Страница 118 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

370. 1) Масса Земли равна $6 \cdot 10^{24}$ кг; масса Солнца - $2 \cdot 10^{30}$ кг. Во сколько раз масса Земли меньше массы Солнца?

2) Вычислить приближённо, сколько лет луч света идёт от Земли до Сириуса, если расстояние от Земли до звезды Сириус равно 83 000 000 000 000 км.

1)

Чтобы найти, во сколько раз масса Земли меньше массы Солнца, необходимо разделить массу Солнца на массу Земли.

Масса Земли ($M_{Земли}$) равна $6 \cdot 10^{24}$ кг.
Масса Солнца ($M_{Солнца}$) равна $2 \cdot 10^{30}$ кг.

Найдем отношение масс: $$ \frac{M_{Солнца}}{M_{Земли}} = \frac{2 \cdot 10^{30} \text{ кг}}{6 \cdot 10^{24} \text{ кг}} $$

Для вычисления разделим числовые коэффициенты и степени с основанием 10 по отдельности, используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$: $$ \frac{2}{6} \cdot \frac{10^{30}}{10^{24}} = \frac{1}{3} \cdot 10^{30-24} = \frac{1}{3} \cdot 10^6 $$

Теперь преобразуем полученное значение для более наглядного представления: $$ \frac{1}{3} \cdot 10^6 = \frac{1 \ 000 \ 000}{3} \approx 333 \ 333.33... $$ Таким образом, масса Земли меньше массы Солнца приблизительно в 333 333 раза.

Ответ: Масса Земли меньше массы Солнца приблизительно в 333 333 раза.

2)

Чтобы вычислить, сколько лет луч света идет от Земли до Сириуса, необходимо разделить расстояние до звезды на скорость света, а затем перевести полученное время из секунд в годы.

Исходные данные:
Расстояние от Земли до Сириуса ($S$) равно $83 \ 000 \ 000 \ 000 \ 000$ км. В стандартном виде это $8.3 \cdot 10^{13}$ км.
Скорость света ($c$) приблизительно равна $300 \ 000$ км/с. В стандартном виде это $3 \cdot 10^5$ км/с.

Шаг 1: Вычисляем время пути в секундах.
Время ($t$) вычисляется по формуле $t = \frac{S}{c}$: $$ t_{сек} = \frac{8.3 \cdot 10^{13} \text{ км}}{3 \cdot 10^5 \text{ км/с}} = \frac{8.3}{3} \cdot 10^{13-5} \text{ с} \approx 2.77 \cdot 10^8 \text{ с} $$

Шаг 2: Вычисляем количество секунд в году.
Для приближенных расчетов примем, что в году 365 дней: $$ 1 \text{ год} = 365 \text{ дней} \times 24 \text{ часа/день} \times 3600 \text{ с/час} = 31 \ 536 \ 000 \text{ с} $$ В стандартном виде это значение можно округлить до $3.15 \cdot 10^7$ с.

Шаг 3: Находим время в годах.
Разделим общее время в секундах на количество секунд в одном году: $$ t_{лет} = \frac{2.77 \cdot 10^8 \text{ с}}{3.15 \cdot 10^7 \text{ с/год}} = \frac{2.77}{3.15} \cdot 10^{8-7} \text{ лет} \approx 0.879 \cdot 10 \text{ лет} \approx 8.8 \text{ лет} $$

Ответ: Луч света идет от Земли до Сириуса приблизительно 8.8 лет.

371. Вычислить с помощью калькулятора:

1) $3^{10}$;

2) $5^9$;

3) $(2,3)^4$;

4) $(1,3)^5$.

1) Выражение $3^{10}$ означает возведение числа 3 в десятую степень, то есть умножение числа 3 на само себя 10 раз. Используя калькулятор для вычисления, получаем:

$3^{10} = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 59049$

Ответ: 59049.

2) Выражение $5^9$ означает возведение числа 5 в девятую степень, то есть умножение числа 5 на само себя 9 раз. Используя калькулятор, находим:

$5^9 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 1953125$

Ответ: 1953125.

3) Выражение $(2,3)^4$ означает возведение десятичной дроби 2,3 в четвертую степень. Для этого умножаем 2,3 на само себя 4 раза. С помощью калькулятора получаем:

$(2,3)^4 = 2,3 \times 2,3 \times 2,3 \times 2,3 = 5,29 \times 5,29 = 27,9841$

Ответ: 27,9841.

4) Выражение $(1,3)^5$ означает возведение десятичной дроби 1,3 в пятую степень. Для этого умножаем 1,3 на само себя 5 раз. Вычисление на калькуляторе дает следующий результат:

$(1,3)^5 = 1,3 \times 1,3 \times 1,3 \times 1,3 \times 1,3 = 3,71293$

Ответ: 3,71293.

372. Какое из чисел больше:

1) $54^4$ или $21^{12}$;

2) $10^{20}$ или $20^{10}$;

3) $100^{20}$ или $9000^{10}$;

4) $6^{20}$ или $3^{40}$?

1) Чтобы сравнить числа $54^4$ и $21^{12}$, приведем их к общему показателю степени. Наибольший общий делитель показателей $4$ и $12$ равен $4$. Преобразуем второе число:
$21^{12} = 21^{3 \cdot 4} = (21^3)^4$.
Теперь задача сводится к сравнению чисел $54^4$ и $(21^3)^4$. Так как показатели степеней равны, достаточно сравнить их основания: $54$ и $21^3$.
Вычислим $21^3$: $21^3 = 21 \cdot 21 \cdot 21 = 441 \cdot 21 = 9261$.
Сравниваем основания: $54 < 9261$.
Следовательно, $54^4 < (21^3)^4$, а значит $54^4 < 21^{12}$.
Ответ: $21^{12}$.

2) Чтобы сравнить числа $10^{20}$ и $20^{10}$, приведем их к общему показателю степени. Наибольший общий делитель показателей $20$ и $10$ равен $10$. Преобразуем первое число:
$10^{20} = 10^{2 \cdot 10} = (10^2)^{10} = 100^{10}$.
Теперь сравним числа $100^{10}$ и $20^{10}$. Так как показатели степеней равны, сравниваем их основания: $100$ и $20$.
Поскольку $100 > 20$, то и $100^{10} > 20^{10}$.
Следовательно, $10^{20} > 20^{10}$.
Ответ: $10^{20}$.

3) Чтобы сравнить числа $100^{20}$ и $9000^{10}$, приведем их к общему показателю степени. Наибольший общий делитель показателей $20$ и $10$ равен $10$. Преобразуем первое число:
$100^{20} = 100^{2 \cdot 10} = (100^2)^{10} = 10000^{10}$.
Теперь сравним числа $10000^{10}$ и $9000^{10}$. Так как показатели степеней равны, сравниваем их основания: $10000$ и $9000$.
Поскольку $10000 > 9000$, то и $10000^{10} > 9000^{10}$.
Следовательно, $100^{20} > 9000^{10}$.
Ответ: $100^{20}$.

4) Чтобы сравнить числа $6^{20}$ и $3^{40}$, приведем их к общему показателю степени. Наибольший общий делитель показателей $20$ и $40$ равен $20$. Преобразуем второе число:
$3^{40} = 3^{2 \cdot 20} = (3^2)^{20} = 9^{20}$.
Теперь сравним числа $6^{20}$ и $9^{20}$. Так как показатели степеней равны, сравниваем их основания: $6$ и $9$.
Поскольку $6 < 9$, то и $6^{20} < 9^{20}$.
Следовательно, $6^{20} < 3^{40}$.
Ответ: $3^{40}$.

373. Вычислить:

1) $ \frac{2^5 \cdot 5^{22} - 2 \cdot 5^{21}}{25^{10}} $;

2) $ \frac{5 \cdot 2^{32} - 4 \cdot 2^{30}}{4^{16}} $;

3) $ \frac{(4 \cdot 3^{22} + 7 \cdot 3^{21}) \cdot 57}{(19 \cdot 27^4)^2} $;

4) $ \frac{5(3 \cdot 7^{15} - 19 \cdot 7^{14})}{7^{16} + 3 \cdot 7^{15}} $.

1) $\frac{2^5 \cdot 5^{22} - 2 \cdot 5^{21}}{25^{10}}$

Сначала преобразуем числитель. Вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем, то есть $5^{21}$:

$2^5 \cdot 5^{22} - 2 \cdot 5^{21} = 2^5 \cdot 5 \cdot 5^{21} - 2 \cdot 5^{21} = (2^5 \cdot 5 - 2) \cdot 5^{21}$

Вычислим значение в скобках:

$(32 \cdot 5 - 2) \cdot 5^{21} = (160 - 2) \cdot 5^{21} = 158 \cdot 5^{21}$

Теперь преобразуем знаменатель. Представим 25 как $5^2$:

$25^{10} = (5^2)^{10} = 5^{2 \cdot 10} = 5^{20}$

Подставим полученные выражения обратно в дробь:

$\frac{158 \cdot 5^{21}}{5^{20}}$

Используем свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$158 \cdot 5^{21-20} = 158 \cdot 5^1 = 158 \cdot 5 = 790$

Ответ: $790$.

2) $\frac{5 \cdot 2^{32} - 4 \cdot 2^{30}}{4^{16}}$

Преобразуем числитель. Представим $4$ как $2^2$ и вынесем общий множитель $2^{30}$ за скобки:

$5 \cdot 2^{32} - 4 \cdot 2^{30} = 5 \cdot 2^2 \cdot 2^{30} - 4 \cdot 2^{30} = (5 \cdot 4 - 4) \cdot 2^{30} = (20 - 4) \cdot 2^{30} = 16 \cdot 2^{30}$

Так как $16 = 2^4$, числитель равен $2^4 \cdot 2^{30} = 2^{34}$.

Теперь преобразуем знаменатель. Представим 4 как $2^2$:

$4^{16} = (2^2)^{16} = 2^{2 \cdot 16} = 2^{32}$

Подставим полученные выражения в дробь:

$\frac{2^{34}}{2^{32}}$

Используем свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$2^{34-32} = 2^2 = 4$

Ответ: $4$.

3) $\frac{(4 \cdot 3^{22} + 7 \cdot 3^{21}) \cdot 57}{(19 \cdot 27^4)^2}$

Упростим выражение в скобках в числителе, вынеся общий множитель $3^{21}$:

$4 \cdot 3^{22} + 7 \cdot 3^{21} = 4 \cdot 3 \cdot 3^{21} + 7 \cdot 3^{21} = (4 \cdot 3 + 7) \cdot 3^{21} = (12+7) \cdot 3^{21} = 19 \cdot 3^{21}$

Теперь весь числитель выглядит так: $(19 \cdot 3^{21}) \cdot 57$. Разложим $57$ на множители $3 \cdot 19$:

$19 \cdot 3^{21} \cdot (3 \cdot 19) = 19^2 \cdot 3^{21+1} = 19^2 \cdot 3^{22}$

Преобразуем знаменатель. Используя свойство $(ab)^n = a^n b^n$, получаем:

$(19 \cdot 27^4)^2 = 19^2 \cdot (27^4)^2 = 19^2 \cdot 27^8$

Представим $27$ как $3^3$:

$19^2 \cdot (3^3)^8 = 19^2 \cdot 3^{3 \cdot 8} = 19^2 \cdot 3^{24}$

Подставим полученные выражения в дробь:

$\frac{19^2 \cdot 3^{22}}{19^2 \cdot 3^{24}}$

Сокращаем $19^2$ и используем свойство степеней:

$\frac{3^{22}}{3^{24}} = 3^{22-24} = 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$

Ответ: $\frac{1}{9}$.

4) $\frac{5(3 \cdot 7^{15} - 19 \cdot 7^{14})}{7^{16} + 3 \cdot 7^{15}}$

Упростим выражение в скобках в числителе, вынеся общий множитель $7^{14}$:

$3 \cdot 7^{15} - 19 \cdot 7^{14} = 3 \cdot 7 \cdot 7^{14} - 19 \cdot 7^{14} = (3 \cdot 7 - 19) \cdot 7^{14} = (21 - 19) \cdot 7^{14} = 2 \cdot 7^{14}$

Тогда весь числитель равен $5 \cdot (2 \cdot 7^{14}) = 10 \cdot 7^{14}$.

Теперь преобразуем знаменатель, вынеся общий множитель $7^{15}$:

$7^{16} + 3 \cdot 7^{15} = 7 \cdot 7^{15} + 3 \cdot 7^{15} = (7+3) \cdot 7^{15} = 10 \cdot 7^{15}$

Подставим полученные выражения в дробь:

$\frac{10 \cdot 7^{14}}{10 \cdot 7^{15}}$

Сокращаем 10 и используем свойство степеней:

$\frac{7^{14}}{7^{15}} = 7^{14-15} = 7^{-1} = \frac{1}{7}$

Ответ: $\frac{1}{7}$.