Номер 355, страница 117 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

355. 1) $\frac{2^8 \cdot 3^8}{6^5}$;

2) $\frac{4^5 \cdot 3^5}{12^3}$;

3) $\frac{10^5}{2^5 \cdot 5^5}$;

4) $\frac{14^4}{2^3 \cdot 7^3}$.

1) Для упрощения дроби $\frac{2^8 \cdot 3^8}{6^5}$ воспользуемся свойствами степеней. Сначала преобразуем числитель, используя правило умножения степеней с одинаковыми показателями ($a^n \cdot b^n = (ab)^n$): $2^8 \cdot 3^8 = (2 \cdot 3)^8 = 6^8$. Теперь наша дробь выглядит так: $\frac{6^8}{6^5}$. Далее применяем правило деления степеней с одинаковым основанием ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$): $\frac{6^8}{6^5} = 6^{8-5} = 6^3$. Вычисляем значение: $6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216$.
Ответ: 216

2) Рассмотрим выражение $\frac{4^5 \cdot 3^5}{12^3}$. Как и в предыдущем примере, упростим числитель, применив свойство $a^n \cdot b^n = (ab)^n$: $4^5 \cdot 3^5 = (4 \cdot 3)^5 = 12^5$. Получаем дробь $\frac{12^5}{12^3}$. Теперь, используя правило деления степеней с одинаковым основанием, находим: $12^{5-3} = 12^2$. Вычисляем результат: $12^2 = 144$.
Ответ: 144

3) Упростим дробь $\frac{10^5}{2^5 \cdot 5^5}$. Сначала преобразуем знаменатель, используя свойство $a^n \cdot b^n = (ab)^n$: $2^5 \cdot 5^5 = (2 \cdot 5)^5 = 10^5$. Таким образом, выражение принимает вид $\frac{10^5}{10^5}$. Любое число (кроме нуля), деленное на само себя, равно 1. Следовательно, $\frac{10^5}{10^5} = 1$.
Ответ: 1

4) Решим пример $\frac{14^4}{2^3 \cdot 7^3}$. Сначала преобразуем числитель, представив основание 14 в виде произведения простых чисел: $14^4 = (2 \cdot 7)^4$. Используя свойство степени произведения ($(ab)^n = a^n \cdot b^n$), получаем: $(2 \cdot 7)^4 = 2^4 \cdot 7^4$. Дробь принимает вид $\frac{2^4 \cdot 7^4}{2^3 \cdot 7^3}$. Теперь сгруппируем степени с одинаковыми основаниями: $\frac{2^4}{2^3} \cdot \frac{7^4}{7^3}$. Применяем правило деления степеней: $2^{4-3} \cdot 7^{4-3} = 2^1 \cdot 7^1 = 2 \cdot 7 = 14$.
Ответ: 14