Номер 3, страница 133 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

3. Как привести многочлен к стандартному виду?

Чтобы привести многочлен к стандартному виду, необходимо выполнить последовательность действий. Стандартный вид многочлена — это такая его форма, в которой все его члены являются одночленами стандартного вида, среди них нет подобных, и они записаны в порядке убывания их степеней.

Алгоритм приведения многочлена к стандартному виду состоит из трех шагов.

Шаг 1. Приведение каждого члена многочлена к стандартному виду

Каждый член многочлена (одночлен) нужно представить в стандартном виде. Это означает, что числовой множитель (коэффициент) должен стоять на первом месте, а за ним — переменные, расположенные в алфавитном порядке, каждая в соответствующей степени.
Например, член многочлена $3a \cdot 5b^2a^3$ приводится к стандартному виду следующим образом:
- Перемножаются числовые коэффициенты: $3 \cdot 5 = 15$.
- Перемножаются степени с одинаковыми основаниями: $a \cdot a^3 = a^{1+3} = a^4$.
- Результат записывается в виде одночлена стандартного вида: $15a^4b^2$.

Шаг 2. Приведение подобных членов

Подобные члены — это одночлены, которые имеют одинаковую буквенную часть (например, $7x^2y$ и $-3x^2y$). Чтобы привести подобные члены, нужно сложить их числовые коэффициенты, а буквенную часть оставить без изменений.
Например, в многочлене $7x^2y + 2xy - 3x^2y$ приведем подобные члены:
- Находим подобные члены: $7x^2y$ и $-3x^2y$.
- Складываем их коэффициенты: $7 - 3 = 4$.
- Получаем результат: $4x^2y$.
- Многочлен после приведения подобных членов: $4x^2y + 2xy$.

Шаг 3. Расположение членов в порядке убывания степеней

После того как все подобные члены приведены, оставшиеся члены многочлена нужно расположить в порядке убывания их степеней. Степень одночлена — это сумма показателей степеней всех входящих в него переменных.
Например, многочлен $6b^3 + 2a^4b^2 - 9$ нужно упорядочить.
- Определяем степень каждого члена: степень $2a^4b^2$ равна $4+2=6$; степень $6b^3$ равна $3$; степень $-9$ равна $0$.
- Располагаем члены в порядке убывания степеней (от $6$ к $0$): $2a^4b^2 + 6b^3 - 9$.

Общий пример

Приведем к стандартному виду многочлен $P(x, y) = 2x(3xy) - 5y^2 + 4x^2y - 7xy^2 + 3y^2 - x^2y$.

1. Приводим члены к стандартному виду:
$2x(3xy) = (2 \cdot 3) \cdot (x \cdot x) \cdot y = 6x^2y$.
Многочлен принимает вид: $6x^2y - 5y^2 + 4x^2y - 7xy^2 + 3y^2 - x^2y$.

2. Приводим подобные члены:
Группируем подобные: $(6x^2y + 4x^2y - x^2y) + (-5y^2 + 3y^2) - 7xy^2$.
Складываем коэффициенты:
$x^2y: 6 + 4 - 1 = 9 \implies 9x^2y$.
$y^2: -5 + 3 = -2 \implies -2y^2$.
Получаем: $9x^2y - 2y^2 - 7xy^2$.

3. Располагаем члены по убыванию степеней:
Степень $9x^2y$ равна $2+1=3$.
Степень $-7xy^2$ равна $1+2=3$.
Степень $-2y^2$ равна $2$.
Члены с одинаковой степенью $3$ ($9x^2y$ и $-7xy^2$) располагаем в лексикографическом порядке (по убыванию степени переменной $x$).
Итоговый стандартный вид: $9x^2y - 7xy^2 - 2y^2$.

Ответ: Чтобы привести многочлен к стандартному виду, нужно выполнить три шага:
1. Привести все его члены (одночлены) к стандартному виду.
2. Привести подобные члены (сложить или вычесть одночлены с одинаковой буквенной частью).
3. Расположить полученные члены в порядке убывания их степеней.