Номер 384, страница 125 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

384. 1) $(-2a^2b)^3;$

2) $(-a^2bc)^5;$

3) $(-3x^3y)^2;$

4) $(-2x^2y^3)^4.$

1) Требуется возвести одночлен $(-2a^2b)$ в третью степень. Для этого воспользуемся свойством возведения произведения в степень, которое гласит, что для возведения произведения в степень нужно каждый множитель возвести в эту степень: $(xyz)^n = x^n y^n z^n$. Применяя это правило, получаем: $(-2a^2b)^3 = (-2)^3 \cdot (a^2)^3 \cdot b^3$. Теперь последовательно вычислим каждый множитель. Коэффициент $(-2)$, возведенный в третью степень, равен $-8$. Для множителя $a^2$ используем правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, что дает $(a^2)^3 = a^{2 \cdot 3} = a^6$. Множитель $b$ в третьей степени равен $b^3$. Соединив все части, получаем итоговый результат: $-8a^6b^3$.
Ответ: $-8a^6b^3$

2) Необходимо возвести одночлен $(-a^2bc)$ в пятую степень. Представим одночлен как $(-1 \cdot a^2bc)$. Согласно свойству возведения произведения в степень, каждый множитель возводится в эту степень: $(-a^2bc)^5 = (-1)^5 \cdot (a^2)^5 \cdot b^5 \cdot c^5$. Рассмотрим каждый множитель. Так как степень 5 нечетная, $(-1)^5 = -1$. Для переменной $a$ используем правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, что дает $(a^2)^5 = a^{2 \cdot 5} = a^{10}$. Переменные $b$ и $c$ в первой степени, возведенные в пятую, будут равны $b^5$ и $c^5$ соответственно. Объединяя все результаты, получаем: $-1 \cdot a^{10}b^5c^5$, что записывается как $-a^{10}b^5c^5$.
Ответ: $-a^{10}b^5c^5$

3) Нам нужно возвести одночлен $(-3x^3y)$ во вторую степень (в квадрат). Используя свойство $(xyz)^n = x^n y^n z^n$, мы возводим в квадрат каждый множитель: $(-3x^3y)^2 = (-3)^2 \cdot (x^3)^2 \cdot y^2$. Вычислим значения. Коэффициент $(-3)$, возведенный в квадрат (четная степень), дает положительный результат: $(-3)^2 = 9$. Для переменной $x$ применяем правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $(x^3)^2 = x^{3 \cdot 2} = x^6$. Переменная $y$ в квадрате равна $y^2$. Соединив все части, получаем конечный одночлен: $9x^6y^2$.
Ответ: $9x^6y^2$

4) Задача состоит в возведении одночлена $(-2x^2y^3)$ в четвертую степень. По правилу возведения произведения в степень, каждый множитель внутри скобок возводится в эту степень: $(-2x^2y^3)^4 = (-2)^4 \cdot (x^2)^4 \cdot (y^3)^4$. Вычислим каждый из них. Коэффициент $(-2)$, возведенный в четную степень 4, равен $16$. Для переменных воспользуемся правилом возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Для $x$ получаем: $(x^2)^4 = x^{2 \cdot 4} = x^8$. Для $y$ получаем: $(y^3)^4 = y^{3 \cdot 4} = y^{12}$. Объединив все полученные значения, мы приходим к окончательному выражению: $16x^8y^{12}$.
Ответ: $16x^8y^{12}$