Номер 390, страница 126 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

390. Найти объём прямоугольного параллелепипеда с рёбрами:

1) $0,25m$, $\frac{1}{3}n$ и $6mn$;

2) $0,1a$, $2b^2$ и $5ab$.

1) Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot c$, где $a, b, c$ - его ребра (длина, ширина и высота). В данном случае ребра равны $0,25m$, $1\frac{1}{3}n$ и $6mn$. Подставим эти значения в формулу объема: $V = (0,25m) \cdot (1\frac{1}{3}n) \cdot (6mn)$. Для удобства вычислений представим десятичную дробь и смешанное число в виде обыкновенных дробей: $0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$. $1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$. Теперь формула объема выглядит так: $V = (\frac{1}{4}m) \cdot (\frac{4}{3}n) \cdot (6mn)$. Сгруппируем числовые коэффициенты и переменные, чтобы перемножить их по отдельности: $V = (\frac{1}{4} \cdot \frac{4}{3} \cdot 6) \cdot (m \cdot n \cdot mn)$. Вычислим произведение числовых коэффициентов: $\frac{1}{4} \cdot \frac{4}{3} \cdot 6 = \frac{1 \cdot 4 \cdot 6}{4 \cdot 3} = \frac{24}{12} = 2$. Вычислим произведение переменных, используя правило умножения степеней с одинаковыми основаниями ($x^p \cdot x^q = x^{p+q}$): $m \cdot n \cdot mn = (m \cdot m) \cdot (n \cdot n) = m^{1+1} \cdot n^{1+1} = m^2n^2$. Таким образом, объем параллелепипеда равен $2m^2n^2$.

Ответ: $2m^2n^2$.

2) Аналогично предыдущему пункту, используем формулу объема прямоугольного параллелепипеда $V = a \cdot b \cdot c$. Ребра параллелепипеда равны $0,1a$, $2b^2$ и $5ab$. Подставим эти выражения в формулу: $V = (0,1a) \cdot (2b^2) \cdot (5ab)$. Сгруппируем числовые коэффициенты и переменные и перемножим их по отдельности: $V = (0,1 \cdot 2 \cdot 5) \cdot (a \cdot b^2 \cdot ab)$. Вычислим произведение числовых коэффициентов: $0,1 \cdot 2 \cdot 5 = 0,2 \cdot 5 = 1$. Вычислим произведение переменных, используя свойство степеней: $a \cdot b^2 \cdot ab = (a^1 \cdot a^1) \cdot (b^2 \cdot b^1) = a^{1+1}b^{2+1} = a^2b^3$. Следовательно, объем параллелепипеда равен $1 \cdot a^2b^3 = a^2b^3$.

Ответ: $a^2b^3$.