Номер 368, страница 117 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

368. 1) $\left(\frac{35}{48}\right)^3 \cdot \left(\frac{6}{7}\right)^3 \cdot \left(1\frac{3}{5}\right)^2;$

2) $\left(\frac{14}{15}\right)^4 \cdot \left(\frac{3}{7}\right)^4 \cdot (2.5)^3;$

3) $\left(\frac{5^3}{6^2}\right)^4 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^5 \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^7;$

4) $\left(\frac{7^4}{15^2}\right)^3 \cdot \left(\frac{5}{7}\right)^6 \cdot \left(\frac{3}{7}\right)^5 \cdot$

1) Для решения данного примера сначала преобразуем смешанную дробь $1\frac{3}{5}$ в неправильную. Затем используем свойство произведения степеней с одинаковым показателем $a^n \cdot b^n = (ab)^n$ для первых двух множителей.
$1\frac{3}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{8}{5}$
Выражение принимает вид:
$(\frac{35}{48})^3 \cdot (\frac{6}{7})^3 \cdot (\frac{8}{5})^2 = (\frac{35}{48} \cdot \frac{6}{7})^3 \cdot (\frac{8}{5})^2$
Упростим произведение в скобках, сократив дробь:
$\frac{35 \cdot 6}{48 \cdot 7} = \frac{5 \cdot 7 \cdot 6}{6 \cdot 8 \cdot 7} = \frac{5}{8}$
Теперь исходное выражение выглядит так:
$(\frac{5}{8})^3 \cdot (\frac{8}{5})^2$
Применим свойство степени дроби $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$ и свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{5^3}{8^3} \cdot \frac{8^2}{5^2} = \frac{5^3}{5^2} \cdot \frac{8^2}{8^3} = 5^{3-2} \cdot 8^{2-3} = 5^1 \cdot 8^{-1} = 5 \cdot \frac{1}{8} = \frac{5}{8}$
Ответ: $\frac{5}{8}$

2) Сначала преобразуем десятичную дробь $2,5$ в обыкновенную. Затем, как и в предыдущем примере, сгруппируем множители с одинаковым показателем степени.
$2,5 = \frac{25}{10} = \frac{5}{2}$
Исходное выражение:
$(\frac{14}{15})^4 \cdot (\frac{3}{7})^4 \cdot (2,5)^3 = (\frac{14}{15} \cdot \frac{3}{7})^4 \cdot (\frac{5}{2})^3$
Упростим произведение в скобках:
$\frac{14 \cdot 3}{15 \cdot 7} = \frac{2 \cdot 7 \cdot 3}{3 \cdot 5 \cdot 7} = \frac{2}{5}$
Подставим полученное значение в выражение:
$(\frac{2}{5})^4 \cdot (\frac{5}{2})^3$
Чтобы упростить вычисление, приведем степени к одному основанию, используя свойство $(\frac{a}{b})^n = (\frac{b}{a})^{-n}$:
$(\frac{2}{5})^4 \cdot (\frac{2}{5})^{-3}$
Теперь используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$(\frac{2}{5})^{4 + (-3)} = (\frac{2}{5})^{4-3} = (\frac{2}{5})^1 = \frac{2}{5}$
Ответ: $\frac{2}{5}$

3) Для решения этого примера воспользуемся свойствами степеней: возведение степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$ и возведение дроби в степень $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$.
$(\frac{5^3}{6^2})^4 \cdot (\frac{2}{5})^5 \cdot (\frac{3}{5})^7 = \frac{(5^3)^4}{(6^2)^4} \cdot \frac{2^5}{5^5} \cdot \frac{3^7}{5^7} = \frac{5^{12}}{6^8} \cdot \frac{2^5}{5^5} \cdot \frac{3^7}{5^7}$
Объединим числители и знаменатели, а также разложим основание $6$ на простые множители ($6 = 2 \cdot 3$):
$\frac{5^{12} \cdot 2^5 \cdot 3^7}{6^8 \cdot 5^5 \cdot 5^7} = \frac{5^{12} \cdot 2^5 \cdot 3^7}{(2 \cdot 3)^8 \cdot 5^{5+7}} = \frac{5^{12} \cdot 2^5 \cdot 3^7}{2^8 \cdot 3^8 \cdot 5^{12}}$
Сгруппируем и сократим степени с одинаковыми основаниями:
$\frac{2^5}{2^8} \cdot \frac{3^7}{3^8} \cdot \frac{5^{12}}{5^{12}} = 2^{5-8} \cdot 3^{7-8} \cdot 5^{12-12} = 2^{-3} \cdot 3^{-1} \cdot 5^0$
Так как любое число в нулевой степени равно $1$, а $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$2^{-3} \cdot 3^{-1} \cdot 1 = \frac{1}{2^3} \cdot \frac{1}{3^1} = \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{24}$
Ответ: $\frac{1}{24}$

4) Раскроем скобки, применяя свойства степеней, как и в предыдущем примере.
$(\frac{7^4}{15^2})^3 \cdot (\frac{5}{7})^6 \cdot (\frac{3}{7})^5 = \frac{(7^4)^3}{(15^2)^3} \cdot \frac{5^6}{7^6} \cdot \frac{3^5}{7^5} = \frac{7^{12}}{15^6} \cdot \frac{5^6}{7^6} \cdot \frac{3^5}{7^5}$
Объединим дроби и разложим основание $15$ на простые множители ($15 = 3 \cdot 5$):
$\frac{7^{12} \cdot 5^6 \cdot 3^5}{15^6 \cdot 7^6 \cdot 7^5} = \frac{7^{12} \cdot 5^6 \cdot 3^5}{(3 \cdot 5)^6 \cdot 7^{6+5}} = \frac{7^{12} \cdot 5^6 \cdot 3^5}{3^6 \cdot 5^6 \cdot 7^{11}}$
Сгруппируем и сократим степени с одинаковыми основаниями:
$\frac{3^5}{3^6} \cdot \frac{5^6}{5^6} \cdot \frac{7^{12}}{7^{11}} = 3^{5-6} \cdot 5^{6-6} \cdot 7^{12-11} = 3^{-1} \cdot 5^0 \cdot 7^1$
Упростим полученное выражение:
$\frac{1}{3} \cdot 1 \cdot 7 = \frac{7}{3}$
Ответ: $\frac{7}{3}$