ a = \frac{1}{5} $ и $ b = -2 $.

Вычисляем значение выражения:

$ 5ab^3 - 25a^3b = 5 \cdot (\frac{1}{5}) \cdot (-2)^3 - 25 \cdot (\frac{1}{5})^3 \cdot (-2) $

$ = 1 \cdot (-8) - 25 \cdot \frac{1}{125} \cdot (-2) $

$ = -8 - \frac{25}{125} \cdot (-2) $

$ = -8 - \frac{1}{5} \cdot (-2) $

$ = -8 - (-\frac{2}{5}) = -8 + \frac{2}{5} $

$ = -\frac{40}{5} + \frac{2}{5} = -\frac{38}{5} = -7,6 $

Ответ: $ -\frac{38}{5} $

398. 1) $x^2yxy - xy^2yxy + xy$ при $x=-3, y=2;$

2) $xy^2x^2y - xyxy$ при $x=-2, y=3.$

1) $x^2yxy - xy^2xy + xy$ при $x=-3, y=2$

Сначала упростим данное выражение, приведя одночлены к стандартному виду. Для этого сгруппируем переменные и сложим их степени:

$x^2yxy - xy^2xy + xy = (x^2 \cdot x) \cdot (y \cdot y) - (x \cdot x) \cdot (y^2 \cdot y) + xy = x^3y^2 - x^2y^3 + xy$

Теперь подставим в упрощенное выражение числовые значения $x=-3$ и $y=2$:

$(-3)^3 \cdot 2^2 - (-3)^2 \cdot 2^3 + (-3) \cdot 2$

Выполним вычисления по порядку:

$(-27) \cdot 4 - 9 \cdot 8 + (-6)$

$-108 - 72 - 6$

$-180 - 6 = -186$

Ответ: -186

2) $xy^2x^2y - xyxy$ при $x=-2, y=3$

Сначала упростим выражение, приведя одночлены к стандартному виду:

$xy^2x^2y - xyxy = (x \cdot x^2) \cdot (y^2 \cdot y) - (x \cdot x) \cdot (y \cdot y) = x^3y^3 - x^2y^2$

Теперь подставим в упрощенное выражение числовые значения $x=-2$ и $y=3$:

$(-2)^3 \cdot 3^3 - (-2)^2 \cdot 3^2$

Выполним вычисления:

$(-8) \cdot 27 - 4 \cdot 9$

$-216 - 36$

$-252$

Ответ: -252

399. При каком значении x значение многочлена равно 1:

$-0.2x \cdot 3x + 7x \cdot 1 \frac{3}{7} + 0.1x^2 \cdot 6 - 2x$?

Чтобы найти значение x, при котором значение многочлена равно 1, необходимо составить уравнение, приравняв выражение к 1, а затем решить его.

Исходный многочлен: $-0,2x \cdot 3x + 7x \cdot 1\frac{3}{7} + 0,1x^2 \cdot 6 - 2x$.

Приравняем его к 1:

$-0,2x \cdot 3x + 7x \cdot 1\frac{3}{7} + 0,1x^2 \cdot 6 - 2x = 1$

Далее, упростим левую часть уравнения, выполнив действия по порядку.

1. Упростим каждый член многочлена:

$-0,2x \cdot 3x = -0,6x^2$

Для второго члена преобразуем смешанную дробь $1\frac{3}{7}$ в неправильную: $1\frac{3}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{10}{7}$.

$7x \cdot 1\frac{3}{7} = 7x \cdot \frac{10}{7} = \frac{70x}{7} = 10x$

$0,1x^2 \cdot 6 = 0,6x^2$

2. Подставим упрощенные значения обратно в уравнение:

$-0,6x^2 + 10x + 0,6x^2 - 2x = 1$

3. Приведем подобные слагаемые. Слагаемые с $x^2$ взаимно уничтожаются, так как их коэффициенты противоположны ($-0,6$ и $0,6$).

$(-0,6x^2 + 0,6x^2) + (10x - 2x) = 1$

$0 + 8x = 1$

$8x = 1$

4. Найдем x, разделив обе части уравнения на 8:

$x = \frac{1}{8}$

Преобразуем обыкновенную дробь в десятичную:

$x = 0,125$

Ответ: $0,125$.

400. Может ли при $a > 0$ и $b > 0$ значение многочлена:

1) $2ab + 3b^2 + 1$, $a^2 - b^2$ быть числом отрицательным;

2) $b^2 - 4a^2$, $ab - a^2b^2$ быть числом положительным?

1)

Рассмотрим каждый многочлен отдельно при заданных условиях $a > 0$ и $b > 0$.

Многочлен $2ab + 3b^2 + 1$
Поскольку $a > 0$ и $b > 0$, то каждый член этого многочлена является положительным числом:

• $2ab > 0$ (произведение положительных чисел)
• $3b^2 > 0$ (так как $b^2 > 0$)
• $1 > 0$

Сумма трех положительных слагаемых всегда будет положительным числом. Следовательно, $2ab + 3b^2 + 1 > 0$ при любых $a > 0$ и $b > 0$. Таким образом, значение этого многочлена не может быть отрицательным.

Многочлен $a^2 - b^2$
Чтобы значение этого многочлена было отрицательным, должно выполняться неравенство $a^2 - b^2 < 0$.
Это неравенство равносильно неравенству $a^2 < b^2$.
Так как $a$ и $b$ — положительные числа, то извлекая квадратный корень из обеих частей, мы получаем $a < b$.
Мы можем подобрать такие положительные значения $a$ и $b$, которые удовлетворяют этому условию. Например, пусть $a = 1$ и $b = 2$.
При этих значениях многочлен равен: $1^2 - 2^2 = 1 - 4 = -3$.
Значение $-3$ является отрицательным. Таким образом, значение этого многочлена может быть отрицательным.

Ответ: значение многочлена $2ab+3b^2+1$ не может быть отрицательным; значение многочлена $a^2-b^2$ может быть отрицательным.

2)

Рассмотрим каждый многочлен отдельно при заданных условиях $a > 0$ и $b > 0$.

Многочлен $b^2 - 4a^2$
Чтобы значение этого многочлена было положительным, должно выполняться неравенство $b^2 - 4a^2 > 0$.
Это неравенство можно переписать как $b^2 > 4a^2$.
Так как $a$ и $b$ — положительные числа, то извлекая квадратный корень из обеих частей, мы получаем $b > 2a$.
Мы можем подобрать такие положительные значения $a$ и $b$, которые удовлетворяют этому условию. Например, пусть $a = 1$ и $b = 3$.
При этих значениях многочлен равен: $3^2 - 4 \cdot 1^2 = 9 - 4 = 5$.
Значение $5$ является положительным. Таким образом, значение этого многочлена может быть положительным.

Многочлен $ab - a^2b^2$
Чтобы значение этого многочлена было положительным, должно выполняться неравенство $ab - a^2b^2 > 0$.
Вынесем общий множитель $ab$ за скобки: $ab(1 - ab) > 0$.
Поскольку $a > 0$ и $b > 0$, их произведение $ab$ также положительно. Чтобы всё выражение было положительным, второй множитель $(1 - ab)$ также должен быть положительным.
$1 - ab > 0$, что равносильно $ab < 1$.
Мы можем подобрать такие положительные значения $a$ и $b$, которые удовлетворяют этому условию. Например, пусть $a = 0.5$ и $b = 1$.
При этих значениях многочлен равен: $(0.5)(1) - (0.5)^2(1)^2 = 0.5 - 0.25 = 0.25$.
Значение $0.25$ является положительным. Таким образом, значение этого многочлена может быть положительным.

Ответ: значение многочлена $b^2-4a^2$ может быть положительным; значение многочлена $ab-a^2b^2$ может быть положительным.

401. На учебно-опытном участке собрано 1410 кг фруктов, причём яблок собрано в 5 раз больше, чем груш, и на 350 кг больше, чем слив. Сколько килограммов каждого вида фруктов собрано на этом участке?

Для решения этой задачи введем переменную и составим уравнение. Пусть масса собранных груш равна $x$ кг.

Исходя из условия, масса собранных яблок в 5 раз больше массы груш, следовательно, масса яблок составляет $5x$ кг.

Также нам известно, что яблок собрали на 350 кг больше, чем слив. Это значит, что масса слив на 350 кг меньше массы яблок. Таким образом, масса слив равна $(5x - 350)$ кг.

Общая масса всех собранных фруктов составляет 1410 кг. Мы можем составить уравнение, суммируя массу яблок, груш и слив:

$5x + x + (5x - 350) = 1410$

Теперь приступим к решению уравнения:

1. Скомбинируем слагаемые с переменной $x$:

$11x - 350 = 1410$

2. Перенесем число 350 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$11x = 1410 + 350$

$11x = 1760$

3. Найдем значение $x$, разделив обе части уравнения на 11:

$x = 1760 \div 11$

$x = 160$

Итак, масса собранных груш составляет 160 кг.

Теперь, когда мы знаем массу груш, мы можем найти массу остальных фруктов:

Масса яблок: $5x = 5 \cdot 160 = 800$ кг.

Масса слив: $5x - 350 = 800 - 350 = 450$ кг.

Проверим, совпадает ли общая масса с данными в условии: $800 \text{ кг (яблоки)} + 160 \text{ кг (груши)} + 450 \text{ кг (сливы)} = 1410 \text{ кг}$. Все верно.

Ответ: было собрано 800 кг яблок, 160 кг груш и 450 кг слив.