Номер 387, страница 126 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

387. 1) $\left(-1\frac{3}{5}x^3y^2\right)\left(-\frac{1}{2}c^2x^2\right)^3$;

2) $\left(2\frac{1}{4}x^3y\right)\left(\frac{2}{3}xy^2\right)^2$;

3) $\left(-3bc^2\right)^3 (2ab^2)^2$;

4) $\left(-2a^2b\right)^2 (-a^2b^3)^3$;

5) $\left(\frac{5}{6}m^2n\right)^2 (6mn^2)^2$;

6) $\left(\frac{3}{7}m^3n\right)^2 (-7mn^2)^3$.

1) $(-1\frac{3}{5}x^3y^2)(-\frac{1}{2}c^2x^2)^3$

Для решения данного примера необходимо выполнить следующие шаги:
1. Преобразовать смешанную дробь $-1\frac{3}{5}$ в неправильную: $-(1+\frac{3}{5}) = -\frac{8}{5}$.
2. Возвести второй одночлен в третью степень. Для этого нужно возвести в куб каждый множитель внутри скобок, используя свойства степени $(ab)^n=a^nb^n$ и $(a^m)^n=a^{mn}$:
$(-\frac{1}{2}c^2x^2)^3 = (-\frac{1}{2})^3 \cdot (c^2)^3 \cdot (x^2)^3 = -\frac{1}{8}c^{2 \cdot 3}x^{2 \cdot 3} = -\frac{1}{8}c^6x^6$.
3. Перемножить полученные одночлены:
$(-\frac{8}{5}x^3y^2) \cdot (-\frac{1}{8}c^6x^6)$.
4. Сгруппировать и перемножить числовые коэффициенты и переменные с одинаковыми основаниями:
$(-\frac{8}{5} \cdot -\frac{1}{8}) \cdot c^6 \cdot (x^3 \cdot x^6) \cdot y^2$.
Вычисляем произведение коэффициентов: $-\frac{8}{5} \cdot -\frac{1}{8} = \frac{8}{40} = \frac{1}{5}$.
Вычисляем произведение степеней: $x^3 \cdot x^6 = x^{3+6} = x^9$.
5. Записать итоговый результат:
$\frac{1}{5}c^6x^9y^2$.
Ответ: $\frac{1}{5}c^6x^9y^2$

2) $(2\frac{1}{4}x^3y)(\frac{2}{3}xy^2)^2$

1. Преобразуем смешанную дробь $2\frac{1}{4}$ в неправильную: $2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$.
2. Возведем второй одночлен во вторую степень:
$(\frac{2}{3}xy^2)^2 = (\frac{2}{3})^2 \cdot x^2 \cdot (y^2)^2 = \frac{4}{9}x^2y^{2 \cdot 2} = \frac{4}{9}x^2y^4$.
3. Перемножим полученные одночлены:
$(\frac{9}{4}x^3y) \cdot (\frac{4}{9}x^2y^4)$.
4. Перемножим коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями:
$(\frac{9}{4} \cdot \frac{4}{9}) \cdot (x^3 \cdot x^2) \cdot (y^1 \cdot y^4)$.
Произведение коэффициентов: $\frac{9}{4} \cdot \frac{4}{9} = 1$.
Произведение степеней: $x^3 \cdot x^2 = x^{3+2} = x^5$ и $y^1 \cdot y^4 = y^{1+4} = y^5$.
5. Запишем конечный результат:
$1 \cdot x^5y^5 = x^5y^5$.
Ответ: $x^5y^5$

3) $(-3bc^2)^3(2ab^2)^2$

1. Возведем каждый из одночленов в соответствующую степень:
Первый одночлен: $(-3bc^2)^3 = (-3)^3 \cdot b^3 \cdot (c^2)^3 = -27b^3c^{2 \cdot 3} = -27b^3c^6$.
Второй одночлен: $(2ab^2)^2 = 2^2 \cdot a^2 \cdot (b^2)^2 = 4a^2b^{2 \cdot 2} = 4a^2b^4$.
2. Перемножим полученные результаты:
$(-27b^3c^6) \cdot (4a^2b^4)$.
3. Сгруппируем и перемножим коэффициенты и переменные:
$(-27 \cdot 4) \cdot a^2 \cdot (b^3 \cdot b^4) \cdot c^6$.
Произведение коэффициентов: $-27 \cdot 4 = -108$.
Произведение степеней: $b^3 \cdot b^4 = b^{3+4} = b^7$.
4. Запишем итоговый одночлен в стандартном виде:
$-108a^2b^7c^6$.
Ответ: $-108a^2b^7c^6$

4) $(-2a^2b)^2(-a^2b^3)^3$

1. Возведем каждый из одночленов в указанную степень:
Первый одночлен: $(-2a^2b)^2 = (-2)^2 \cdot (a^2)^2 \cdot b^2 = 4a^{2 \cdot 2}b^2 = 4a^4b^2$.
Второй одночлен: $(-a^2b^3)^3 = (-1)^3 \cdot (a^2)^3 \cdot (b^3)^3 = -1a^{2 \cdot 3}b^{3 \cdot 3} = -a^6b^9$.
2. Перемножим полученные одночлены:
$(4a^4b^2) \cdot (-a^6b^9)$.
3. Перемножим коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями:
$(4 \cdot -1) \cdot (a^4 \cdot a^6) \cdot (b^2 \cdot b^9)$.
Произведение коэффициентов: $4 \cdot (-1) = -4$.
Произведение степеней: $a^4 \cdot a^6 = a^{4+6} = a^{10}$ и $b^2 \cdot b^9 = b^{2+9} = b^{11}$.
4. Запишем итоговый одночлен:
$-4a^{10}b^{11}$.
Ответ: $-4a^{10}b^{11}$

5) $(\frac{5}{6}m^2n)^2(6mn^2)^2$

1. Возведем каждый одночлен в квадрат:
Первый одночлен: $(\frac{5}{6}m^2n)^2 = (\frac{5}{6})^2 \cdot (m^2)^2 \cdot n^2 = \frac{25}{36}m^{4}n^2$.
Второй одночлен: $(6mn^2)^2 = 6^2 \cdot m^2 \cdot (n^2)^2 = 36m^2n^4$.
2. Перемножим полученные результаты:
$(\frac{25}{36}m^4n^2) \cdot (36m^2n^4)$.
3. Перемножим коэффициенты и переменные:
$(\frac{25}{36} \cdot 36) \cdot (m^4 \cdot m^2) \cdot (n^2 \cdot n^4)$.
Произведение коэффициентов: $\frac{25}{36} \cdot 36 = 25$.
Произведение степеней: $m^4 \cdot m^2 = m^{4+2} = m^6$ и $n^2 \cdot n^4 = n^{2+4} = n^6$.
4. Запишем результат:
$25m^6n^6$.
Ответ: $25m^6n^6$

6) $(\frac{3}{7}m^3n)^2(-7mn^2)^3$

1. Возведем каждый из одночленов в соответствующую степень:
Первый одночлен: $(\frac{3}{7}m^3n)^2 = (\frac{3}{7})^2 \cdot (m^3)^2 \cdot n^2 = \frac{9}{49}m^{3 \cdot 2}n^2 = \frac{9}{49}m^6n^2$.
Второй одночлен: $(-7mn^2)^3 = (-7)^3 \cdot m^3 \cdot (n^2)^3 = -343m^3n^{2 \cdot 3} = -343m^3n^6$.
2. Перемножим полученные одночлены:
$(\frac{9}{49}m^6n^2) \cdot (-343m^3n^6)$.
3. Перемножим коэффициенты и переменные:
$(\frac{9}{49} \cdot -343) \cdot (m^6 \cdot m^3) \cdot (n^2 \cdot n^6)$.
Произведение коэффициентов: $\frac{9}{49} \cdot (-343) = 9 \cdot (\frac{-343}{49}) = 9 \cdot (-7) = -63$.
Произведение степеней: $m^6 \cdot m^3 = m^{6+3} = m^9$ и $n^2 \cdot n^6 = n^{2+6} = n^8$.
4. Запишем итоговый результат:
$-63m^9n^8$.
Ответ: $-63m^9n^8$