Номер 372, страница 118 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 17. Свойства степени с натуральным показателем. Глава 4. Одночлены и многочлены - номер 372, страница 118.

Условие.

372. Какое из чисел больше:

1) $54^4$ или $21^{12}$;

2) $10^{20}$ или $20^{10}$;

3) $100^{20}$ или $9000^{10}$;

4) $6^{20}$ или $3^{40}$?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Чтобы сравнить числа $54^4$ и $21^{12}$, приведем их к общему показателю степени. Наибольший общий делитель показателей $4$ и $12$ равен $4$. Преобразуем второе число:
$21^{12} = 21^{3 \cdot 4} = (21^3)^4$.
Теперь задача сводится к сравнению чисел $54^4$ и $(21^3)^4$. Так как показатели степеней равны, достаточно сравнить их основания: $54$ и $21^3$.
Вычислим $21^3$: $21^3 = 21 \cdot 21 \cdot 21 = 441 \cdot 21 = 9261$.
Сравниваем основания: $54 < 9261$.
Следовательно, $54^4 < (21^3)^4$, а значит $54^4 < 21^{12}$.
Ответ: $21^{12}$.

2) Чтобы сравнить числа $10^{20}$ и $20^{10}$, приведем их к общему показателю степени. Наибольший общий делитель показателей $20$ и $10$ равен $10$. Преобразуем первое число:
$10^{20} = 10^{2 \cdot 10} = (10^2)^{10} = 100^{10}$.
Теперь сравним числа $100^{10}$ и $20^{10}$. Так как показатели степеней равны, сравниваем их основания: $100$ и $20$.
Поскольку $100 > 20$, то и $100^{10} > 20^{10}$.
Следовательно, $10^{20} > 20^{10}$.
Ответ: $10^{20}$.

3) Чтобы сравнить числа $100^{20}$ и $9000^{10}$, приведем их к общему показателю степени. Наибольший общий делитель показателей $20$ и $10$ равен $10$. Преобразуем первое число:
$100^{20} = 100^{2 \cdot 10} = (100^2)^{10} = 10000^{10}$.
Теперь сравним числа $10000^{10}$ и $9000^{10}$. Так как показатели степеней равны, сравниваем их основания: $10000$ и $9000$.
Поскольку $10000 > 9000$, то и $10000^{10} > 9000^{10}$.
Следовательно, $100^{20} > 9000^{10}$.
Ответ: $100^{20}$.

4) Чтобы сравнить числа $6^{20}$ и $3^{40}$, приведем их к общему показателю степени. Наибольший общий делитель показателей $20$ и $40$ равен $20$. Преобразуем второе число:
$3^{40} = 3^{2 \cdot 20} = (3^2)^{20} = 9^{20}$.
Теперь сравним числа $6^{20}$ и $9^{20}$. Так как показатели степеней равны, сравниваем их основания: $6$ и $9$.
Поскольку $6 < 9$, то и $6^{20} < 9^{20}$.
Следовательно, $6^{20} < 3^{40}$.
Ответ: $3^{40}$.