Номер 393, страница 126 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

393. При каком значении n верно равенство:

1) $(2a)^n = 32a^5;$

2) $(-\frac{1}{3}x^2y)^n = -\frac{1}{27}x^6y^3;$

3) $(0.2y^2)^n \cdot 100 = 4y^4;$

4) $(3\frac{1}{3}m^4)^n \cdot 0.001 = \frac{1}{27}m^{12};$

5) $(0.3ab^3)^n \cdot \frac{1}{0.09} = a^2b^6;$

6) $(-\frac{1}{2}b^2c)^n = \frac{1}{64}b^{12}c^6?$`

Для нахождения значения $n$ в каждом равенстве мы будем использовать свойства степеней: $(ab)^n = a^n b^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$. Мы преобразуем левую часть уравнения так, чтобы можно было сравнить показатели степеней и коэффициенты с правой частью уравнения.

1) Дано равенство $(2a)^n = 32a^5$.
Раскроем скобки в левой части, используя свойство степени произведения: $(2a)^n = 2^n a^n$.
Теперь равенство выглядит так: $2^n a^n = 32a^5$.
Чтобы это равенство было верным, необходимо, чтобы коэффициенты и степени при переменной $a$ в обеих частях были равны. Это дает нам два уравнения:
1) $2^n = 32$
2) $a^n = a^5$
Из второго уравнения сразу следует, что $n=5$. Проверим, удовлетворяет ли это значение первому уравнению: $2^5 = 32$. Это верно.
Ответ: $n=5$.

2) Дано равенство $(-\frac{1}{3}x^2y)^n = -\frac{1}{27}x^6y^3$.
Раскроем скобки в левой части: $(-\frac{1}{3}x^2y)^n = (-\frac{1}{3})^n (x^2)^n y^n = (-\frac{1}{3})^n x^{2n} y^n$.
Приравниваем полученное выражение к правой части: $(-\frac{1}{3})^n x^{2n} y^n = -\frac{1}{27}x^6y^3$.
Сравниваем коэффициенты и степени при каждой переменной:
1) $(-\frac{1}{3})^n = -\frac{1}{27}$
2) $x^{2n} = x^6 \Rightarrow 2n = 6$
3) $y^n = y^3 \Rightarrow n = 3$
Из второго и третьего уравнений находим, что $n=3$. Подставим это значение в первое уравнение для проверки: $(-\frac{1}{3})^3 = -(\frac{1}{3})^3 = -\frac{1}{27}$. Это верно.
Ответ: $n=3$.

3) Дано равенство $(0,2y^2)^n \cdot 100 = 4y^4$.
Преобразуем левую часть: $(0,2)^n (y^2)^n \cdot 100 = (0,2)^n y^{2n} \cdot 100$.
Равенство принимает вид: $100 \cdot (0,2)^n \cdot y^{2n} = 4y^4$.
Сравниваем части с переменной $y$ и коэффициенты:
1) $y^{2n} = y^4 \Rightarrow 2n = 4$
2) $100 \cdot (0,2)^n = 4$
Из первого уравнения получаем $n=2$. Подставим $n=2$ во второе уравнение: $100 \cdot (0,2)^2 = 100 \cdot 0,04 = 4$. Это верно.
Ответ: $n=2$.

4) Дано равенство $(3\frac{1}{3}m^4)^n \cdot 0,001 = \frac{1}{27}m^{12}$.
Сначала преобразуем смешанное число и десятичную дробь: $3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}$ и $0,001 = \frac{1}{1000}$.
Уравнение становится: $(\frac{10}{3}m^4)^n \cdot \frac{1}{1000} = \frac{1}{27}m^{12}$.
Раскроем скобки в левой части: $(\frac{10}{3})^n (m^4)^n \cdot \frac{1}{1000} = \frac{10^n}{3^n} m^{4n} \cdot \frac{1}{1000}$.
Сравниваем с правой частью: $\frac{10^n}{3^n \cdot 1000} m^{4n} = \frac{1}{27}m^{12}$.
Приравниваем степени и коэффициенты:
1) $m^{4n} = m^{12} \Rightarrow 4n=12$
2) $\frac{10^n}{3^n \cdot 1000} = \frac{1}{27}$
Из первого уравнения $n=3$. Проверяем второе: $\frac{10^3}{3^3 \cdot 1000} = \frac{1000}{27 \cdot 1000} = \frac{1}{27}$. Это верно.
Ответ: $n=3$.

5) Дано равенство $(0,3ab^3)^n \cdot \frac{1}{0,09} = a^2b^6$.
Преобразуем десятичные дроби: $0,3 = \frac{3}{10}$ и $\frac{1}{0,09} = \frac{1}{9/100} = \frac{100}{9}$.
Уравнение: $(\frac{3}{10}ab^3)^n \cdot \frac{100}{9} = a^2b^6$.
Раскрываем скобки: $(\frac{3}{10})^n a^n (b^3)^n \cdot \frac{100}{9} = (\frac{3}{10})^n a^n b^{3n} \cdot \frac{100}{9} = a^2b^6$.
Сравниваем степени и коэффициенты:
1) $a^n = a^2 \Rightarrow n=2$
2) $b^{3n} = b^6 \Rightarrow 3n=6 \Rightarrow n=2$
3) $(\frac{3}{10})^n \cdot \frac{100}{9} = 1$
Из первых двух уравнений $n=2$. Проверяем третье: $(\frac{3}{10})^2 \cdot \frac{100}{9} = \frac{9}{100} \cdot \frac{100}{9} = 1$. Это верно.
Ответ: $n=2$.

6) Дано равенство $(-\frac{1}{2}b^2c)^n = \frac{1}{64}b^{12}c^6$.
Раскроем скобки: $(-\frac{1}{2})^n (b^2)^n c^n = (-\frac{1}{2})^n b^{2n} c^n$.
Приравниваем к правой части: $(-\frac{1}{2})^n b^{2n} c^n = \frac{1}{64}b^{12}c^6$.
Сравниваем коэффициенты и степени:
1) $(-\frac{1}{2})^n = \frac{1}{64}$
2) $b^{2n} = b^{12} \Rightarrow 2n=12$
3) $c^n = c^6 \Rightarrow n=6$
Из второго и третьего уравнений $n=6$. Проверяем первое: $(-\frac{1}{2})^6 = \frac{1}{2^6} = \frac{1}{64}$. Это верно, так как степень $n=6$ четная, и минус исчезает.
Ответ: $n=6$.