Страница 117 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

355. 1) $\frac{2^8 \cdot 3^8}{6^5}$;

2) $\frac{4^5 \cdot 3^5}{12^3}$;

3) $\frac{10^5}{2^5 \cdot 5^5}$;

4) $\frac{14^4}{2^3 \cdot 7^3}$.

1) Для упрощения дроби $\frac{2^8 \cdot 3^8}{6^5}$ воспользуемся свойствами степеней. Сначала преобразуем числитель, используя правило умножения степеней с одинаковыми показателями ($a^n \cdot b^n = (ab)^n$): $2^8 \cdot 3^8 = (2 \cdot 3)^8 = 6^8$. Теперь наша дробь выглядит так: $\frac{6^8}{6^5}$. Далее применяем правило деления степеней с одинаковым основанием ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$): $\frac{6^8}{6^5} = 6^{8-5} = 6^3$. Вычисляем значение: $6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216$.
Ответ: 216

2) Рассмотрим выражение $\frac{4^5 \cdot 3^5}{12^3}$. Как и в предыдущем примере, упростим числитель, применив свойство $a^n \cdot b^n = (ab)^n$: $4^5 \cdot 3^5 = (4 \cdot 3)^5 = 12^5$. Получаем дробь $\frac{12^5}{12^3}$. Теперь, используя правило деления степеней с одинаковым основанием, находим: $12^{5-3} = 12^2$. Вычисляем результат: $12^2 = 144$.
Ответ: 144

3) Упростим дробь $\frac{10^5}{2^5 \cdot 5^5}$. Сначала преобразуем знаменатель, используя свойство $a^n \cdot b^n = (ab)^n$: $2^5 \cdot 5^5 = (2 \cdot 5)^5 = 10^5$. Таким образом, выражение принимает вид $\frac{10^5}{10^5}$. Любое число (кроме нуля), деленное на само себя, равно 1. Следовательно, $\frac{10^5}{10^5} = 1$.
Ответ: 1

4) Решим пример $\frac{14^4}{2^3 \cdot 7^3}$. Сначала преобразуем числитель, представив основание 14 в виде произведения простых чисел: $14^4 = (2 \cdot 7)^4$. Используя свойство степени произведения ($(ab)^n = a^n \cdot b^n$), получаем: $(2 \cdot 7)^4 = 2^4 \cdot 7^4$. Дробь принимает вид $\frac{2^4 \cdot 7^4}{2^3 \cdot 7^3}$. Теперь сгруппируем степени с одинаковыми основаниями: $\frac{2^4}{2^3} \cdot \frac{7^4}{7^3}$. Применяем правило деления степеней: $2^{4-3} \cdot 7^{4-3} = 2^1 \cdot 7^1 = 2 \cdot 7 = 14$.
Ответ: 14

356. 1) $\frac{81 \cdot 27^3}{3^8}$;

2) $\frac{2^8 \cdot (7^2)^4}{14^7}$;

3) $\frac{16^2 \cdot 3^5}{12^4}$;

4) $\frac{2^9 \cdot (2^2)^5}{(2^5)^3}$.

1) Чтобы упростить выражение $\frac{81 \cdot 27^3}{3^8}$, представим все числа в виде степени с основанием 3.
Число 81 можно представить как $3^4$.
Число 27 можно представить как $3^3$. Тогда $27^3 = (3^3)^3$.
Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем $(3^3)^3 = 3^{3 \cdot 3} = 3^9$.
Подставим полученные значения в исходное выражение:
$\frac{81 \cdot 27^3}{3^8} = \frac{3^4 \cdot 3^9}{3^8}$.
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):
$3^4 \cdot 3^9 = 3^{4+9} = 3^{13}$.
Теперь выражение выглядит так: $\frac{3^{13}}{3^8}$.
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$):
$\frac{3^{13}}{3^8} = 3^{13-8} = 3^5$.
Вычислим значение: $3^5 = 243$.
Ответ: 243.

2) Рассмотрим выражение $\frac{2^8 \cdot (7^2)^4}{14^7}$.
Сначала упростим числитель. Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(7^2)^4 = 7^{2 \cdot 4} = 7^8$.
Числитель принимает вид $2^8 \cdot 7^8$. Используя свойство $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$, получаем $2^8 \cdot 7^8 = (2 \cdot 7)^8 = 14^8$.
Подставим упрощенный числитель в исходное выражение: $\frac{14^8}{14^7}$.
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются: $14^{8-7} = 14^1 = 14$.
Ответ: 14.

3) Чтобы решить $\frac{16^2 \cdot 3^5}{12^4}$, разложим основания 16 и 12 на простые множители (2 и 3).
Представим 16 как степень двойки: $16 = 2^4$. Тогда $16^2 = (2^4)^2 = 2^{4 \cdot 2} = 2^8$.
Представим 12 как произведение простых множителей: $12 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$. Тогда $12^4 = (2^2 \cdot 3)^4 = (2^2)^4 \cdot 3^4 = 2^{2 \cdot 4} \cdot 3^4 = 2^8 \cdot 3^4$.
Подставим полученные выражения в исходную дробь:
$\frac{2^8 \cdot 3^5}{2^8 \cdot 3^4}$.
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и сократим их:
$\frac{2^8}{2^8} \cdot \frac{3^5}{3^4} = 2^{8-8} \cdot 3^{5-4} = 2^0 \cdot 3^1$.
Так как любое число в нулевой степени равно 1 ($a^0=1$), получаем: $1 \cdot 3 = 3$.
Ответ: 3.

4) Рассмотрим выражение $\frac{2^9 \cdot (2^2)^5}{(2^5)^3}$. Все основания уже равны 2, поэтому нужно только упростить показатели степеней.
Упростим числитель, используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(2^2)^5 = 2^{2 \cdot 5} = 2^{10}$.
Теперь числитель равен $2^9 \cdot 2^{10}$. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:
$2^9 \cdot 2^{10} = 2^{9+10} = 2^{19}$.
Упростим знаменатель:
$(2^5)^3 = 2^{5 \cdot 3} = 2^{15}$.
Теперь дробь имеет вид $\frac{2^{19}}{2^{15}}$.
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:
$2^{19-15} = 2^4$.
Вычислим значение: $2^4 = 16$.
Ответ: 16.

Возвести в степень дробь (357–359).

357. 1) $(\frac{2}{3})^2$;

2) $(-\frac{5}{7})^2$;

3) $(-\frac{3}{a})^2$;

4) $(\frac{b}{8})^3$.

1) Чтобы возвести дробь в степень, необходимо возвести в эту степень и числитель, и знаменатель дроби. Используем правило $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$.
$(\frac{2}{3})^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 3} = \frac{4}{9}$.
Ответ: $\frac{4}{9}$.

2) При возведении отрицательной дроби в четную степень (в данном случае, 2) результат будет положительным числом, так как минус на минус дает плюс.
$(-\frac{5}{7})^2 = \frac{(-5)^2}{7^2} = \frac{(-5) \cdot (-5)}{7 \cdot 7} = \frac{25}{49}$.
Ответ: $\frac{25}{49}$.

3) Аналогично предыдущему примеру, возводим отрицательную дробь в четную степень, поэтому знак "минус" исчезает.
$(-\frac{3}{a})^2 = \frac{(-3)^2}{a^2} = \frac{9}{a^2}$.
Ответ: $\frac{9}{a^2}$.

4) Возводим дробь в третью степень (в куб), применяя то же правило: возводим числитель и знаменатель в степень 3.
$(\frac{b}{8})^3 = \frac{b^3}{8^3} = \frac{b^3}{8 \cdot 8 \cdot 8} = \frac{b^3}{512}$.
Ответ: $\frac{b^3}{512}$.

358. 1) $(\frac{a}{2b})^4$;

2) $(\frac{3b}{5c})^4$;

3) $(\frac{2^3}{3^2})^7$;

4) $(\frac{5^2}{7^4})^3$.

1)

Чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в эту степень и числитель, и знаменатель дроби. Это соответствует свойству степени $(\frac{x}{y})^n = \frac{x^n}{y^n}$.

$(\frac{a}{2b})^4 = \frac{a^4}{(2b)^4}$

Далее, для возведения произведения в степень, нужно возвести в эту степень каждый множитель. Используем свойство $(xy)^n = x^n y^n$.

$\frac{a^4}{(2b)^4} = \frac{a^4}{2^4 \cdot b^4} = \frac{a^4}{16b^4}$

Ответ: $\frac{a^4}{16b^4}$

2)

Используем те же свойства степеней, что и в первом пункте. Сначала возводим в степень дробь, а затем — произведения в числителе и знаменателе.

$(\frac{3b}{5c})^4 = \frac{(3b)^4}{(5c)^4} = \frac{3^4 \cdot b^4}{5^4 \cdot c^4}$

Вычисляем числовые коэффициенты: $3^4 = 81$ и $5^4 = 625$.

$\frac{81b^4}{625c^4}$

Ответ: $\frac{81b^4}{625c^4}$

3)

Здесь мы применяем правило возведения дроби в степень, а затем правило возведения степени в степень: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.

$(\frac{2^3}{3^2})^7 = \frac{(2^3)^7}{(3^2)^7}$

Теперь умножаем показатели степеней:

$\frac{2^{3 \cdot 7}}{3^{2 \cdot 7}} = \frac{2^{21}}{3^{14}}$

Ответ: $\frac{2^{21}}{3^{14}}$

4)

Действуем аналогично предыдущему пункту, применяя последовательно два свойства степеней.

$(\frac{5^2}{7^4})^3 = \frac{(5^2)^3}{(7^4)^3}$

Перемножаем показатели степеней для числителя и знаменателя:

$\frac{5^{2 \cdot 3}}{7^{4 \cdot 3}} = \frac{5^6}{7^{12}}$

Ответ: $\frac{5^6}{7^{12}}$

359. 1) $(\frac{a+b}{3})^3$;

2) $(\frac{7}{2+c})^2$;

3) $(\frac{m+n}{m-n})^5$;

4) $(\frac{a+b}{a-b})^7$.

1) Чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в эту степень и числитель, и знаменатель дроби. Согласно правилу возведения дроби в степень: $(\frac{x}{y})^n = \frac{x^n}{y^n}$.
Применим это правило к выражению $(\frac{a+b}{3})^3$:
$(\frac{a+b}{3})^3 = \frac{(a+b)^3}{3^3}$
Теперь вычислим знаменатель: $3^3 = 27$.
Таким образом, итоговое выражение:
$\frac{(a+b)^3}{27}$
Ответ: $\frac{(a+b)^3}{27}$

2) Используем то же правило возведения дроби в степень для выражения $(\frac{7}{2+c})^2$:
$(\frac{7}{2+c})^2 = \frac{7^2}{(2+c)^2}$
Вычислим числитель: $7^2 = 49$.
В результате получаем дробь:
$\frac{49}{(2+c)^2}$
Ответ: $\frac{49}{(2+c)^2}$

3) Снова применяем правило $(\frac{x}{y})^n = \frac{x^n}{y^n}$ к выражению $(\frac{m+n}{m-n})^5$:
$(\frac{m+n}{m-n})^5 = \frac{(m+n)^5}{(m-n)^5}$
Дальнейшие упрощения или раскрытие скобок не требуются, так как это приведет к очень громоздкому выражению.
Ответ: $\frac{(m+n)^5}{(m-n)^5}$

4) Аналогично предыдущим примерам, используем правило возведения дроби в степень для выражения $(\frac{a+b}{a-b})^7$:
$(\frac{a+b}{a-b})^7 = \frac{(a+b)^7}{(a-b)^7}$
Это является окончательной формой ответа.
Ответ: $\frac{(a+b)^7}{(a-b)^7}$

Записать в виде степени (360–361).

360.

1) $\frac{3^7}{4^7}$;

2) $\frac{2^5}{5^5}$;

3) $\frac{m^3}{2^3}$;

4) $\frac{5^7}{a^7}$.

1) Чтобы записать выражение $\frac{3^7}{4^7}$ в виде степени, необходимо применить свойство степени частного. Это свойство гласит, что частное двух степеней с одинаковыми показателями равно степени с тем же показателем, основанием которой является частное оснований: $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$.
В данном случае числитель $3^7$ и знаменатель $4^7$ имеют одинаковый показатель степени $n=7$. Основаниями являются $3$ и $4$.
Применив правило, получаем:
$\frac{3^7}{4^7} = (\frac{3}{4})^7$.
Ответ: $(\frac{3}{4})^7$.

2) Для выражения $\frac{2^5}{5^5}$ используется то же свойство степени частного.
Здесь числитель и знаменатель имеют одинаковый показатель степени $n=5$. Основания равны $2$ и $5$.
Применяя правило $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$, получаем:
$\frac{2^5}{5^5} = (\frac{2}{5})^5$.
Ответ: $(\frac{2}{5})^5$.

3) Выражение $\frac{m^3}{2^3}$ преобразуется аналогично.
Показатель степени для числителя и знаменателя равен $n=3$. Основаниями являются переменная $m$ и число $2$.
Используя свойство степени частного $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$, получаем:
$\frac{m^3}{2^3} = (\frac{m}{2})^3$.
Ответ: $(\frac{m}{2})^3$.

4) Для выражения $\frac{5^7}{a^7}$ также применяется свойство степени частного.
Общий показатель степени равен $n=7$. Основаниями являются число $5$ и переменная $a$ (при условии, что $a \neq 0$).
Применяя правило $\frac{x^n}{y^n} = (\frac{x}{y})^n$, получаем:
$\frac{5^7}{a^7} = (\frac{5}{a})^7$.
Ответ: $(\frac{5}{a})^7$.

361. 1) $\frac{(2a)^2}{(3b)^2}$;

2) $\frac{(4x)^4}{(3y)^4}$;

3) $-\frac{1}{8}$;

4) $-\frac{1}{27}$.

1) Чтобы представить выражение $\frac{(2a)^2}{(3b)^2}$ в виде степени дроби, воспользуемся свойством степени частного: $\frac{x^n}{y^n} = (\frac{x}{y})^n$. В данном случае основание числителя $x = 2a$, основание знаменателя $y = 3b$ и показатель степени $n = 2$. Применяя это свойство, получаем:
$\frac{(2a)^2}{(3b)^2} = (\frac{2a}{3b})^2$.
Ответ: $(\frac{2a}{3b})^2$.

2) Аналогично предыдущему примеру, используем свойство степени частного $\frac{x^n}{y^n} = (\frac{x}{y})^n$ для выражения $\frac{(4x)^4}{(3y)^4}$. Здесь основание числителя $x = 4x$, основание знаменателя $y = 3y$ и показатель степени $n = 4$. Получаем:
$\frac{(4x)^4}{(3y)^4} = (\frac{4x}{3y})^4$.
Ответ: $(\frac{4x}{3y})^4$.

3) Требуется представить дробь $\frac{1}{8}$ в виде степени. Заметим, что числитель $1$ можно представить как $1$ в любой степени, например, $1^3$. Знаменатель $8$ можно представить как $2^3$. Тогда дробь примет вид:
$\frac{1}{8} = \frac{1^3}{2^3}$.
Используя свойство степени частного $\frac{x^n}{y^n} = (\frac{x}{y})^n$, получаем:
$(\frac{1}{2})^3$.
Ответ: $(\frac{1}{2})^3$.

4) Необходимо представить выражение $-\frac{1}{27}$ в виде степени. Сначала представим положительную дробь $\frac{1}{27}$ в виде степени. Знаменатель $27$ равен $3^3$, а числитель $1$ равен $1^3$. Таким образом:
$\frac{1}{27} = \frac{1^3}{3^3} = (\frac{1}{3})^3$.
Теперь вернем знак минус: $-\frac{1}{27} = -(\frac{1}{3})^3$.
Поскольку показатель степени $3$ является нечетным числом, знак минус можно внести внутрь скобок, так как для любого нечетного $n$ верно равенство $-a^n = (-a)^n$.
Следовательно, $-(\frac{1}{3})^3 = (-\frac{1}{3})^3$.
Ответ: $(-\frac{1}{3})^3$.

Пусть n, m, k — натуральные числа. Представить выражение в виде степени (362—365).

362. 1) $4^n \cdot 4^5$;

2) $3^8 \cdot 3^n$;

3) $c^{28} \cdot c^n$;

4) $a^n \cdot a^{13}$.

Для решения всех пунктов используется свойство умножения степеней с одинаковым основанием: при умножении степеней их основание остается прежним, а показатели складываются. В общем виде это правило записывается формулой: $a^m \cdot a^k = a^{m+k}$.

В выражении $4^n \cdot 4^5$ основание степени равно $4$, а показатели — $n$ и $5$. Чтобы представить данное произведение в виде степени, нужно сложить показатели, оставив основание без изменений.

$4^n \cdot 4^5 = 4^{n+5}$

Ответ: $4^{n+5}$

В выражении $3^8 \cdot 3^n$ основание степени равно $3$, а показатели — $8$ и $n$. Применяем то же правило сложения показателей.

$3^8 \cdot 3^n = 3^{8+n}$

Ответ: $3^{8+n}$

Для выражения $c^{28} \cdot c^n$ основание степени — это переменная $c$, а показатели равны $28$ и $n$. Складываем показатели степеней.

$c^{28} \cdot c^n = c^{28+n}$

Ответ: $c^{28+n}$

В выражении $a^n \cdot a^{13}$ основание степени — это переменная $a$, а показатели — $n$ и $13$. Представим произведение в виде степени, сложив показатели.

$a^n \cdot a^{13} = a^{n+13}$

Ответ: $a^{n+13}$

863. 1) $y^k \cdot y^m$;

2) $b^n \cdot b^k$;

3) $5^{4k} \cdot 5^4$;

4) $3^{3n} \cdot 3^{3m}$.

1) Для решения данного примера используется свойство умножения степеней с одинаковым основанием. Согласно этому свойству, чтобы умножить степени с одинаковым основанием, необходимо основание оставить без изменений, а показатели степеней сложить. Формула этого свойства: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

В выражении $y^n \cdot y^m$ основанием является $y$, а показателями степеней — $n$ и $m$. Применим правило:

$y^n \cdot y^m = y^{n+m}$

Ответ: $y^{n+m}$

2) Используем то же свойство умножения степеней, что и в предыдущем примере. В выражении $b^n \cdot b^k$ основание равно $b$, а показатели степеней — $n$ и $k$.

Складываем показатели, оставляя основание прежним:

$b^n \cdot b^k = b^{n+k}$

Ответ: $b^{n+k}$

3) В этом примере мы также умножаем степени с одинаковым основанием. Основание равно $5$, а показатели степеней — $4k$ и $4$.

Применяя правило $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем:

$5^{4k} \cdot 5^4 = 5^{4k+4}$

Ответ: $5^{4k+4}$

4) Аналогично предыдущим заданиям, упростим выражение $3^{3n} \cdot 3^{3m}$. Основание степени — $3$, а показатели — $3n$ и $3m$.

Складываем показатели степеней:

$3^{3n} \cdot 3^{3m} = 3^{3n+3m}$

Ответ: $3^{3n+3m}$

364. 1) $2^{2n} : 2^n$;

2) $2^{3n} : 2^{2n}$;

3) $2^{4n+1} : 2^{2n}$;

4) $2^{4n+5} : 2^{n+2}$.

1) $2^{2n} : 2^n$
Для решения этой и последующих задач используется свойство деления степеней с одинаковым основанием, которое выражается формулой $a^m : a^n = a^{m-n}$. Согласно этому правилу, при делении степеней основание остается прежним, а из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя.
В данном примере основание равно 2. Вычитаем показатели: $2n - n = n$.
Следовательно, выражение равно: $2^{2n-n} = 2^n$.
Ответ: $2^n$.

2) $2^{3n} : 2^{2n}$
Используем то же свойство степеней. Основание равно 2. Вычитаем из показателя степени делимого $3n$ показатель степени делителя $2n$.
$2^{3n} : 2^{2n} = 2^{3n - 2n} = 2^n$.
Ответ: $2^n$.

3) $2^{4n+1} : 2^{2n}$
Основание степени равно 2. Вычитаем из показателя $4n+1$ показатель $2n$.
$2^{4n+1} : 2^{2n} = 2^{(4n+1) - 2n} = 2^{4n - 2n + 1} = 2^{2n+1}$.
Ответ: $2^{2n+1}$.

4) $2^{4n+5} : 2^{n+2}$
Основание степени равно 2. Вычитаем из показателя $4n+5$ показатель $n+2$. Важно помнить, что вычитается все выражение $(n+2)$, поэтому его необходимо взять в скобки и при раскрытии поменять знаки.
$2^{4n+5} : 2^{n+2} = 2^{(4n+5) - (n+2)} = 2^{4n+5-n-2}$.
Теперь приведем подобные слагаемые в показателе: $(4n-n) + (5-2) = 3n+3$.
В результате получаем: $2^{3n+3}$.
Ответ: $2^{3n+3}$.

365. 1) $3^{4n} : 3^{3n}$

2) $3^{6n} : 3^{2n}$

3) $3^{n+3} : 3^{n+1}$

4) $3^{n+6} : 3^{n+2}$

1) Для деления степеней с одинаковым основанием, как в выражении $3^{4n} : 3^{3n}$, используется правило, согласно которому основание остается тем же, а показатели вычитаются: $a^m : a^n = a^{m-n}$. В данном случае основание равно 3. Выполним вычитание показателей: $4n - 3n = n$.
Таким образом, получаем:
$3^{4n} : 3^{3n} = 3^{4n - 3n} = 3^n$.
Ответ: $3^n$

2) Используя то же правило для выражения $3^{6n} : 3^{2n}$, вычитаем показатели степеней: $6n - 2n = 4n$.
Получаем следующий результат:
$3^{6n} : 3^{2n} = 3^{6n - 2n} = 3^{4n}$.
Ответ: $3^{4n}$

3) В выражении $3^{n+3} : 3^{n+1}$ основание также равно 3. Вычтем из показателя $n+3$ показатель $n+1$: $(n+3) - (n+1) = n+3-n-1=2$.
Следовательно:
$3^{n+3} : 3^{n+1} = 3^{(n+3) - (n+1)} = 3^2 = 9$.
Ответ: $9$

4) Для выражения $3^{n+6} : 3^{n-2}$ выполним вычитание показателей степеней: $(n+6) - (n-2) = n+6-n+2=8$.
Теперь вычислим значение:
$3^{n+6} : 3^{n-2} = 3^{(n+6) - (n-2)} = 3^8 = 6561$.
Ответ: $6561$

366. При каком значении $n$ верно равенство:

1) $3^n = 9$;

2) $128 = 2^n$;

3) $(2^2)^n = 16$;

4) $(3^n)^2 = 81?$

1) Чтобы найти значение n в уравнении $3^n = 9$, необходимо представить обе части уравнения в виде степени с одинаковым основанием. Число 9 можно представить как степень числа 3: $9 = 3^2$.
Подставив это значение в уравнение, получаем:
$3^n = 3^2$
Поскольку основания степеней в обеих частях уравнения равны (оба равны 3), мы можем приравнять их показатели:
$n = 2$
Ответ: $n=2$.

2) В уравнении $128 = 2^n$ необходимо представить число 128 в виде степени с основанием 2.
Выполним последовательное возведение числа 2 в степень: $2^1=2$, $2^2=4$, $2^3=8$, $2^4=16$, $2^5=32$, $2^6=64$, $2^7=128$.
Таким образом, $128 = 2^7$.
Уравнение принимает вид:
$2^7 = 2^n$
Так как основания степеней одинаковы, приравниваем их показатели:
$n = 7$
Ответ: $n=7$.

3) Рассмотрим уравнение $(2^2)^n = 16$.
Сначала упростим левую часть уравнения, используя свойство возведения степени в степень: $(a^m)^k = a^{m \cdot k}$.
$(2^2)^n = 2^{2 \cdot n} = 2^{2n}$
Теперь представим правую часть уравнения, число 16, в виде степени с основанием 2. Мы знаем, что $16 = 2^4$.
Получаем следующее уравнение:
$2^{2n} = 2^4$
Приравниваем показатели степеней, так как основания равны:
$2n = 4$
Решаем полученное линейное уравнение относительно n:
$n = \frac{4}{2}$
$n = 2$
Ответ: $n=2$.

4) Решим уравнение $(3^n)^2 = 81$.
Упростим левую часть, применив свойство возведения степени в степень $(a^m)^k = a^{m \cdot k}$:
$(3^n)^2 = 3^{n \cdot 2} = 3^{2n}$
Далее, представим правую часть уравнения, число 81, как степень с основанием 3. Так как $81 = 9 \cdot 9 = 3^2 \cdot 3^2 = 3^4$.
Уравнение принимает вид:
$3^{2n} = 3^4$
Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:
$2n = 4$
Находим значение n:
$n = \frac{4}{2}$
$n = 2$
Ответ: $n=2$.

Вычислить (367-368).

367. 1) $\frac{6^{12} \cdot 4^{12}}{3^{12} \cdot 8^{12}}$;

2) $\frac{4^{10} \cdot 3^{10}}{2^{10} \cdot 6^{10}}$;

3) $\frac{15^4}{3^4 \cdot 5^2 \cdot 25}$;

4) $\frac{4^{16}}{8^{10}}$.

1) Для вычисления выражения $\frac{6^{12} \cdot 4^{12}}{3^{12} \cdot 8^{12}}$ воспользуемся свойством степеней: $\frac{a^n \cdot b^n}{c^n \cdot d^n} = (\frac{a \cdot b}{c \cdot d})^n$. Поскольку все множители возведены в одну и ту же степень 12, мы можем сгруппировать основания:
$(\frac{6 \cdot 4}{3 \cdot 8})^{12} = (\frac{24}{24})^{12} = 1^{12}$
Любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1, а 1 в любой степени равно 1.
$1^{12} = 1$
Ответ: 1.

2) Для вычисления выражения $\frac{4^{10} \cdot 3^{10}}{2^{10} \cdot 6^{10}}$ поступим аналогично первому пункту, так как все степени одинаковы и равны 10.
$(\frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 6})^{10} = (\frac{12}{12})^{10} = 1^{10} = 1$
Ответ: 1.

3) Рассмотрим выражение $\frac{15^4}{3^4 \cdot 5^2 \cdot 25}$.
Преобразуем знаменатель, представив число 25 как степень пятерки: $25 = 5^2$.
Знаменатель примет вид: $3^4 \cdot 5^2 \cdot 5^2$.
Используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), получим:
$3^4 \cdot 5^{2+2} = 3^4 \cdot 5^4$.
Теперь, используя свойство произведения степеней ($(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$), можем записать знаменатель как:
$3^4 \cdot 5^4 = (3 \cdot 5)^4 = 15^4$.
Подставим полученное значение в исходное выражение:
$\frac{15^4}{15^4} = 1$
Ответ: 1.

4) Для вычисления выражения $\frac{4^{16}}{8^{10}}$ необходимо привести основания степеней к одному числу. Заметим, что 4 и 8 являются степенями числа 2.
$4 = 2^2$
$8 = 2^3$
Подставим эти значения в выражение:
$\frac{(2^2)^{16}}{(2^3)^{10}}$
Используем свойство возведения степени в степень ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$):
$\frac{2^{2 \cdot 16}}{2^{3 \cdot 10}} = \frac{2^{32}}{2^{30}}$
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$):
$2^{32-30} = 2^2$
Вычислим конечный результат:
$2^2 = 4$
Ответ: 4.

368. 1) $\left(\frac{35}{48}\right)^3 \cdot \left(\frac{6}{7}\right)^3 \cdot \left(1\frac{3}{5}\right)^2;$

2) $\left(\frac{14}{15}\right)^4 \cdot \left(\frac{3}{7}\right)^4 \cdot (2.5)^3;$

3) $\left(\frac{5^3}{6^2}\right)^4 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^5 \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^7;$

4) $\left(\frac{7^4}{15^2}\right)^3 \cdot \left(\frac{5}{7}\right)^6 \cdot \left(\frac{3}{7}\right)^5 \cdot$

1) Для решения данного примера сначала преобразуем смешанную дробь $1\frac{3}{5}$ в неправильную. Затем используем свойство произведения степеней с одинаковым показателем $a^n \cdot b^n = (ab)^n$ для первых двух множителей.
$1\frac{3}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{8}{5}$
Выражение принимает вид:
$(\frac{35}{48})^3 \cdot (\frac{6}{7})^3 \cdot (\frac{8}{5})^2 = (\frac{35}{48} \cdot \frac{6}{7})^3 \cdot (\frac{8}{5})^2$
Упростим произведение в скобках, сократив дробь:
$\frac{35 \cdot 6}{48 \cdot 7} = \frac{5 \cdot 7 \cdot 6}{6 \cdot 8 \cdot 7} = \frac{5}{8}$
Теперь исходное выражение выглядит так:
$(\frac{5}{8})^3 \cdot (\frac{8}{5})^2$
Применим свойство степени дроби $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$ и свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{5^3}{8^3} \cdot \frac{8^2}{5^2} = \frac{5^3}{5^2} \cdot \frac{8^2}{8^3} = 5^{3-2} \cdot 8^{2-3} = 5^1 \cdot 8^{-1} = 5 \cdot \frac{1}{8} = \frac{5}{8}$
Ответ: $\frac{5}{8}$

2) Сначала преобразуем десятичную дробь $2,5$ в обыкновенную. Затем, как и в предыдущем примере, сгруппируем множители с одинаковым показателем степени.
$2,5 = \frac{25}{10} = \frac{5}{2}$
Исходное выражение:
$(\frac{14}{15})^4 \cdot (\frac{3}{7})^4 \cdot (2,5)^3 = (\frac{14}{15} \cdot \frac{3}{7})^4 \cdot (\frac{5}{2})^3$
Упростим произведение в скобках:
$\frac{14 \cdot 3}{15 \cdot 7} = \frac{2 \cdot 7 \cdot 3}{3 \cdot 5 \cdot 7} = \frac{2}{5}$
Подставим полученное значение в выражение:
$(\frac{2}{5})^4 \cdot (\frac{5}{2})^3$
Чтобы упростить вычисление, приведем степени к одному основанию, используя свойство $(\frac{a}{b})^n = (\frac{b}{a})^{-n}$:
$(\frac{2}{5})^4 \cdot (\frac{2}{5})^{-3}$
Теперь используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$(\frac{2}{5})^{4 + (-3)} = (\frac{2}{5})^{4-3} = (\frac{2}{5})^1 = \frac{2}{5}$
Ответ: $\frac{2}{5}$

3) Для решения этого примера воспользуемся свойствами степеней: возведение степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$ и возведение дроби в степень $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$.
$(\frac{5^3}{6^2})^4 \cdot (\frac{2}{5})^5 \cdot (\frac{3}{5})^7 = \frac{(5^3)^4}{(6^2)^4} \cdot \frac{2^5}{5^5} \cdot \frac{3^7}{5^7} = \frac{5^{12}}{6^8} \cdot \frac{2^5}{5^5} \cdot \frac{3^7}{5^7}$
Объединим числители и знаменатели, а также разложим основание $6$ на простые множители ($6 = 2 \cdot 3$):
$\frac{5^{12} \cdot 2^5 \cdot 3^7}{6^8 \cdot 5^5 \cdot 5^7} = \frac{5^{12} \cdot 2^5 \cdot 3^7}{(2 \cdot 3)^8 \cdot 5^{5+7}} = \frac{5^{12} \cdot 2^5 \cdot 3^7}{2^8 \cdot 3^8 \cdot 5^{12}}$
Сгруппируем и сократим степени с одинаковыми основаниями:
$\frac{2^5}{2^8} \cdot \frac{3^7}{3^8} \cdot \frac{5^{12}}{5^{12}} = 2^{5-8} \cdot 3^{7-8} \cdot 5^{12-12} = 2^{-3} \cdot 3^{-1} \cdot 5^0$
Так как любое число в нулевой степени равно $1$, а $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$2^{-3} \cdot 3^{-1} \cdot 1 = \frac{1}{2^3} \cdot \frac{1}{3^1} = \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{24}$
Ответ: $\frac{1}{24}$

4) Раскроем скобки, применяя свойства степеней, как и в предыдущем примере.
$(\frac{7^4}{15^2})^3 \cdot (\frac{5}{7})^6 \cdot (\frac{3}{7})^5 = \frac{(7^4)^3}{(15^2)^3} \cdot \frac{5^6}{7^6} \cdot \frac{3^5}{7^5} = \frac{7^{12}}{15^6} \cdot \frac{5^6}{7^6} \cdot \frac{3^5}{7^5}$
Объединим дроби и разложим основание $15$ на простые множители ($15 = 3 \cdot 5$):
$\frac{7^{12} \cdot 5^6 \cdot 3^5}{15^6 \cdot 7^6 \cdot 7^5} = \frac{7^{12} \cdot 5^6 \cdot 3^5}{(3 \cdot 5)^6 \cdot 7^{6+5}} = \frac{7^{12} \cdot 5^6 \cdot 3^5}{3^6 \cdot 5^6 \cdot 7^{11}}$
Сгруппируем и сократим степени с одинаковыми основаниями:
$\frac{3^5}{3^6} \cdot \frac{5^6}{5^6} \cdot \frac{7^{12}}{7^{11}} = 3^{5-6} \cdot 5^{6-6} \cdot 7^{12-11} = 3^{-1} \cdot 5^0 \cdot 7^1$
Упростим полученное выражение:
$\frac{1}{3} \cdot 1 \cdot 7 = \frac{7}{3}$
Ответ: $\frac{7}{3}$

369. Найти шестую степень числа, если;

1) его квадрат равен 0,25; 400; $11 \frac{1}{9}$;

2) его куб равен 0,008; 125; $3 \frac{3}{8}$; $37 \frac{1}{27}$.

Пусть искомое число — это $x$. Задача состоит в том, чтобы найти $x^6$. Для решения воспользуемся свойством степеней: $x^6 = (x^2)^3 = (x^3)^2$.

1) его квадрат равен 0,25; 400; $11\frac{1}{9}$

Если нам известен квадрат числа ($x^2$), то для нахождения его шестой степени ($x^6$) необходимо возвести данное значение в куб.

Для $x^2 = 0,25$:
$x^6 = (x^2)^3 = (0,25)^3 = 0,25 \cdot 0,25 \cdot 0,25 = 0,015625$.
Ответ: 0,015625.

Для $x^2 = 400$:
$x^6 = (x^2)^3 = (400)^3 = 400 \cdot 400 \cdot 400 = 64\;000\;000$.
Ответ: 64 000 000.

Для $x^2 = 11\frac{1}{9}$:
Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $11\frac{1}{9} = \frac{11 \cdot 9 + 1}{9} = \frac{100}{9}$.
Теперь возводим полученную дробь в куб: $x^6 = (\frac{100}{9})^3 = \frac{100^3}{9^3} = \frac{1\;000\;000}{729}$.
Ответ: $\frac{1000000}{729}$.

2) его куб равен 0,008; 125; $3\frac{3}{8}$; $37\frac{1}{27}$

Если нам известен куб числа ($x^3$), то для нахождения его шестой степени ($x^6$) необходимо возвести данное значение в квадрат.

Для $x^3 = 0,008$:
$x^6 = (x^3)^2 = (0,008)^2 = 0,000064$.
Ответ: 0,000064.

Для $x^3 = 125$:
$x^6 = (x^3)^2 = (125)^2 = 15\;625$.
Ответ: 15625.

Для $x^3 = 3\frac{3}{8}$:
Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $3\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 8 + 3}{8} = \frac{27}{8}$.
Возводим полученную дробь в квадрат: $x^6 = (\frac{27}{8})^2 = \frac{27^2}{8^2} = \frac{729}{64}$.
Ответ: $\frac{729}{64}$.

Для $x^3 = 37\frac{1}{27}$:
Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $37\frac{1}{27} = \frac{37 \cdot 27 + 1}{27} = \frac{999 + 1}{27} = \frac{1000}{27}$.
Возводим полученную дробь в квадрат: $x^6 = (\frac{1000}{27})^2 = \frac{1000^2}{27^2} = \frac{1\;000\;000}{729}$.
Ответ: $\frac{1000000}{729}$.