Номер 366, страница 117 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

366. При каком значении $n$ верно равенство:

1) $3^n = 9$;

2) $128 = 2^n$;

3) $(2^2)^n = 16$;

4) $(3^n)^2 = 81?$

1) Чтобы найти значение n в уравнении $3^n = 9$, необходимо представить обе части уравнения в виде степени с одинаковым основанием. Число 9 можно представить как степень числа 3: $9 = 3^2$.
Подставив это значение в уравнение, получаем:
$3^n = 3^2$
Поскольку основания степеней в обеих частях уравнения равны (оба равны 3), мы можем приравнять их показатели:
$n = 2$
Ответ: $n=2$.

2) В уравнении $128 = 2^n$ необходимо представить число 128 в виде степени с основанием 2.
Выполним последовательное возведение числа 2 в степень: $2^1=2$, $2^2=4$, $2^3=8$, $2^4=16$, $2^5=32$, $2^6=64$, $2^7=128$.
Таким образом, $128 = 2^7$.
Уравнение принимает вид:
$2^7 = 2^n$
Так как основания степеней одинаковы, приравниваем их показатели:
$n = 7$
Ответ: $n=7$.

3) Рассмотрим уравнение $(2^2)^n = 16$.
Сначала упростим левую часть уравнения, используя свойство возведения степени в степень: $(a^m)^k = a^{m \cdot k}$.
$(2^2)^n = 2^{2 \cdot n} = 2^{2n}$
Теперь представим правую часть уравнения, число 16, в виде степени с основанием 2. Мы знаем, что $16 = 2^4$.
Получаем следующее уравнение:
$2^{2n} = 2^4$
Приравниваем показатели степеней, так как основания равны:
$2n = 4$
Решаем полученное линейное уравнение относительно n:
$n = \frac{4}{2}$
$n = 2$
Ответ: $n=2$.

4) Решим уравнение $(3^n)^2 = 81$.
Упростим левую часть, применив свойство возведения степени в степень $(a^m)^k = a^{m \cdot k}$:
$(3^n)^2 = 3^{n \cdot 2} = 3^{2n}$
Далее, представим правую часть уравнения, число 81, как степень с основанием 3. Так как $81 = 9 \cdot 9 = 3^2 \cdot 3^2 = 3^4$.
Уравнение принимает вид:
$3^{2n} = 3^4$
Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:
$2n = 4$
Находим значение n:
$n = \frac{4}{2}$
$n = 2$
Ответ: $n=2$.