Страница 122 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Что называется одночленом?

1. Одночленом в алгебре называют выражение, которое представляет собой произведение чисел, переменных и их степеней с натуральными (целыми неотрицательными) показателями. Это означает, что одночлен состоит только из операции умножения. В нем не может быть сложения, вычитания или деления на переменную.

Примерами одночленов являются: $5$, $x$, $-7ab^2$, $\frac{2}{3}x^3y^5$. Отдельные числа и переменные также являются одночленами.

Выражения $a+b$, $x-y$, $\frac{3}{c}$, $m^{-2}$ одночленами не являются, так как содержат соответственно сложение, вычитание, деление на переменную и отрицательную степень переменной.

Каждый одночлен можно привести к стандартному виду, в котором числовой множитель (называемый коэффициентом) стоит на первом месте, а за ним следуют переменные в алфавитном порядке, каждая из которых встречается только один раз. Например, одночлен $4b \cdot 5a^2 \cdot b^3$ в стандартном виде записывается как $20a^2b^4$. Здесь коэффициент равен $20$.

Степенью одночлена (если он не равен нулю) называют сумму показателей степеней всех входящих в него переменных. Например, степень одночлена $20a^2b^4$ равна $2+4=6$. Степень любого числа, отличного от нуля (например, $5$), равна нулю.

Ответ: Одночлен — это алгебраическое выражение, представляющее собой произведение чисел и переменных, возведенных в целые неотрицательные степени.

2. Какие одночлены называют одночленами стандартного вида?

Одночленом стандартного вида называют одночлен, который представляет собой произведение, состоящее из одного числового множителя (называемого коэффициентом) и степеней различных переменных.

Чтобы одночлен был записан в стандартном виде, он должен соответствовать следующим правилам:

1. Числовой множитель (коэффициент) должен быть только один, и он должен стоять на первом месте. Если коэффициент равен 1, его обычно не пишут. Если коэффициент равен -1, то пишут только знак «-».
2. Каждая переменная должна встречаться в записи одночлена только один раз. Если в исходном выражении переменная встречается несколько раз, их нужно объединить, используя свойство степеней: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
3. Принято располагать буквенные множители (переменные) в алфавитном порядке. Это не является строгим математическим требованием, но является правилом хорошего тона, которое упрощает сравнение и выполнение действий с одночленами.

Пример приведения одночлена к стандартному виду:

Рассмотрим одночлен: $2x^3y \cdot (-5)x^2z y^4$.

Этот одночлен не находится в стандартном виде, так как содержит два числовых множителя ($2$ и $-5$), а переменные $x$ и $y$ встречаются дважды.

Шаг 1: Найдем коэффициент, перемножив все числовые множители.
$2 \cdot (-5) = -10$

Шаг 2: Перемножим степени с одинаковыми основаниями (переменными).
Для переменной $x$: $x^3 \cdot x^2 = x^{3+2} = x^5$
Для переменной $y$: $y \cdot y^4 = y^{1+4} = y^5$
Переменная $z$ встречается только один раз, поэтому она остается без изменений: $z$

Шаг 3: Запишем итоговый одночлен, поставив коэффициент на первое место, а за ним — переменные в алфавитном порядке с их новыми показателями степеней.
$-10x^5y^5z$

Теперь одночлен $-10x^5y^5z$ записан в стандартном виде. Его коэффициент равен $-10$.

Ответ: Одночленом стандартного вида называют одночлен, который является произведением числового множителя, стоящего на первом месте, и степеней различных переменных.

3. Что называют коэффициентом одночлена?

Для того чтобы понять, что такое коэффициент одночлена, сначала нужно разобраться с понятиями "одночлен" и его "стандартный вид".

Одночлен — это алгебраическое выражение, которое представляет собой произведение чисел, переменных и их степеней. Например, выражения $8x$, $-3a^2b$, $y^5$ являются одночленами.

Стандартный вид одночлена — это такая его запись, при которой на первом месте стоит единственный числовой множитель, а за ним следуют степени различных переменных, расположенные, как правило, в алфавитном порядке. Чтобы привести одночлен к стандартному виду, нужно перемножить все его числовые множители и поставить полученное число на первое место, а затем перемножить все степени с одинаковыми буквенными основаниями.

Например, приведем одночлен $5a^2 \cdot (-0.2b) \cdot a$ к стандартному виду:
$5a^2 \cdot (-0.2b) \cdot a = (5 \cdot -0.2) \cdot (a^2 \cdot a) \cdot b = -1a^3b = -a^3b$.

После этих разъяснений можно дать определение коэффициенту.

Коэффициентом одночлена называют его числовой множитель, записанный в стандартном виде.

Рассмотрим примеры нахождения коэффициентов:
- В одночлене $15x^3y^2$ коэффициент равен $15$.
- В одночлене $-7.5ab^4c$ коэффициент равен $-7.5$.
- Если одночлен не содержит явного числового множителя, например $x^2y$, его коэффициент считается равным $1$, так как $x^2y$ можно записать как $1 \cdot x^2y$.
- Если перед одночленом стоит знак "минус", например $-c^4$, его коэффициент равен $-1$, так как $-c^4$ — это то же самое, что и $-1 \cdot c^4$.
- Для одночлена $4x \cdot 3y \cdot (-2x^2)$, который не приведен к стандартному виду, сначала выполним преобразования: $4 \cdot 3 \cdot (-2) \cdot (x \cdot x^2) \cdot y = -24x^3y$. Коэффициент этого одночлена равен $-24$.

Ответ: Коэффициентом одночлена называют числовой множитель одночлена, который приведен к стандартному виду.

4. Назвать коэффициент одночлена: $-0.25m^5n^6$; $qp^3$; $-a^7c^3$.

Коэффициент одночлена — это числовой множитель в его стандартной форме. Чтобы его найти, нужно определить число, на которое умножается буквенная часть выражения.

-0,25m⁵n⁶
В данном одночлене буквенная часть — это $m^5n^6$. Числовой множитель, стоящий перед ней, — это $-0,25$.
Ответ: $-0,25$.

qp³
В этом выражении буквенная часть — это $qp^3$. Числовой множитель явно не написан, что означает, что он равен 1, так как умножение на 1 не изменяет выражение ($1 \cdot qp^3 = qp^3$).
Ответ: $1$.

-a⁷c³
Здесь буквенная часть — это $a^7c^3$. Перед ней стоит знак минус. Это эквивалентно умножению на $-1$ ($-1 \cdot a^7c^3 = -a^7c^3$). Следовательно, коэффициент равен $-1$.
Ответ: $-1$.

5. Что называют степенью одночлена?

Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех переменных, входящих в его состав, после того как одночлен приведен к стандартному виду.

Чтобы найти степень одночлена, необходимо:

1. Привести одночлен к стандартному виду. Стандартный вид — это произведение числового коэффициента и степеней различных переменных. Например, одночлен $2x \cdot 3y \cdot x^2$ в стандартном виде будет $6x^3y$.
2. Сложить показатели степеней всех переменных, входящих в полученный одночлен.

Рассмотрим несколько примеров:

• Одночлен $5a^4b^2c$. Он уже в стандартном виде. Переменные в нем: $a$, $b$, и $c$. Их показатели степеней — 4, 2 и 1 (поскольку $c$ это то же самое, что и $c^1$). Складываем показатели: $4 + 2 + 1 = 7$. Степень этого одночлена равна 7.

• Одночлен $-12xy^3$. Показатели степеней переменных $x$ и $y$ равны 1 и 3 соответственно. Степень одночлена: $1 + 3 = 4$.

• Одночлен $42$. Этот одночлен является числом (константой) и не содержит переменных. По определению, степень любого ненулевого числа равна 0. Это можно представить как $42x^0$, где $x^0 = 1$.

• Важно отметить, что степень нулевого одночлена (числа 0) не определена.

Ответ: Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех входящих в него переменных (после приведения одночлена к стандартному виду). Если одночлен является числом, отличным от нуля, его степень равна нулю.

1. Вычислить удобным способом:

1) $4 \cdot 27 \cdot 25;$

2) $125 \cdot 73 \cdot 8;$

3) $8 \cdot \frac{1}{6} \cdot 125 \cdot 12;$

4) $\frac{2}{3} \cdot 25 \cdot \frac{3}{2} \cdot 4.$

1) $4 \cdot 27 \cdot 25$

Чтобы вычислить это произведение удобным способом, воспользуемся переместительным и сочетательным свойствами умножения. Это значит, что мы можем менять множители местами и группировать их так, как нам удобно. Сгруппируем множители $4$ и $25$, потому что их произведение является "круглым" числом ($100$), что сильно упрощает дальнейшие вычисления.

$4 \cdot 27 \cdot 25 = (4 \cdot 25) \cdot 27$

Сначала вычислим произведение в скобках:

$4 \cdot 25 = 100$

Теперь умножим полученный результат на оставшийся множитель $27$:

$100 \cdot 27 = 2700$

Ответ: 2700

2) $125 \cdot 73 \cdot 8$

В этом примере также применим переместительное и сочетательное свойства умножения. Удобно сгруппировать множители $125$ и $8$, так как их произведение равно $1000$.

$125 \cdot 73 \cdot 8 = (125 \cdot 8) \cdot 73$

Вычислим произведение в скобках:

$125 \cdot 8 = 1000$

Далее умножим $1000$ на $73$:

$1000 \cdot 73 = 73000$

Ответ: 73000

3) $8 \cdot \frac{1}{6} \cdot 125 \cdot 12$

Здесь у нас произведение четырех чисел, включая дробь. Снова используем свойства умножения для перегруппировки множителей. Удобно объединить в группы целые числа, дающие в произведении "круглое" число, и отдельно поработать с дробью.

Сгруппируем $8$ и $125$, а также дробь $\frac{1}{6}$ с числом $12$:

$(8 \cdot 125) \cdot (\frac{1}{6} \cdot 12)$

Вычислим произведение первой группы:

$8 \cdot 125 = 1000$

Вычислим произведение второй группы:

$\frac{1}{6} \cdot 12 = \frac{12}{6} = 2$

Теперь перемножим результаты двух групп:

$1000 \cdot 2 = 2000$

Ответ: 2000

4) $\frac{2}{3} \cdot 25 \cdot \frac{3}{2} \cdot 4$

В этом выражении есть две дроби и два целых числа. Удобный способ вычисления заключается в том, чтобы сгруппировать взаимно обратные дроби и отдельно целые числа.

Сгруппируем $\frac{2}{3}$ и $\frac{3}{2}$, а также $25$ и $4$:

$(\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}) \cdot (25 \cdot 4)$

Произведение взаимно обратных дробей равно единице:

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 2} = \frac{6}{6} = 1$

Произведение второй группы чисел:

$25 \cdot 4 = 100$

Наконец, перемножим полученные результаты:

$1 \cdot 100 = 100$

Ответ: 100

2. Записать в виде степени:

1) $a \cdot a^5$;

2) $b^3 \cdot b^4$;

3) $x^5 \cdot x \cdot x^7$;

4) $y \cdot y^4 \cdot y^{10}$.

Для решения данной задачи воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием: при умножении степеней с одинаковым основанием, основание остается прежним, а показатели степеней складываются. Формула выглядит так: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
Также следует помнить, что любое число или переменная без указания степени считается находящимся в первой степени, например, $a = a^1$.

1) $a \cdot a^5$

В данном выражении основание одинаковое и равно $a$. Первый множитель $a$ можно представить как $a^1$.

Складываем показатели степеней 1 и 5:

$a^1 \cdot a^5 = a^{1+5} = a^6$

Ответ: $a^6$

2) $b^3 \cdot b^4$

Здесь основание одинаковое и равно $b$.

Складываем показатели степеней 3 и 4:

$b^3 \cdot b^4 = b^{3+4} = b^7$

Ответ: $b^7$

3) $x^5 \cdot x \cdot x^7$

В этом выражении три множителя с одинаковым основанием $x$. Множитель $x$ можно представить как $x^1$.

Складываем все показатели степеней: 5, 1 и 7.

$x^5 \cdot x^1 \cdot x^7 = x^{5+1+7} = x^{13}$

Ответ: $x^{13}$

4) $y \cdot y^4 \cdot y^{10}$

Здесь основание одинаковое и равно $y$. Первый множитель $y$ можно представить как $y^1$.

Складываем все показатели степеней: 1, 4 и 10.

$y^1 \cdot y^4 \cdot y^{10} = y^{1+4+10} = y^{15}$

Ответ: $y^{15}$